（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 能力升級(jí)練（十七）橢圓、雙曲線與拋物線 文

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1、能力升級(jí)練(十七)　橢圓、雙曲線與拋物線 一、選擇題 1.(2019福建廈門(mén)3月質(zhì)量檢查)若拋物線x2=ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,則a=(　　) A.2 B.4 C.±2 D.±4 解析由拋物線x2=ay,可知:焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,a4,準(zhǔn)線方程為y=-a4,∴拋物線x2=ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為a4+a4=1,解得a=±2,故選C. 答案C 2.(2019四川成都高新區(qū)高三一診)已知橢圓C:16x2+4y2=1,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12 B.焦距為34 C.短軸長(zhǎng)為14 D.離心率為32 解析把橢圓方程16x2+4y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得x2116+y21

2、4=1,所以a=12,b=14,c=34,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=1,焦距2c=32,短軸長(zhǎng)為2b=12,離心率e=ca=32,故選D. 答案D 3.雙曲線C1的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,若C1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線C2:y2=12x的焦點(diǎn)重合,且拋物線C2的準(zhǔn)線交雙曲線C1所得的弦長(zhǎng)為43,則雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)為(　　) A.6 B.26 C.3 D.23 解析設(shè)雙曲線C1的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0). 由已知,拋物線C2的焦點(diǎn)為(3,0),準(zhǔn)線方程為x=-3,即雙曲線中c=3,a2+b2=9;將-3代入雙曲線方程,解得y=±ba9-a2,又拋物線C2的準(zhǔn)線交雙曲線C1所得的

3、弦長(zhǎng)為43,所以2×ba9-a2=43與a2+b2=9聯(lián)立,得a2+23a-9=0,解得a=3,故雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)為23.故選D. 答案D 4.(2019青海西寧四中第二次模擬)雙曲線x216-y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,在左支上過(guò)點(diǎn)F1的弦AB的長(zhǎng)為5,那么△ABF2的周長(zhǎng)是(　　) A.12 B.16 C.21 D.26 解析依題意,|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8, ∴|AF2|-|AF1|+(|BF2|-|BF1|)=16, 又|AB|=5, ∴|AF2|+|BF2|=16+(|AF1|+|BF1|)=16+|AB|=16+

4、5=21. ∴|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.即△ABF2的周長(zhǎng)是26.故選D. 答案D 5.(2019廣東東莞二調(diào))直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的14,則該橢圓的離心率為(　　) A.13 B.12 C.23 D.34 解析設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1,直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),則直線方程為xc+yb=1,橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的14,可得11c2+1b2=b2,4=b21c2+1b2,∴b2c2=3,a2-c2c2=3,∴e=ca=12.故選B. 答案B 6.(2019湖北七市教研協(xié)作體4月聯(lián)考)

5、過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與雙曲線x2-y23=1的一條漸近線平行,并交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|>|BF|,且|AF|=2,則拋物線的方程為(　　) A.y2=2x B.y2=3x C.y2=4x D.y2=x 解析拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為p2,0,準(zhǔn)線方程為x=-p2,雙曲線x2-y23=1的漸近線方程為y=±3x,由于過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與雙曲線x2-y23=1的一條漸近線平行,并交拋物線于A,B兩點(diǎn),且|AF|>|BF|,所以可設(shè)直線AB方程為y=3x-p2,設(shè)A(x0,y0)x0>p2,則|AF|=x0

6、+p2=2,x0=2-p2,由x0>p2可得00,b>0)的離心率為2,A,B為其左、右頂點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線C在第一象限的任意一點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若PA,PB,PO的斜率為k1,k2,k3,則m=k1k2k3的取值范圍為(　　) A.(0,33) B.(0,3) C.0,39 D.(0,8) 解析e=ca=2,b=3a,設(shè)P(x,y),則x2a2-y2b2=1,k1k2=yx+a·yx-a=y2x2-

7、a2=b2a2=3,又雙曲線的漸近線為y=±3x,所以0

8、),所以直線AB的斜率k=1-014-1=-43.故選A. 答案A 9.設(shè)F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.2 D.5 解析如圖,設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱(chēng)性可知PQ⊥x軸. ∵|PQ|=|OF|=c, ∴|PA|=c2. ∴PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,A為圓心, ∴|OA|=c2. ∴Pc2,c2. 又點(diǎn)P在圓x2+y2=a2上,∴c24+c24=a2,即c22=

