2020屆高考數(shù)學(xué) 專題十八 圓錐曲線綜合精準(zhǔn)培優(yōu)專練 文

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1、培優(yōu)點(diǎn)十八 圓錐曲線綜合 一、弦長問題 例1：過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的弦，求： （1）弦的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離； （2）弦的長． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）雙曲線的右焦點(diǎn)，直線的方程為． 聯(lián)立，得． 設(shè)，，則，． 設(shè)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為， 則，． 所以． （2）由（1），知 ． 二、定值問題 例2：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于． （1）求拋物線的方程； （2）已知經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，證明：為定值． 【答案】（1）；（2）證明見解析． 【解析】（1）由題意可得，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到

2、直線的距離， 由拋物線的定義得，即． 故拋物線的方程為． （2）易知焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，若直線的斜率不存在，即直線方程為， 此時(shí)令，，∴； 若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為， 設(shè)，，由拋物線的定義知，． 由，得， 根據(jù)韋達(dá)定理得， 所以， 綜上可得，為定值． 三、最值問題 例3：已知兩定點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：直線，的斜率之積為． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）設(shè)過點(diǎn)的直線與（1）中曲線交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，， 所以，化簡得， 所以所求軌跡方程是． （2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立曲

3、線的方程得， 設(shè)，，由韋達(dá)定理得，， 所以的面積， 設(shè)，則， 上式當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的面積的最大值是． 四、存在性問題 例4：已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)為其右焦點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）是否存在直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，滿足，且原點(diǎn)到直線的距離為？ 若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，則左焦點(diǎn)為， 在直角三角形中，可求，∴． 又，∴． 故橢圓的方程為． （2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為， 由原點(diǎn)到的距離為，得． 聯(lián)立方程，得． 則． 設(shè)，，則，， 則

4、， 解得． 當(dāng)斜率不存在時(shí)，的方程為，易求得． 綜上，不存在符合條件的直線． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)且與軸正方向成的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則（） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由已知條件可知直線為， 由，得，∴，， ∴． 2．已知雙曲線與直線交于，兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)所在直線的 斜率為，則的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)，，中點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程中， 得到，， 兩式相減得到， 結(jié)合，，，且， 代入上面式子，得到． 3．等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，

5、則這個(gè)三角形的邊長 為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，∴若正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)， 另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱， ∴直線傾斜角為，斜率為，∴直線方程為． 由，得， ∴，，∴， ∴這個(gè)正三角形的邊長為． 4．若過橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的 最大值為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖，因?yàn)闄E圓與圓關(guān)于軸對(duì)稱，并且圓的圓心坐標(biāo)為 橢圓右焦點(diǎn)， 所以過橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線， 要使的最大，則取最小，所以為右端點(diǎn)． 因?yàn)?，，，所以? 5．已知雙曲線，是雙曲

6、線上不同于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過分別作曲線的兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線圍成平行四邊形，則四邊形的面積是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)，則， 設(shè)和漸近線平行，和漸近線平行， 由，， 且和漸近線的距離為， 由和，求得， 可得， ∴四邊形的面積是． 6．是拋物線上一定點(diǎn)，，是上異于的兩點(diǎn)，直線，的 斜率，滿足(為常數(shù)，)，且直線的斜率存在，則直線過定點(diǎn)（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)，，則直線的方程為， 整理得， 又， 化簡得，則． 則直線的方程為， 直線過定點(diǎn)． 二、填空題 7．已知拋物線：的焦點(diǎn)也是橢圓

7、：的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別為曲線，上，則的最小值為． 【答案】 【解析】由點(diǎn)在橢圓上，且， 所以，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為． 又由拋物線方程得，所以， 則，由拋物線定義知等于點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離． 過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線， 則垂直與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)， 所以，其最小值為． 8．若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)有交點(diǎn)，且橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值是___________． 【答案】 【解析】依題意有，設(shè)，， 由余弦定理得，解得． 故對(duì)與橢圓來說，，，，， 橢圓方程為． 當(dāng)為短軸上頂點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值為． 三、解答

8、題 9．已知橢圓過點(diǎn)，離心率是． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）依題意可知，，，解得，， ∴橢圓的方程為． （2）設(shè)、，代入橢圓方程得，， 兩式相減得， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，．∴， 可得直線的方程為． 令，可得；令，可得， 則直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為． 10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、是拋物線上異于的兩點(diǎn)． （1）求拋物線的方程； （2）若直線、的斜率之積為，求證：直線過定點(diǎn)． 【答案】（1）；（2）證明見解析． 【解析】（1

9、）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 所以，所以，所以拋物線的方程為． （2）證明：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，， 因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，化簡得， 所以，，此時(shí)直線的方程為； ②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，， 聯(lián)立得，化簡得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得， 因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，即， 即，解得（舍去）或， 所以，即，所以，即． 綜上所述，直線過軸上一定點(diǎn)． 11．如圖，已知，是橢圓與雙曲線的公共頂點(diǎn)，且，兩曲線離心率之積為．為上除頂點(diǎn)外一動(dòng)點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱． （1）求橢圓的方程； （2）證明：存在實(shí)數(shù)，使． 【答案】（1）；（2）證明

10、見解析． 【解析】（1）由題可知，兩曲線的離心率之積為， 則，解得， 所以橢圓的方程為． （2）設(shè)，直線的斜率為， ∵，，雙曲線方程為， ∴，所以， 聯(lián)立，得， 所以，即， 所以，則， 所以，，三點(diǎn)共線，即存在實(shí)數(shù)，使． 12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求面積的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以．① 在中，， 由余弦定理，得， 得， 得，即， 所以， 所以的面積， 所以，即，② 又，③ 由①②③，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）設(shè)直線的方程為，，， 聯(lián)立得，得， 由，得，根據(jù)韋達(dá)定理有，． 由弦長公式，得． 又點(diǎn)到直線的距離為， 所以．令，則， 所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)， 所以面積的最大值為． 18