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1、把握考點，層層遞進(jìn)，實現(xiàn)難點突破
——淺談一輪復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)與積分》教學(xué)設(shè)計
在中學(xué)數(shù)學(xué)的新課程中，導(dǎo)數(shù)單元作為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)重要的銜接點，顯得格外引人矚目. 導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵豐富了對函數(shù)等問題的研究方法，已經(jīng)成為近幾年全國各地高考數(shù)學(xué)的一大熱點. 另外，導(dǎo)數(shù)又具有很強的知識交匯功能，因此在高考中導(dǎo)數(shù)與積分是一個極其重要的內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)與積分的復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)的重點之一.
下面，我將從以下三個部分來談?wù)剬?dǎo)數(shù)與積分的復(fù)習(xí).
一、緊扣《說明》要求與考題規(guī)律，以把握考點定教學(xué)應(yīng)對策略
1.《考試說明》的要求
（1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義
①了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.
②通
2、過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
（2）導(dǎo)數(shù)的運算
①根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)(C為常數(shù)),,,,,的導(dǎo)數(shù).
②能利用下面給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù).
（3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
①了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.
②了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件； 會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.
（4）生活中的優(yōu)化問題
3、
會用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.
（5）定積分與微積分基本定理
①了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.
②了解微積分基本定理的含義.
從上述不難發(fā)現(xiàn)：《考試說明》對導(dǎo)數(shù)的考查，主要以切線方程、函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值為主.
2. 全國卷與湖北卷的聯(lián)系與區(qū)別
全國卷和湖北卷在導(dǎo)數(shù)考查的整體思路上是一樣的：在考查基礎(chǔ)知識的同時，都注重對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查. 導(dǎo)數(shù)的綜合題均作為高考壓軸題的形式出現(xiàn).
全國卷和湖北卷在導(dǎo)數(shù)考查的具體安排上有很區(qū)別：
①以2015年全國卷與湖北卷《考試說明》的對比分析可以發(fā)現(xiàn)，全國卷對導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用的
4、考查層次比湖北卷高.
②從近三年高考試卷的內(nèi)容來看，全國卷特別注重對含參函數(shù)的單調(diào)性或圖象的研究，難度較大，而湖北卷僅在解答題三個小問題中的第（1）小問出現(xiàn)，主要利用導(dǎo)數(shù)研究不含參函數(shù)的單調(diào)性或最值，為后面的問題作鋪墊；湖北卷注重對積分的考查，而全國卷對此幾乎沒有涉及；全國卷對曲線切線的考查比較頻繁，而湖北卷很少涉及.
考點
全國卷
湖北卷
導(dǎo)數(shù)
能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù);
能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）;
會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值
5、（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）;
會用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.
理解求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；
掌握函數(shù)的極值、最值；
理解利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.
定積分
了解定積分的實際背景；
了解定積分的基本思想；
了解定積分的概念；
了解微積分基本定理的含義.
了解定積分的概念；
了解定積分基本定理；
了解定積分的簡單應(yīng)用.
3. 近三年全國卷考試特點與命題規(guī)律
（1）試題分布：近三年全國數(shù)學(xué)理科卷Ⅰ中導(dǎo)數(shù)試題分布表：
年份
題號
題型
分值
考查內(nèi)容
2013年
16
填空題
5分
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
21
解
6、答題
12分
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線切線問題，
利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性并解決不等式問題.
2014年
11
選擇題
5分
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象解決含參函數(shù)零點問題.
21
解答題
12分
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線切線問題，
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值并證明不等式.
2015年
12
選擇題
5分
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象并解決不等式的有解問題
21
解答題
12分
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線切線問題，
利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的圖象并討論函數(shù)零點個數(shù).
（2）試題特點：
①從導(dǎo)數(shù)在高考中的地位來看, 幾乎每年一道大題和一道小題, 分值17分
7、，約占11.3%,并且試題難度較大.
②從考查的內(nèi)容來看，考查的熱點是利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明不等式、研究函數(shù)的圖象，研究函數(shù)的零點，或利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題.