9、a2,∴e2=c2a2=2,∴e=2,故選A. 答案A 二、填空題 10.(2019江西九江一模)如圖,中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上的橢圓C1,C2都過(guò)點(diǎn)A(0,-2),且橢圓C1,C2的離心率相等,以橢圓C1,C2的四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為22,則橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　.? 解析由題意可設(shè)橢圓C1:x2a2+y22=1,C2:y22+x2b2=1(a>2,0

10、y22=1 11.(2019安徽蚌埠二中一模)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),且斜率分別為k1,k2,若點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則k1·k2的值為　　　　　.? 解析∵橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是e=ca=1-b2a2=32,a=2b, 于是橢圓的方程可化為x2+4y2=4b2. 設(shè)M(m,n),直線AB的方程為y=kx,可得A(x0,kx0),B(-x0,-kx0). 則m2+4n2=4b2,x02+4k2x02=4b2.m2-x02=4k2x02-4n2, ∴k1·k2=kx0-n

11、x0-m×-kx0-n-x0-m=n2-k2x02m2-x02=n2-k2x024k2x02-4n2=-14.k1·k2=-14. 答案-14 12.(2019全國(guó)Ⅲ,文15)設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為　　　　　.? 解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4. 由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8. ∵|MF1|+|MF2|=2a=12, ∴|MF2|=4. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0), 則S△MF1F2=12×|F1F2|×y

12、0=4y0. 又S△MF1F2=12×4×82-22=415, ∴4y0=415,解得y0=15. 又點(diǎn)M在橢圓C上,∴x0236+(15)220=1, 解得x0=3或x0=-3(舍去). ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,15). 答案(3,15) 13.(2018山西呂梁一模) 如圖所示,點(diǎn)F是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),點(diǎn)A、B分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且AB總是平行于x軸,則△FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是　　　　　　.? 解析易知圓(x-2)2+y2=16的圓心為(2,0),正好是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),圓(x-2)2+y2=16與拋物線y2=

13、8x在第一象限交于點(diǎn)C(2,4),過(guò)點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)D,則AF=AD,則AF+AB=AD+AB=BD,當(dāng)點(diǎn)B位于圓(x-2)2+y2=16與x軸的交點(diǎn)(6,0)時(shí),BD取最大值8,由于點(diǎn)B在實(shí)線上運(yùn)動(dòng),因此當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí),BD取最小值4,此時(shí)A與B重合,由于F、A、B構(gòu)成三角形,因此4b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)M為短軸的上端點(diǎn),MF1·MF2=0,過(guò)F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2. (1

14、)求橢圓C的方程; (2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1)且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線l與C相交于G,H兩點(diǎn).若k1,k2分別為直線MH,MG的斜率,求k1+k2的值. 解(1)由MF1·MF2=0,得b=c. 因?yàn)檫^(guò)F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2, 所以b2a=22,b=c,b2a=22,a2=b2+c2?a2=2,b2=1. 故橢圓C的方程為x22+y2=1. (2)設(shè)直線l的方程為y+1=k(x-2),即y=kx-2k-1,顯然k≠-1且k≠0. 將y=kx-2k-1代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(2k+1)x+8k2+8k=0, 由題設(shè)可知Δ=-1

15、6k(k+2)>0,設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2), 則x1+x2=4k(2k+1)1+2k2,x1x2=8k2+8k1+2k2, k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1-2k-2x1+kx2-2k-2x2=2k-(2k+2)×4k(2k+1)1+2k28k2+8k1+2k2=2k-(2k+1)=-1,所以k1+k2=-1. 15.(2019天津,文19)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,已知3|OA|=2|OB|(O為原點(diǎn)). (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率為34的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P,圓C同時(shí)

16、與x軸和直線l相切,圓心C在直線x=4上,且OC∥AP.求橢圓的方程. 解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知有3a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12. 所以,橢圓的離心率為12. (2)由(1)知,a=2c,b=3c,故橢圓方程為x24c2+y23c2=1,由題意,F(-c,0),則直線l的方程為y=34(x+c).點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化簡(jiǎn),得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13c7.代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上方,所以Pc,32c. 由圓心C在直線x=4上,可設(shè)C(4,t).因?yàn)镺C∥AP,且由(Ⅰ)知A(-2c,0),故t4=32cc+2c,解得t=2.因?yàn)閳AC與x軸相切,所以圓的半徑長(zhǎng)為2,又由圓C與l相切,得34(4+c)-21+(34)?2=2,可得c=2. 所以,橢圓的方程為x216+y212=1. 9