（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第9講 （第1課時） 直線與圓錐曲線練習（含解析）

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1、第1課時　直線與圓錐曲線 一、選擇題 1.過拋物線y2＝2x的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線(　　) A.有且只有一條 B.有且只有兩條 C.有且只有三條 D.有且只有四條 解析　∵通徑2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3＞2p，故這樣的直線有且只有兩條. 答案　B 2.直線y＝x＋3與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的交點個數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.0 解析　因為直線y＝x＋3與雙曲線的漸近線y＝x平行，所以它與雙曲線只有1個交點. 答案　A 3.經過橢圓＋y2＝1的一

2、個焦點作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點，設O為坐標原點，則·等于(　　) A.－3 B.－ C.－或－3 D.± 解析　依題意，當直線l經過橢圓的右焦點(1，0)時，其方程為y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入橢圓方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以兩個交點坐標分別為(0，－1)，，∴·＝－，同理，直線l經過橢圓的左焦點時，也可得·＝－. 答案　B 4.拋物線y＝x2到直線x－y－2＝0的最短距離為(　　) A. B. C.2 D. 解析　設拋物線上一點的坐標為(x，y)，則d＝＝＝，∴x＝時， dmin

3、＝. 答案　B 5.(2017·石家莊調研)橢圓ax2＋by2＝1與直線y＝1－x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為，則的值為(　　) A. B. C. D. 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB中點M(x0，y0)， 由題設kOM＝＝. 由得＝－. 又＝－1，＝＝. 所以＝. 答案　A 二、填空題 6.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點，過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2.則橢圓C的方程為________. 解析　由題意得解得∴橢圓C的方程為＋＝1. 答案?。? 7.已知拋物線y＝ax2

4、(a＞0)的焦點到準線的距離為2，則直線y＝x＋1截拋物線所得的弦長等于________. 解析　由題設知p＝＝2，∴a＝. 拋物線方程為y＝x2，焦點為F(0，1)，準線為y＝－1. 聯(lián)立消去x， 整理得y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，∵直線過焦點F， ∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋1＋y2＋1＝8. 答案　8 8.過橢圓＋＝1內一點P(3，1)，且被這點平分的弦所在直線的方程是________. 解析　設直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點， 由于A，B兩點均在橢圓上， 故＋＝1，＋＝1， 兩式相減得 ＋＝0. 又∵P是A，B的

5、中點，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， ∴kAB＝＝－. ∴直線AB的方程為y－1＝－(x－3). 即3x＋4y－13＝0. 答案　3x＋4y－13＝0 三、解答題 9.設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F1且斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列. (1)求E的離心率； (2)設點P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求E的方程. 解　(1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a， l的方程為y＝x＋c，其中c＝. 設A(x1，

6、y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點的坐標滿足方程組消去y，化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝. 因為直線AB的斜率為1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2， 所以E的離心率e＝＝＝. (2)設AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知 x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝. 由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1， 得c＝3，從而a＝3，b＝3. 故橢圓E的方程為＋＝1. 10.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個頂點為A(2，0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N. (

7、1)求橢圓C的方程； (2)當△AMN的面積為時，求k的值. 解　(1)由題意得 解得b＝，所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 設點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝ ＝ ＝ 又因為點A(2，0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝， 所以△AMN的面積為S＝|MN|·d＝，由＝，解得k＝±1. 11.已知橢圓＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|＋|AF2|

8、的最大值為5，則b的值是(　　) A.1 B. C. D. 解析　由橢圓的方程，可知長半軸長為a＝2，由橢圓的定義，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8， 所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3. 由橢圓的性質，可知過橢圓焦點的弦中，通徑最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝. 答案　D 12.(2016·四川卷)設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值是(　　) A. B. C. D.1 解析　如圖所示，設P(x0，y0)(y0>0)，

9、則y＝2px0， 即x0＝. 設M(x′，y′)，由＝2， 得 解之得x′＝，且y′＝. ∴直線OM的斜率k＝＝＝ 又y0＋≥2p，當且僅當y0＝p時取等號. ∴k≤＝，則k的最大值為. 答案　C 13.設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足.如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝________. 解析　直線AF的方程為y＝－(x－2)，聯(lián)立得y＝4，所以P(6，4).由拋物線的性質可知|PF|＝6＋2＝8. 答案　8 14.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線y＝4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|＝|

10、PQ|. (1)求C的方程； (2)過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程. 解　(1)設Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝. 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋. 由題設得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以C的方程為y2＝4x. (2)依題意知l與坐標軸不垂直，故可設l的方程為x＝my＋1(m≠0).代入y2＝4x得y2－4my－4＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故AB的中點為D(2m2＋1，2m)， |AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1). 又l′的斜率為－m，所以l′的方程為x＝－y＋2m2＋3. 將上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0. 設M(x3，y3)，N(x4，y4)，則y3＋y4＝－， y3y4＝－4(2m2＋3). 故MN的中點為E， |MN|＝|y3－y4|＝. 由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點在同一圓上等價于|AE|＝|BE|＝|MN|， 從而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2， 即4(m2＋1)2＋＋ ＝. 化簡得m2－1＝0， 解得m＝1或m＝－1. 所求直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 7