2020高考數學大一輪復習 第十二章 復數、算法、推理與證明 4 第4講 直接證明與間接證明練習 理（含解析）

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1、第4講 直接證明與間接證明 [基礎題組練] 1．用反證法證明命題：“設a，b為實數，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根 解析：選A.依據反證法的要求，即至少有一個的反面是一個也沒有，直接寫出命題的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根，故應選A. 2．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：

2、　) A．a－b>0　　　　　　　　　 B．a－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 解析：選C.0 ?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.故選C. 3．若a，b∈R，則下面四個式子中恒成立的是(　　) A．lg(1＋a2)>0　　　　　　 B．a2＋b2≥2(a－b－1) C．a2＋3ab>2b2 D.< 解析：選B.在B中，因為a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2

3、－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， 所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立． 4．已知函數f(x)＝，a，b是正實數，A＝f，B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關系為(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析：選A.因為≥≥，又f(x)＝在R上是減函數，所以f≤f()≤f，即A≤B≤C. 5．設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)單調遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒為負值 B．恒等于零 C．恒為正值 D．無法確定 解析：選A.由f(x)是

4、定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)單調遞減，可知f(x)是R上的單調遞減函數， 由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)b>0，則①<；②ac2>bc2；③a2>b2；④>，其中正確的序號是________． 解析：對于①，因為a>b>0，所以ab>0，>0，a·>b·，即>.故①正確； 當c＝0時，②不正確；由

5、不等式的性質知③④正確． 答案：①③④ 8．已知點An(n，an)為函數y＝圖象上的點，Bn(n，bn)為函數y＝x圖象上的點，其中n∈N*，設cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關系為________． 解析：由條件得cn＝an－bn＝－n＝， 所以cn隨n的增大而減小，所以cn＋10，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b. 證明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因為a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>

6、0， 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 即2a3－b3≥2ab2－a2b. 10．已知x，y，z是互不相等的正數，且x＋y＋z＝1，求證：>8. 證明：因為x，y，z是互不相等的正數，且x＋y＋z＝1， 所以－1＝＝>，① －1＝＝>，② －1＝＝>，③ 又x，y，z為正數，由①×②×③， 得>8. [綜合題組練] 1．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，則下列結論成立的是(　　) A．a，b，c同號 B．b，c同號，a與它們異號 C．a，c同號，b與它們異號 D．b，c同號，a與b，c的符號關系不確定 解析：選A.由·>1知與同號， 若>0且>

7、0，不等式＋≥－2顯然成立， 若<0且<0，則－>0，－>0， ＋≥2 >2，即＋<－2， 這與＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同號． 2．在等比數列{an}中，“a10，則11， 此時，顯然數列{an}是遞增數列， 若a1<0，則1>q>q2，即0

8、然a1

9、1， 則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾， 因此假設不成立，故a，b中至少有一個大于1. 答案：③ 4．(應用型)(一題多解)若二次函數f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1，1]內至少存在一點c，使f(c)＞0，則實數p的取值范圍是________． 解析：法一(補集法)： 令解得p≤－3或p≥， 故滿足條件的p的取值范圍為. 法二(直接法)： 依題意有f(－1)＞0或f(1)＞0， 即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0， 得－＜p＜1或－3＜p＜， 故滿足條件的p的取值范圍是. 答案： 5．已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：≤. 證明

10、：a⊥b?a·b＝0， 要證≤. 只需證|a|＋|b|≤|a＋b|， 只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2， 只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即證(|a|－|b|)2≥0， 上式顯然成立，故原不等式得證． 6．已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且00. (1)證明：是f(x)＝0的一個根； (2)試比較與c的大??； (3)證明：－20， 由00， 知f>0與f＝0矛盾， 所以≥c，又因為≠c，所以>c. (3)證明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0， 所以b＝－1－ac. 又a>0，c>0，所以b<－1. 二次函數f(x)的圖象的對稱軸方程為 x＝－＝<＝x2＝， 即－<. 又a>0，所以b>－2， 所以－2