從全國卷《考試說明》對導(dǎo)數(shù)的要求以及近幾年全國卷的命題重點來看，無論是小題還是大題，導(dǎo)數(shù)與不等式等知識的交匯與綜合往往作為高考卷的把關(guān)題或壓軸題，一般有較大難度，但是我們對這類題進(jìn)行分析后不難發(fā)現(xiàn)，在這類試題中，導(dǎo)數(shù)只不過是一種工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)（特別是含參函數(shù)）的單調(diào)性、極值、最值、圖象的工具，真正的難點是將這類試題中的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、圖象的問題. 所以函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、
8、圖象的問題是導(dǎo)數(shù)與積分單元復(fù)習(xí)中的重點，導(dǎo)數(shù)與不等式、方程等知識的綜合是復(fù)習(xí)中的難點.
二、緊繞復(fù)習(xí)計劃與教學(xué)目標(biāo)，以層層遞進(jìn)促課堂教學(xué)高效
1. 教材分析
“導(dǎo)數(shù)與積分”是高中數(shù)學(xué)人教A版教材選修2-2第一章的內(nèi)容，是高考考查的重點和難點，題型既有靈活多變的客觀性試題，又有具有一定能力要求的主觀性試題，這要求在復(fù)習(xí)時要掌握基本題型的解法，樹立利用導(dǎo)數(shù)處理問題的意識．
2. 學(xué)情分析
高三學(xué)生已經(jīng)具備分析理解常見函數(shù)的性質(zhì)的能力，同時也有通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗. 但在具體問題上，學(xué)生可能比較模糊，還沒有形成解題規(guī)律和處理技巧.
3．教學(xué)目標(biāo)
（1） 知識與技能：利
9、用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；解決方程有解及不等式恒成立問題
（2）過程與方法：能夠利用函數(shù)性質(zhì)作圖象，反過來利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)如交點情況，能合理利用數(shù)形結(jié)合解題；學(xué)會利用熟悉的問答過渡到陌生的問題.
4．教學(xué)重點、難點
重點是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，極值，最值；難點是方程有解及不等式恒成立問題.
5. 教學(xué)計劃
第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與積分單元分成四個部分，按照層層遞進(jìn)方式，具體安排如下：
第一部分：導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義（1課時）, 是本單元的基礎(chǔ)內(nèi)容，高考的熱點，但不是難點.這部分要求學(xué)生熟練使用求導(dǎo)四則運算，能準(zhǔn)確地求出
10、基本函數(shù)和簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，熟練掌握求曲線的切線方程方法的一般步驟.
第二部分：定積分與微積分基本定理（1課時），是本單元的基礎(chǔ)內(nèi)容. 這部分要求學(xué)生了解計算簡單定積分的一般方法和步驟，了解定積分與曲邊梯形的面積的關(guān)系，了解用微積分基本定理求曲邊梯形的面積或求變速運動的路程.
第三部分：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值（2課時），是本單元的重點內(nèi)容. 這部分內(nèi)容要求學(xué)生熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)（特別是含參函數(shù)）的單調(diào)性、極值、最值與圖象的一般方法和步驟，掌握對參數(shù)分類討論的技巧.
第四部分：導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用以及與方程、不等式的綜合（2課時），是本單元的難點內(nèi)容. 這部分內(nèi)容要求學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)
11、與不等式、方程、實際問題、參數(shù)討論等知識的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生對常見問題的等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的意識.
5．教學(xué)設(shè)計
以第三部分《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值》的教學(xué)設(shè)計為例來闡述“一題多問、
由易到難、層層遞進(jìn)的模式”提高課堂教學(xué)效果.
教學(xué)目的：讓學(xué)生熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)（特別是含參函數(shù)）的單調(diào)性、極值、最值以及畫函數(shù)圖象的基本方法、處理技巧.
為了達(dá)到這個教學(xué)目的，我本部分的例題的選擇及其意圖如下：
例1. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求的極值；
（3）求在區(qū)間上的最大值與最小值.
設(shè)計意圖：例1主要考查
12、不含參數(shù)的函數(shù)的的單調(diào)性、極值、最值等基礎(chǔ)知識，選
自人教A版數(shù)學(xué)選修2-2第31頁習(xí)題1.3A組第2題第（4）小題. 該題由學(xué)生演板、互
相糾錯，老師補充完善完成，讓學(xué)生加強對求函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的一般方法步驟的掌握，并理解極值與最值的關(guān)系，也為例2問題的處理提供了方法步驟上的參考.
