2020版高考數學復習 第十一單元 第52講 直接證明與間接證明練習 文（含解析）新人教A版

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1、第52講　直接證明與間接證明 1.[2018·菏澤模擬] 命題:“對于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的證明過程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”應用了 (　　) A.分析法 　　B.綜合法 C.綜合法與分析法 　　D.放縮法 2.用反證法證明命題“若a∈R,則函數y=x3+ax+b至少有一個零點”時,正確的反設是 (　　) A.若a∈R,則函數y=x3+ax+b沒有零點 B.若a∈R,則函數y=x3+ax+b至多有一個零點 C.若a∈R,則函數y=x3+ax+b至多有兩個零點

2、 D.若a∈R,則函數y=x3+ax+b恰好有一個零點 3.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設a>b>c,且a+b+c=0,求證b2-ac<3a”時,索的因應是 (　　) A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 4.已知實數a,b,x,y滿足a2+b2=1,x2+y2=3,則ax+by的最大值為　　　　.? 5.給出下列條件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0.其中能使ba+ab≥2成立的條件的序號是　　　　.? 6.[2018·陜西澄城模擬] 用分析法證明:欲使①A>B,只需②C

3、的 (　　) A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 7.已知函數f(x)=12x,a,b是正實數,A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,則A,B,C的大小關系為 (　　) A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 8.[2018·三明期末] 用反證法證明命題①:“已知p3+q3=2,求證:p+q≤2”時,可假設“p+q>2”;命題②:“若x2=4,則x=-2或x=2”時,可假設“x≠-2或x≠2”.以下結論正確的是 (　　) A.①與②的假設都錯誤 B.①與②的假設都正確 C.①的假設正確,②的假設錯誤 D.

4、①的假設錯誤,②的假設正確 9.[2018·焦作期中] 用分析法證明不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)時,最后得到的一個顯然成立的不等式是 (　　) A.(ac+bd)2≥0 B.a2+b2≥0 C.(ad-bc)2≥0 D.c2+d2≥0 10.[2018·臨沂期末] “若x>0,y>0且x+y>2,求證1+xy<2,1+yx<2中至少有一個成立.”用反證法證明這個命題時,下列假設正確的是　　　　(填序號).? ①假設1+xy>2,1+yx>2; ②假設1+xy≥2,1+yx≥2; ③假設1+xy和1+yx中至多有一個不小于2; ④假設1+xy和1+yx中至

5、少有一個不小于2. 11.[2018·西安未央區(qū)期中] 比較大小:8-5? 10-7. 12.設a,b是兩個實數,給出下列條件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2; ④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出“a,b中至少有一個大于1”的條件是 (　　) A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤ 13.凸函數具有以下性質定理:如果函數f(x)在區(qū)間D上是凸函數,則對于區(qū)間D內的任意x1,x2,…,xn,有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn.已知函數f(x)=sinx在區(qū)間(0,π)上是凸函數,則在△ABC中,sinA+sinB+si

6、nC的最大值為　　　　.? 5 課時作業(yè)(五十二) 1.B　[解析] 綜合法的基本思路是“由因導果”,即從已知條件出發(fā),經過逐步的邏輯推理,最后得到待證結論.故本題證明的過程應用了綜合法. 2.A　[解析] 根據反證法的定義,可知“若a∈R,則函數y=x3+ax+b至少有一個零點”的反設應為“若a∈R,則函數y=x3+ax+b沒有零點”,故選A. 3.C　[解析] 因為a>b>c,且a+b+c=0,所以b=-a-c,c<0,要證b2-ac<3a,只需證b2-ac<3a2,只需證(-a-c)2-ac<3a2,即證a2-ac+a2-c2>0,即證a(a-c)+(a+c)(a-c)

7、>0,即證(a-b)(a-c)>0. 4.3　[解析] 不妨設a=sinα,b=cosα,x=3sinβ,y=3cosβ, 則ax+by=3sinαsinβ+3cosαcosβ=3(sinαsinβ+cosαcosβ)=3cos(α-β)≤3,故ax+by的最大值是3. 5.①③④　[解析] 要使ba+ab≥2成立,需ba>0且ab>0成立,即a,b都不為0且同號,故①③④能使ba+ab≥2成立. 6.A　[解析] 用分析法證明的本質是證明結論成立的充分條件成立,∴②是①的充分條件.故選A. 7.A　[解析]∵a+b2≥ab≥2aba+b,當且僅當a=b時取等號,且f(x)=12x在

8、R上是減函數,∴fa+b2≤f(ab)≤f2aba+b, 即A≤B≤C. 8.C　[解析] 用反證法證明時,其假設應否定命題的結論. 證明①:“已知p3+q3=2,求證:p+q≤2”時,可假設“p+q>2”; 證明②:“若x2=4,則x=-2或x=2”時,可假設“x≠-2且x≠2”. 故選C. 9.C　[解析] 要證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2), 只要證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2, 即證2abcd≤a2d2+b2c2, 即證(ad-bc)2≥0, 該式顯然成立. 10.②　[解析] 正確的假設為“假設1+xy≥

9、2,1+yx≥2”. 11.>　[解析] 猜想8-5>10-7. 要證8-5>10-7, 只要證8+7>10+5, 即證(8+7)2>(10+5)2, 即證15+256>15+250, 即證56>50, 即證56>50,顯然成立, 故8-5>10-7,猜想正確. 12.C　[解析] 若a=12,b=23,則a+b>1, 但a<1,b<1,故①推不出; 若a=b=1,則a+b=2,故②推不出; 若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,但a<1,b<1,故④推不出; 若a=-2,b=-3,則ab>1,但a<1,b<1,故⑤推不出. 對于③,若a+b>2,則a,b中至少有一個大于1. 用反證法證明如下:假設a≤1且b≤1, 則a+b≤2,與a+b>2矛盾, 因此假設不成立,故a,b中至少有一個大于1. 13.332　[解析]∵f(x)=sinx在區(qū)間(0,π)上是凸函數,且A,B,C∈(0,π),∴f(A)+f(B)+f(C)3≤fA+B+C3=fπ3,即sinA+sinB+sinC≤3sinπ3=332,∴sinA+sinB+sinC的最大值為332.