2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 瘋狂專(zhuān)練20 新定義類(lèi)創(chuàng)新題（文）

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1、瘋狂專(zhuān)練20 新定義類(lèi)創(chuàng)新題 一、選擇題 1．若，則，就稱(chēng)是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)是（） A．1 B．3 C．7 D．31 2．如圖所示的Venn圖中，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，則為（） A． B． C．或 D．或 3．對(duì)于復(fù)數(shù)，若集合具有性質(zhì)“對(duì)任意，必有”，則當(dāng)時(shí)，（） A． B． C． D． 4．定義一種新運(yùn)算：，已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（） A． B． C． D． 5．設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)，定義函數(shù)， 取函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（） A．

2、B． C． D． 6．約定與是兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)，其運(yùn)算法則如下：對(duì)任意實(shí)數(shù)，，有：，，設(shè)，，用列舉法表示集合為（） A． B． C． D． 7．設(shè)為復(fù)數(shù)集的非空子集．若對(duì)任意，，都有，，，則稱(chēng)為封閉集． 下列命題： ①集合為整數(shù)，為虛數(shù)單位為封閉集； ②若為封閉集，則一定有； ③封閉集一定是無(wú)限集； ④若為封閉集，則滿(mǎn)足的任意集合也是封閉集． 上面命題中真命題共有哪些？（） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 8．定義：對(duì)于一個(gè)定義域?yàn)榈暮?，若存在兩條距離為的直線和，使得時(shí)，恒有，則稱(chēng)在內(nèi)有一個(gè)寬度為的通道．下列函數(shù)： ①；②；③；④． 其中有一個(gè)寬度為的通道的函數(shù)

3、的序號(hào)為（） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 9．由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到世紀(jì)．直到年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱(chēng)戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與．且滿(mǎn)足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱(chēng)為戴德金分割．試判斷，對(duì)于任一戴德金分割，下列選項(xiàng)中，不可能成立的是（） A．沒(méi)有最大元素，有一個(gè)最小元素 B．沒(méi)有最大元素，也沒(méi)有最小元素 C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素 D．

4、有一個(gè)最大元素，沒(méi)有最小元素 10．如果定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意，都有， 則稱(chēng)為“函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③； ④，其中“函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（） A． B． C． D． 11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，存在唯一的，使（為常?shù)）成立． 則稱(chēng)函數(shù)在上的“均值”為．已知四個(gè)函數(shù)： ①；②；③；④上述四個(gè)函數(shù)中，滿(mǎn)足所在定義域上“均值”為的函數(shù)的序號(hào)是（） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 12．定義：如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上存在使得，，則稱(chēng)為區(qū)間上的“雙中值函數(shù)”．已知函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D． 二、填空題

5、 13．對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，定義某種運(yùn)算“※”如下：當(dāng)都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)，※；當(dāng)中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，※．則在此定義下，集合※中的元素個(gè)數(shù)為． 14．若數(shù)列滿(mǎn)足，，為非零數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列為“放飛”數(shù)列．已知正項(xiàng)數(shù)列為“放飛”數(shù)列，且，則的最小值是． 15．如果對(duì)定義在上的函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，， 都有，則稱(chēng)函數(shù)為“函數(shù)”． 給出下列函數(shù)①；②；③；④． 以上函數(shù)是“函數(shù)”的所有序號(hào)為． 16．在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)不是原點(diǎn)時(shí)，定義的“伴隨點(diǎn)”為；當(dāng)是原點(diǎn)時(shí)，定義的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線定義為曲線的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題

6、： ①若點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)； ②單位圓的“伴隨曲線”是它自身； ③若曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則其“伴隨曲線”關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)； ④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線． 其中的真命題是（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）． 答 案 與解析 一、選擇題 1．【答案】B 【解析】由已知條件得，可以單獨(dú)存在于伙伴關(guān)系中，和同時(shí)存在于伙伴關(guān)系中， 所以具有伙伴關(guān)系的元素組是， 所以具有伙伴關(guān)系的集合有個(gè)：，，． 2．【答案】D 【解析】因?yàn)?，? ，， 所以或． 3．【答案】B 【解析】∵，由集合中元素的互異性可知，當(dāng)時(shí)，，， ∴， 由“對(duì)任意，必有

7、”知， ∴，或，，∴． 4．【答案】D 【解析】由題可知，，畫(huà)出圖象如圖， 當(dāng)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)， 即函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為． 5．【答案】C 【解析】依題意可知，當(dāng)，時(shí)， ， 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選C． 6．【答案】C 【解析】根據(jù)運(yùn)算法則，得①， 當(dāng)時(shí)，或（不符合題意舍去）； 當(dāng)時(shí)，，把，分別代入①式，得或， 故． 7．【答案】B 【解析】①成立，因?yàn)榧侠锏脑?，不管是相加，還是相減，還是相乘，都是復(fù)數(shù)， 并且實(shí)部，虛部都是整數(shù)； ②當(dāng)時(shí)，所以成立； ③不成立，舉例：就是封閉集，但是有限集； ④舉例，