例2．已知函數(shù).
（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的的取值范圍；
（2）求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（3）求在上的最大值.
設(shè)計意圖：例2主要考查含參函數(shù)的的單調(diào)性、極值、最值等基礎(chǔ)知識，問題（1）是函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的變形運用，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，并加深對函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的認(rèn)識
13、；讓學(xué)生認(rèn)識到，問題（2）（3），雖然在例1的基礎(chǔ)上高了一個層次，但是解方法和步驟的整體框架相同，不同的是需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論. 在解答過程中，要讓學(xué)生理解為什么要分類討論，學(xué)會怎樣進(jìn)行分類討論，總結(jié)解題規(guī)律：討論函數(shù)的單調(diào)性就討論含參不等式（或）的解集的情況，求最值的過程就是在討論函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)上比較極值與端點值的大小的過程. 該題是本節(jié)的重點也是難點，由老師引導(dǎo)協(xié)助學(xué)生共同完成.
例3．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，畫出的大致圖像；
（2）討論零點的個數(shù)；
（3）（備用）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，，討論零點的個數(shù).
設(shè)計意圖：例3主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性與
14、極值畫出函數(shù)的大致圖象，是在例2的基礎(chǔ)上又上升了一個層次. 該題讓學(xué)生獨立完成利用導(dǎo)數(shù)研究所給函數(shù)的單調(diào)性、極值的部分. 問題（1）中的函數(shù)不含有參數(shù)，問題（2）中的函數(shù)含有參數(shù)，既是分別對例1、例2的解題規(guī)律的加強鞏固，又為下一步畫圖象或討論零點個數(shù)做好準(zhǔn)備工作. 問題（3）是今年全國卷21題，主要讓學(xué)生體會本節(jié)內(nèi)容是高考綜合試題的核心，認(rèn)識到掌握了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、圖象的規(guī)律與方法，與導(dǎo)數(shù)有關(guān)綜合試題也就迎刃而解了，減小學(xué)生對高考中導(dǎo)數(shù)壓軸題的畏懼心理.
利用幾何畫板，動態(tài)演示，直觀的感覺參數(shù)的變化對函數(shù)的圖象的影響，幫助學(xué)生更好地理解參數(shù)討論的關(guān)鍵點，使探究落到實處
15、.
以上三個例題針對性強，抓住以利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值以及畫函數(shù)圖象為核心內(nèi)容，突出訓(xùn)練，總結(jié)規(guī)律，提煉通法，從而提高學(xué)生的解題能力.
每個例題的三個小問題之間以及三個例題之間均采用了一題多問、由易到難、層層遞進(jìn)的模式.在前一小問題的基礎(chǔ)上處理下一小問題，在前一個例題的層次上處理下一個例題，既總結(jié)了解題方法，又弄清了它們之間的聯(lián)系；既抓住了重點，又節(jié)約了時間；既解決了難點，又樹立了學(xué)生的信心. 為下一部分導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用打下很好的基礎(chǔ).
三、緊抓常見題型與解題方法，以難點突破助學(xué)生提升能力
題型1：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的
16、切線（可已知切線方程或切點坐標(biāo)求參數(shù)的值）
例1．設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，求a, b. （2014年全國卷Ⅰ理第21題第1問）
解題方法：必須明確切點的“三重身份”，切點在曲線上，切點在切線上，切點處的導(dǎo)函數(shù)的值為切線斜率.
題型2：利用微積分基本定理求曲邊梯形的面積
例2. 求由曲線與直線，，所圍成平面圖形的面積.
（人教A版數(shù)學(xué)選修2-2第60頁習(xí)題1.7B組第3題.）
解題方法：正確畫出題目中所表示的圖形區(qū)域，由哪些曲邊梯形組成，曲邊梯形在x軸的上方還是下方.
題型3：求單調(diào)區(qū)間、極值或最值（或已知單調(diào)區(qū)間、極值或最值求參數(shù)范圍）
例3．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2
17、012年全國卷理第21題第1問）
（2）求函數(shù)的極值；
（3）求函數(shù)的最值.
解題方法：若求函數(shù)②單調(diào)區(qū)間只需解不等式（或），若已知單調(diào)性求參數(shù)范圍可轉(zhuǎn)化為（或）在給定區(qū)間上恒成立問題.
