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1、專題07雙曲線
【母題來源一】【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是 ▲ .
【答案】
【解析】由已知得，解得或，
因為，所以.
因為，所以雙曲線的漸近線方程為.
【名師點睛】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的密切相關(guān)，事實上，標(biāo)準(zhǔn)方程中化1為0，即得漸近線方程.
【母題來源二】【2018年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是________________．
【答案】
【解析】因為
2、雙曲線的焦點到漸近線，即的距離為，所以，因此，，．
【母題來源三】【2017年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點，，其焦點是，則四邊形的面積是_______________．
【答案】
【解析】右準(zhǔn)線方程為，漸近線方程為，
設(shè)，則，，，
所以四邊形的面積．
【名師點睛】（1）已知雙曲線方程求漸近線：；
（2）已知漸近線可設(shè)雙曲線方程為；
（3）雙曲線的焦點到漸近線的距離為，垂足為對應(yīng)準(zhǔn)線與漸近線的交點．
【命題意圖】
通過了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想考查它的簡單幾何性質(zhì)以及雙曲線的簡單應(yīng)用.
【命題規(guī)律
3、】
雙曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考的熱點，難度中檔，注重對計算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的考查.從近幾年江蘇的高考試題來看，主要的命題角度有：
（1）對雙曲線定義與方程的考查；
（2）對雙曲線簡單幾何性質(zhì)的考查，如求雙曲線的漸近線、準(zhǔn)線、離心率等；
（3）雙曲線與其他知識的綜合，如平面幾何、向量、直線與圓等．
【方法總結(jié)】
（一）對雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程必須掌握以下內(nèi)容：
（1）在求解雙曲線上的點到焦點的距離d時，一定要注意這一隱含條件．
（2）求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，先確定雙曲線的類型，也就是確定雙曲線的焦點所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后利用待定
4、系數(shù)法求出方程中的的值，最后寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（3）在求雙曲線的方程時，若不知道焦點的位置，則進(jìn)行討論，或可直接設(shè)雙曲線的方程為.
（4）常見雙曲線方程的設(shè)法：
①與雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為．
②若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為或．
③與雙曲線(a＞0，b＞0)共焦點的雙曲線方程可設(shè)為．
④過兩個已知點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為．
⑤與橢圓(a>b>0)有共同焦點的雙曲線方程可設(shè)為．
（二）對于雙曲線的漸近線，有下面兩種考查方式：
（1）已知雙曲線的方程求其漸近線方程;
（2）給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線方程，由漸近線方程可確定
5、a，b的關(guān)系，結(jié)合已知條件可解.
（三）求雙曲線的離心率一般有兩種方法：
（1）由條件尋找滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形，即，注意區(qū)分雙曲線中的關(guān)系與橢圓中的關(guān)系，在橢圓中，而在雙曲線中.
（2）根據(jù)條件列含的齊次方程，利用雙曲線的離心率公式轉(zhuǎn)化為含或的方程，求解可得，注意根據(jù)雙曲線離心率的范圍對解進(jìn)行取舍.
（四）求解雙曲線的離心率的范圍的方法：
一般是根據(jù)條件，結(jié)合和，得到關(guān)于的不等式，求解即得.注意區(qū)分雙曲線離心率的范圍，橢圓離心率的范圍.另外，在建立關(guān)于的不等式時，注意雙曲線上的點到焦點的距離的最值的應(yīng)用.
1．【江蘇省南通市2019屆高
6、三年級階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線，則點到的漸近線的距離為_______．
【答案】
【解析】雙曲線的漸近線方程為：y=±x，
點（4，0）到C的漸近線的距離為：=．
故答案為：.
【名師點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線距離公式得到結(jié)果.
2．【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查（二）數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線C的方程為，則其離心率為_______．
【答案】
【解析】由雙曲線C的方程可得：，
所以，所以.
【名師點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時，由雙曲線
7、C的方程可求得，，問題得解.
3．【江蘇省2019屆高三第二學(xué)期聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題】若雙曲線的離心率為，則實數(shù)的值為_______．
【答案】1
【解析】因為代表雙曲線，
所以，且，，
所以，解出，
故答案為：1.
【名師點睛】本題考查了雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題.求解時，先由雙曲線方程求出，再利用列方程求解.
4．【江蘇省徐州市2018-2019學(xué)年高三考前模擬檢測數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的左準(zhǔn)線與軸的交點為點，則點到其中一條漸近線的距離為_______．
【答案】
【解析】由題意得，左準(zhǔn)線方程為，
所以，又漸近線方程為：，
所以到漸近線的距離為，故填.
【名師點睛】
8、本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，要求能從標(biāo)準(zhǔn)方程中得到，并計算出準(zhǔn)線方程、漸近線方程等，此類問題是基礎(chǔ)題.求解時，先求出左準(zhǔn)線方程，從而得到的坐標(biāo)，利用公式可計算它到漸近線的距離.
5．【江蘇省南通市2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，則該雙曲線的焦距為_______．
【答案】4
【解析】因為雙曲線的離心率為，
所以，即，解得，
所以該雙曲線的焦距為.
故答案為4.
【名師點睛】本題主要考查求雙曲線的焦距，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.求解時，先由離心率求出，進(jìn)而可求出焦距.
6．【江蘇省師大附中2019屆高三年級第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試
9、題】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的一條漸近線方程為，則它的離心率為_______．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，
又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，即yx，
則有，即a＝2b，所以cb，
故該雙曲線的離心率e.
