2、,過F1的最短弦PQ的長為10,△PF2Q的周長為36,則此橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:選C.
PQ為過F1垂直于x軸的弦,
則Q,△PF2Q的周長為36.
所以4a=36,a=9.
由已知=5,即=5.
又a=9,解得c=6,解得=,即e=.
4.(2019·杭州地區(qū)七校聯(lián)考)以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1,則橢圓長軸長的最小值為( )
A.1 B.
C.2 D.2
解析:選D.設(shè)a,b,c分別為橢圓的長半軸長,短半軸長,半焦距,依題意知,當(dāng)三角形的高為b時(shí)面積最大,所以×2cb=1,bc=1,而2a=2≥2=2
3、(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)取等號(hào)),故選D.
5.(2019·富陽二中高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC頂點(diǎn)A(-4,0)和C(4,0),頂點(diǎn)B在橢圓+=1上,則=( )
A. B.
C. D.
解析:選D.橢圓+=1中,a=5,b=3,c=4,
故A(-4,0)和C(4,0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),
所以|AB|+|BC|=2a=10,|AC|=8,由正弦定理得
===.
6.若橢圓+=1(a>b>0)和圓x2+y2=(c為橢圓的半焦距)有四個(gè)不同的交點(diǎn),則橢圓的離心率e的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選A.因?yàn)闄E圓+=1(a>b>0)和圓x2
4、+y2=(c為橢圓的半焦距)的中心都在原點(diǎn),
且它們有四個(gè)交點(diǎn),
所以圓的半徑,
由+c>b,得2c>b,再平方,4c2>b2,
在橢圓中,a2=b2+c2<5c2,
所以e=>;
由+c<a,得b+2c<2a,
再平方,b2+4c2+4bc<4a2,
所以3c2+4bc<3a2,
所以4bc<3b2,所以4c<3b,
所以16c2<9b2,
所以16c2<9a2-9c2,
所以9a2>25c2,所以<,
所以e<.
綜上所述,<e<.
7.(2019·義烏模擬)若橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,短軸長為4,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
解析:由題意
5、可知e==,2b=4,得b=2,
所以解得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
答案:+=1
8.(2019·義烏模擬)已知圓(x-2)2+y2=1經(jīng)過橢圓+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),則此橢圓的離心率e=________.
解析:圓(x-2)2+y2=1經(jīng)過橢圓+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),故橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0),一個(gè)頂點(diǎn)為A(3,0),所以c=1,a=3,因此橢圓的離心率為.
答案:
9.(2019·瑞安四校聯(lián)考)橢圓+=1(a為定值,且a>)的左焦點(diǎn)為F,直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A,B.若△FAB的周長的最大值是12,則該橢圓的離心率是______
6、__.
解析:設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′,
如圖,由橢圓定義知,|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a.
又△FAB的周長為|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a,
當(dāng)且僅當(dāng)AB過右焦點(diǎn)F′時(shí)等號(hào)成立.
此時(shí)周長最大,即4a=12,則a=3.故橢圓方程為+=1,
所以c=2,所以e==.
答案:
10.已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)(-1,0)到直線PF2的距離為,其中點(diǎn)P(-1,-4),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
解析:設(shè)F2的坐標(biāo)為(c,0)(c>0),則kPF2=,
7、故直線PF2的方程為y=(x-c),即x-y-=0,點(diǎn)(-1,0)到直線PF2的距離d===,即=4,
解得c=1或c=-3(舍去),所以a2-b2=1.①
又點(diǎn)在橢圓E上, 所以+=1,②
由①②可得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
答案:+y2=1
11.已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上,且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5,3,過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解:由于焦點(diǎn)的位置不確定,所以設(shè)所求的橢圓方程為+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),
由已知條件得
解得a=4,c=2,所以b2=12.
故橢圓方程為+=1或+=1.
12.已知橢
8、圓+=1(a>b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若=2,·=,求橢圓的方程.
解:(1)若∠F1AB=90°,則△AOF2為等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e==.
(2)由題知A(0,b),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c=,設(shè)B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.將B點(diǎn)坐標(biāo)代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2①.又由·=(-c,-b)·=,得b2-c2=1,即有a2-2c2=1②.由①②
9、解得c2=1,a2=3,從而有b2=2.所以橢圓的方程為+=1.
[能力提升]
1.(2019·浙江百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B,左焦點(diǎn)為F.以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線BF相切,且該圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn).若四邊形FAMN是平行四邊形,則該橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析:選A.因?yàn)閳AO與直線BF相切,所以圓O的半徑為,即|OC|=,因?yàn)樗倪呅蜦AMN是平行四邊形,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為,代入橢圓方程得+=1,所以5e2+2e-3=0,又0
10、Ⅰ)設(shè)A、B是橢圓C:+=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)
解析:選A.依題意得,或
,所以
或,解得0
11、
利用-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P,A,F(xiàn)1共線時(shí)等號(hào)成立).
所以|PA|+|PF|≤6+,|PA|+|PF|≥6-.
故|PA|+|PF|的最大值為6+,最小值為6-.
答案:6+ 6-
4.(2019·富陽市場口中學(xué)高三期中)如圖,已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)Q,且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn),則橢圓C的離心率為________.
解析:連接OQ,F(xiàn)1P如圖所示,
由切線的性質(zhì),得OQ⊥PF2,
又由點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn),O為F1F2的中點(diǎn),
所以O(shè)Q∥F1P
12、,
所以PF2⊥PF1,
故|PF2|=2a-2b,
且|PF1|=2b,|F1F2|=2c,
則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
得4c2=4b2+4(a2-2ab+b2),
解得b=a.
則c=a,
故橢圓的離心率為.
答案:
5.已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(,1),且離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)M,N是橢圓上的點(diǎn),直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之積為-.若動(dòng)點(diǎn)P滿足=+2,求點(diǎn)P的軌跡方程.
解:(1)因?yàn)閑=,所以=,
又橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(,1),所以+=1,
解得a2=4,b2=2,
所以橢圓C的方程為+=1.
13、
(2)設(shè)P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),則由=+2得x=x1+2x2,y=y(tǒng)1+2y2,
因?yàn)辄c(diǎn)M,N在橢圓+=1上,
所以x+2y=4,x+2y=4,
故x2+2y2=(x+4x1x2+4x)+2(y+4y1y2+4y)=(x+2y)+4(x+2y)+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2).
設(shè)kOM,kON分別為直線OM與ON的斜率,由題意知,
kOM·kON==-,因此x1x2+2y1y2=0,
所以x2+2y2=20,
故點(diǎn)P的軌跡方程是+=1.
6.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,一個(gè)長軸端點(diǎn)為(0,2),短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成
14、的四邊形為正方形,直線l與y軸交于點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A,B,且=2.
(1)求橢圓的方程;
(2)求m的取值范圍.
解:(1)由題意知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,可設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),
由題意知a=2,b=c,又a2=b2+c2,則b=,
所以橢圓的方程為+=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知,直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立,
得
則(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0,
Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系知,
又由=2,即(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),
得-x1=2x2,故
可得=-2,
整理得(9m2-4)k2=8-2m2,
又9m2-4=0時(shí)不符合題意,所以k2=>0,
解得0,解不等式