2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)9 直線與圓 文

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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(九)　直線與圓 [專題通關(guān)練] (建議用時(shí)：30分鐘) 1．(2019·長(zhǎng)春模擬)過點(diǎn)P(0,1)的直線l與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝，則該直線的斜率為(　　) A．±1　　　　B．±　　　　C．±　　　　D．±2 A　[由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1， 因?yàn)閳A(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心為(1,1)，半徑為r＝1， 又弦長(zhǎng)|AB|＝， 所以圓心到直線的距離為d＝＝＝. 所以有＝， 解得k＝±1.] 2．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋

2、(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 B　[圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化為x2＋(y－a)2＝a2，由題意，M(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圓M：x2＋(y－2)2＝4，所以兩圓的圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，故兩圓相交．] 3．(2019·江陰模擬)點(diǎn)P是直線x＋y－2＝0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值為(　　) A.－1 B．1 C.＋1 D．2 A　[根據(jù)題意，圓x2＋y2＝1的圓心為(0,0)，半徑r＝1，圓心(0,0)到直線x＋y

3、－2＝0的距離d＝＝， 則線段PQ長(zhǎng)的最小值為－1，故選A.] 4．[一題多解]在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x－ky＋1＝0與圓C：x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，若點(diǎn)M在圓C上，則實(shí)數(shù)k的值為(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 C　[法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0， 則Δ＝4k2＋12(k2＋1)＞0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因?yàn)椋剑? 故M，又點(diǎn)M在圓C上， 故＋＝4，解得k＝0. 法二：由直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，且點(diǎn)M在圓C上，得圓心C(0,0)到直線

4、x－ky＋1＝0的距離為半徑的一半，為1，即d＝＝1，解得k＝0.] 5．(2019·惠州模擬)已知直線4x＋3y＋1＝0被圓C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦長(zhǎng)為4，且P為圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A為定點(diǎn)(2,0)，則|PA|的最大值為(　　) A.－ B．5＋ C．2＋ D.＋ D　[根據(jù)題意，圓C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13的圓心C為(－3，m)，半徑r＝，若直線4x＋3y＋1＝0被圓C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦長(zhǎng)為4，則圓心到直線的距離d＝＝1， 則有＝1，解可得：m＝2或m＝(舍)， 則m＝2. 點(diǎn)A為定點(diǎn)(2,

5、0)，則|AC|＝＝， 則|PA|的最大值為|AC|＋r＝＋. 故選D.] 6．過點(diǎn)C(3,4)作圓x2＋y2＝5的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)C到直線AB的距離為________． 4　[以O(shè)C為直徑的圓的方程為2＋(y－2)2＝2，AB為圓C與圓O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程為x2＋y2－＝5－，化簡(jiǎn)得3x＋4y－5＝0， 所以點(diǎn)C到直線AB的距離 d＝＝4.] 7．已知直線l：ax－3y＋12＝0與圓M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AMB＝，則實(shí)數(shù)a＝________. ±　[直線l的方程可變形為y＝ax＋4，所以直線l過定點(diǎn)(0,4)，且該

6、點(diǎn)在圓M上．圓的方程可變形為x2＋(y－2)2＝4，所以圓心為M(0,2)，半徑為2.如圖，因?yàn)椤螦MB＝，所以△AMB是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，高為，即圓心M到直線l的距離為，所以＝，解得a＝±.] 8．已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． (－3，3)　[由圓的方程可知圓心為(0,0)，半徑為2.因?yàn)閳AO上到直線l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線l的距離d＜r＋1＝2＋1，即d＝＝＜3，解得a∈(－3，3)．] [能力提升練] (建議用時(shí)：15分鐘) 9．(2019·武漢模擬)已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(

7、0,0)，B(7,7)，圓心在直線y＝x上． (1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線l與圓C相切且與x，y軸截距相等，求直線l的方程． [解]　(1)根據(jù)題意，設(shè)圓C的圓心為(a，b)，半徑為r，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A(0,0)，B(7,7)，圓心在直線y＝x上， 則有解得 則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25. (2)若直線l與圓C相切且與x，y軸截距相等， 分2種情況討論： ①直線l經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，則有＝5， 解得k＝－，此時(shí)直線l的方程為y＝－x； ②直線l不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為x＋