故答案為：．
7．【江蘇省七市2019屆(南通、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港)高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的右頂點到漸近線的距離為，則b的值為_______．
【答案】2
【解析】由題意得，右頂點為A（ 2，0 ），一條漸近線為bx﹣2y＝0，
根據(jù)點到直線的距離公式得，可得b＝2，
10、
故答案為2.
【名師點睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，熟記雙曲線基本概念，準(zhǔn)確計算點線距離是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.
8．【江蘇省南通市基地學(xué)校2019屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為3a，則該雙曲線的漸近線方程為_______．
【答案】
【解析】漸近線方程為：，
由雙曲線對稱性可知，兩焦點到兩漸近線的距離均相等，
取漸近線，焦點，
，
漸近線方程為：，
本題正確結(jié)果：.
【名師點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、點到直線距離公式，關(guān)鍵在于利用點到直線距離公式建立的等量關(guān)系，求解得到結(jié)果.求解時，由標(biāo)準(zhǔn)方程可得漸近線方程，利
11、用點到直線的距離構(gòu)造方程，求得的值，從而得到漸近線方程.
8．【江蘇省前黃高級中學(xué)、溧陽中學(xué)2018-2019學(xué)年上學(xué)期第二次階段檢測數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的一條漸近線與直線平行，則實數(shù)_______．
【答案】
【解析】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的漸近線方程為y=，
∵漸近線與直線平行，∴．
故答案為：．
【名師點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．
9．【江蘇省如東中學(xué)2019屆高三年級第二次學(xué)情測試數(shù)學(xué)試卷】已知傾斜角為的直線l的斜率等于雙曲線的離心率，則＝_______．
【答案】
【解析】雙
12、曲線的離心率，，
為直線的傾斜角，∴，
，，
∴＝sin=2sin=，
故答案為：.
【名師點睛】本題考查的是利用雙曲線的離心率得出tan，再利用三角函數(shù)的倍角公式得出結(jié)果即可，屬于基礎(chǔ)題.由題意知，tan=，＝sin，利用三角函數(shù)關(guān)系得出結(jié)果即可.
10．【江蘇省蘇北四市2019屆高三第一學(xué)期期末考試考前模擬數(shù)學(xué)試題】若拋物線的焦點到雙曲線C：的漸近線距離等于，則雙曲線C的離心率為_______．
【答案】
【解析】拋物線x2＝4y的焦點坐標(biāo)為（0，1），雙曲線C：（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為yx，
∴，∴e3，
故答案為：3．
【名師點睛】本題考查了拋物線和雙
13、曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.求解時，先求出拋物線x2＝4y的焦點坐標(biāo)為（0，1），和雙曲線的一條漸近線方程為yx，根據(jù)點到直線的距離公式和離心率公式即可求出．
11．【江蘇省連云港市2019屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的一條漸近線被圓C:截得的線段長為，則_______．
【答案】2
【解析】由于雙曲線為等軸雙曲線，故漸近線方程為，不妨設(shè)漸近線為.
圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為.
故弦長為，解得.
【名師點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查直線和圓相交所得弦長公式.對于雙曲線，漸近線為，對于雙曲線，漸近線為.直線和圓相交所得弦長的弦
14、長公式為，其中為圓心到直線的距離.
12．【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬（三模）數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線
的右頂點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為_______．
【答案】
【解析】雙曲線的右頂點為：，漸近線為：，
依題意有：，解得：，
雙曲線的方程為：，
本題正確結(jié)果：.
【名師點睛】本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)，利用點到直線距離構(gòu)造出方程.
13．【江蘇省揚州中學(xué)2019屆高三4月考試數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于兩點，以線段為直徑的圓過右焦點，則雙曲線的離心率為
15、_______．
【答案】
【解析】過原點的傾斜角為的直線方程為，
解方程組：或
則，，
因為以線段為直徑的圓過右焦點，所以，
因此有，結(jié)合，
化簡得，所以有，解得.
【名師點睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率，解題的關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造向量式，利用求出雙曲線的離心，考查了數(shù)學(xué)運算能力.其實本題也可以根據(jù)平面幾何圖形的性質(zhì)入手，由雙曲線和直線的對稱性，以線段為直徑的圓過右焦點，顯然，直線的傾斜角為，這樣可以求出的坐標(biāo)，代入雙曲線方程中，也可以求出雙曲線的離心率.
14．【江蘇省七市(南通、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港)2019屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角
16、坐標(biāo)系中，雙曲線（）的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分別交于A，B兩點．若△AOB的面積為，則該雙曲線的離心率為_______．
【答案】2
【解析】由題可得：雙曲線（）的右準(zhǔn)線方程為：，
兩條漸近線方程分別，，
由可得：，
由雙曲線的對稱性可得：，
所以△AOB的面積為，
整理得：，即，
所以該雙曲線的離心率為.
【名師點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，還考查了方程思想及三角形面積公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.求解時，由雙曲線的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分別交于A，B兩點可求得：，再由△AOB的面積為列方程整理得：，問題得解.
15．【江蘇省南京市、鹽城市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點是拋物線與雙曲線的一個交點.若拋物線的焦點為，且，則雙曲線的漸近線方程為_______．
【答案】
【解析】設(shè)點A(x，y)，
因為，所以x?(?1)=5，所以x=4.所以點A(4，±4)，
由題得即即
所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
【名師點睛】本題主要考查拋物線和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.求解時，設(shè)點A(x，y)，根據(jù)求出點A的坐標(biāo)，再把點A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程求出，再求雙曲線的漸近線方程.
12
（江蘇專版）2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題07 雙曲線（含解析）