8、，，集合就不是封閉集，所以不成立． 8．【答案】D 【解析】①當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)單調(diào)遞增，故不存在寬度為的通道； ②，故存在和，滿(mǎn)足有一個(gè)寬度為的通道； ③，故存在和，滿(mǎn)足有一個(gè)寬度為的通道； ④，故存在和，滿(mǎn)足有一個(gè)寬度為的通道； 故有一個(gè)寬度為的通道的函數(shù)的序號(hào)為②③④． 9．【答案】C 【解析】A正確，例如是所有小于的有理數(shù)，是所有不小于的有理數(shù)； B正確，如是所有負(fù)的有理數(shù)，零和平方小于的正有理數(shù)，是所有平方大于的正有理數(shù)，顯然和的并集是所有的有理數(shù)，因?yàn)槠椒降扔诘臄?shù)不是有理數(shù)； D正確，例如是所有不大于的有理數(shù)，是所有大于的有理數(shù)； C錯(cuò)，有最大元素，且有最小元素是

9、不可能的， 因?yàn)檫@樣就有一個(gè)有理數(shù)不存在于和兩個(gè)集合中，與和的并集是所有的有理數(shù)矛盾． 10．【答案】C 【解析】∵對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)，， 不等式恒成立， ∴不等式等價(jià)為恒成立， 即函數(shù)是定義在上的增函數(shù)． ①；，則函數(shù)在定義域上不單調(diào)； ②；，函數(shù)單調(diào)遞增，滿(mǎn)足條件； ③為增函數(shù)，滿(mǎn)足條件； ④，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿(mǎn)足條件， 綜上滿(mǎn)足“函數(shù)”的函數(shù)為②③，一共個(gè)． 11．【答案】B 【解析】①對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋? 設(shè)，由，得，所以， 所以函數(shù)是定義域上的“均值”為的函數(shù)； ②對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋? 設(shè)，由，得， 當(dāng)時(shí)，，不存在實(shí)數(shù)

10、的值，使， 所以該函數(shù)不是定義域上均值為的函數(shù)； ③對(duì)于函數(shù)，定義域是， 設(shè)，得，則， 所以該函數(shù)是定義域上的均值為的函數(shù)； ④對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋? 設(shè)，由，得， 當(dāng)，，不存在唯一的實(shí)數(shù)，使得， 所以函數(shù)在其定義域上不是均值為的函數(shù)． 故滿(mǎn)足所在定義域上“均值”為的函數(shù)是的序號(hào)是①③． 12．【答案】D 【解析】∵函數(shù)，∴， ∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)， ∴區(qū)間上存在， 滿(mǎn)足，∴， ∴，即方程在區(qū)間有兩個(gè)解， 令，∴，解得． ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D． 二、填空題 13．【答案】 【解析】因?yàn)?，，，，，，，，? 集合中的元素是有序數(shù)對(duì)，所

11、以集合中的元素共有個(gè)． 14．【答案】 【解析】依題意可得，則數(shù)列為等比數(shù)列． 又，則． ，當(dāng)且僅當(dāng)，即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)取等號(hào)． 15．【答案】①③ 【解析】因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，都有， 即總有不等式恒成立， 即為函數(shù)是定義在上的增函數(shù)， 對(duì)于①，由于與均為上增函數(shù)，則函數(shù)在為增函數(shù)； 對(duì)于②，明顯先減后增，不符合； 對(duì)于③，因?yàn)樵谏虾愠闪?，則在為增函數(shù)； 對(duì)于④，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)為增函數(shù)，不符合， 故選①③． 16．【答案】②③ 【解析】①設(shè)的坐標(biāo)，伴隨點(diǎn)， 的伴隨點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理可得縱坐標(biāo)為， 故，錯(cuò)誤； ②設(shè)單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為， 則的伴隨點(diǎn)的坐標(biāo)為， 所以也在單位圓上，即：點(diǎn)是點(diǎn)延順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，正確； ③設(shè)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，其關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)也在曲線上， 所以點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)， 與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．正確； ④反例：例如這條直線，則，，，而這三個(gè)點(diǎn)的伴隨點(diǎn)分別是，，，而這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上． 下面給出嚴(yán)格證明： 設(shè)點(diǎn)在直線，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為， 則，解得． 代入直線方程可知：， 化簡(jiǎn)得：， 當(dāng)時(shí)，是一個(gè)常數(shù)，的軌跡是一條直線； 當(dāng)時(shí)，不是一個(gè)常數(shù)，的軌跡不是一條直線． 所以，直線“伴隨曲線”不一定是一條直線，錯(cuò)誤． 11