8、y－m＝0，則有＝5，解得m＝7＋5或7－5， 此時(shí)直線l的方程為x＋y＋5－7＝0或x＋y－5－7＝0. 綜上可得：直線l的方程為y＝－x或x＋y＋5－7＝0或x＋y－5－7＝0. 10．(2019·南昌模擬)如圖，已知圓O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(，1)是圓O上的一點(diǎn)． (1)求圓O的方程； (2)若過點(diǎn)P(0,1)的動(dòng)直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得＝恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． [解]　(1)點(diǎn)M(，1)是圓O上的一點(diǎn)，可得圓O的半徑為＝2， 則圓O的方程為x2＋y2＝4. (2)若直線l的

9、斜率為0，可得直線方程為y＝1，A(，1)，B(－，1)， 由|PA|＝|PB|，可得|QA|＝|QB|，即Q在y軸上，設(shè)Q(0，m)， 若過點(diǎn)P(0,1)的動(dòng)直線l的斜率不存在，設(shè)直線方程為x＝0， 則A(0,2)，B(0，－2)，由＝可得 ＝，解得m＝1或4，由Q與P不重合，可得Q(0,4)， 下證斜率存在且不為0的直線與圓的交點(diǎn)，也滿足＝成立． 若直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線方程為y＝kx＋1， 聯(lián)立圓x2＋y2＝4，可得(1＋k2)x2＋2kx－3＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 可得x1＋x2＝－，x1x2＝－， 由kQA＋kQB＝＋＝＋ ＝2

10、k－3＝2k－3·＝2k－3·＝0， 可得QA和QB關(guān)于y軸對(duì)稱，即＝成立． 綜上可得，存在定點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,4). 題號(hào) 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 圓與圓的位置關(guān)系、圓的切線 高考對(duì)圓與圓的位置關(guān)系及切線的考查屬于冷考點(diǎn)內(nèi)容，多年沒直接考查，今年考查的可能性較大，本題以兩圓的位置關(guān)系為背景，借助平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng) 2 圓的方程、軌跡方程、直線與圓的位置關(guān)系、平面向量、直線與橢圓的位置關(guān)系 圓與橢圓的綜合問題，是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)．本題以圓為背景，綜合考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線

11、的位置關(guān)系，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，綜合性強(qiáng) 【押題1】　若⊙O1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1與⊙O2：(x－a)2＋(y＋2)2＝4(a∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是________． 　[由兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，可知兩切線分別過另一圓的圓心，即AO1⊥AO2. 連接O1O2(圖略)，在Rt△AO1O2中，AO1＝1，AO2＝2，AO1⊥AO2， 所以O(shè)1O2＝＝，所以△AO1O2斜邊上的高h(yuǎn)＝，所以AB＝2h＝. 所以線段AB的長(zhǎng)度是.] 【押題2】　已知圓(x＋1)2＋y2＝16的圓心為M，點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(

12、1,0)，點(diǎn)G在線段MP上，且滿足(＋)⊥(－)． (1)求點(diǎn)G的軌跡C的方程； (2)過點(diǎn)D(0,2)的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好過原點(diǎn)O，求直線l的方程． [解]　(1)因?yàn)?＋)⊥(－)，所以(＋)·(－)＝0，即2－2＝0，所以||＝||，所以|GM|＋|GN|＝|GM|＋|GP|＝|MP|＝4＞2＝|MN|， 所以點(diǎn)G在以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上． 可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，則2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，則b2＝3， 所以點(diǎn)G的軌跡C的方程為＋＝1. (2)由題意知，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2， 由消去y可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 由Δ＞0得k2＞.(*) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝， 因?yàn)橐訟B為直徑的圓恰好過原點(diǎn)O，所以O(shè)A⊥OB，即·＝0，則有x1x2＋y1y2＝0， 所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0，(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，得－＋4＝0，即4(1＋k2)－32k2＋4(3＋4k2)＝0， 解得k2＝，滿足(*)式，所以k＝±. 故直線l的方程為y＝±x＋2. - 6 -