求極值問題只需討論方程的根的情況及在每個根的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)情況，已知函數(shù)極值求參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化為討論方程根的分布問題.
求函數(shù)最值問題首先求函數(shù)極值和區(qū)間端點函數(shù)值，再將極值和端點值比較選出最大值和最小值.
難點：符號判斷的技巧
①結(jié)合的根（有時需要觀察出來）與單調(diào)性來確定符號.
如本例中，；
②用放縮法確定的符號，如本例中.
注：當(dāng)時，，，，.
題型4：證明函數(shù)不等式
例4
18、. 證明：.（2014年全國卷Ⅰ理第21題第2問）
解題方法：證明函數(shù)不等式一般思路是構(gòu)造新的函數(shù)并求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合特殊點的函數(shù)值（通常是最值）進(jìn)行證明.
難點：若構(gòu)造一個函數(shù)求最值非常麻煩，可以將不等式適當(dāng)變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，轉(zhuǎn)化其中一個函數(shù)的最小值大于另一函數(shù)的最大值，如本例中將不等式變形為，
構(gòu)造兩個函數(shù)，，，其中，.
題型5：方程有解（或方程解的個數(shù)，函數(shù)有零點，函數(shù)零點的個數(shù)）求參數(shù)范圍
例5. 若關(guān)于x的方程有解，求k的取值范圍.
解題方法：對于方程在某區(qū)間上根的個數(shù)一般利用構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性和極值，再根據(jù)單調(diào)性和極值畫出函數(shù)圖象利用圖象法求
19、解. 構(gòu)造函數(shù)時可以構(gòu)造一個函數(shù)也可以構(gòu)造一對函數(shù).
如本例中，若方程變形為，可以轉(zhuǎn)化為與x軸有交點；
若方程變形為，也可以轉(zhuǎn)化為與直線有交點；
若方程變形，還可轉(zhuǎn)化為與直線有交點，再轉(zhuǎn)化為相切問題.
題型6：不等式恒成立（或有解）求參數(shù)范圍
例6：若當(dāng), 且時，，求k的取值范圍.
（2011年全國卷理第21題第2問）
解題方法：函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題一般思路為構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題. 構(gòu)造函數(shù)的方法一般有兩種，一種是將不等式變形構(gòu)造含參數(shù)的函數(shù)，另一種是分離參數(shù)構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，對于第一種構(gòu)造的函數(shù)，需要利用逐段篩選討論法求解，有時可取未知數(shù)的特殊值來縮小參數(shù)的范圍
20、，減少討論的情況.
難點：構(gòu)造函數(shù)有講究：將不等式適當(dāng)變形，構(gòu)造便于研究單調(diào)性的函數(shù)
若不等式變形為，可構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得
，單調(diào)性不容易研究；
若不等式變形為，可構(gòu)造函數(shù).
可取一些求知數(shù)x的值代入去縮小參數(shù)k的范圍，如取，得
，接下來只需要在的范圍內(nèi)去討論的單調(diào)性.
四．且行且思，對導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)的幾點思考
1．把握高考動態(tài)，夯實基礎(chǔ)知識：
緊扣教材，準(zhǔn)確把握概念、法則，夯實學(xué)生解題的規(guī)范性；總結(jié)高考規(guī)律，明確考點要求，抓主線，攻重點，求突破.
2．總結(jié)解題規(guī)律，熟悉常見轉(zhuǎn)化
總結(jié)解題規(guī)律是找到一類題的解題方法、答題規(guī)律，從而提高解題效率；熟悉常見轉(zhuǎn)化，就能把不熟悉的問題
21、轉(zhuǎn)化為比較熟悉的問題，從而運用已有的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗解決新問題.
3．滲透思想方法，注重知識交匯
數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，在教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，能提高教學(xué)效果，更能提高學(xué)生構(gòu)造函數(shù)能力、畫圖、看圖、用圖能力等解題能力. 注意導(dǎo)數(shù)知識與其它章節(jié)的聯(lián)系，對于知識的交匯問題，重點放在邏輯思維、推理能力的培養(yǎng)上，盡量減少繁雜運算.
4．針對學(xué)生水平，落實查缺補漏
對于學(xué)生導(dǎo)數(shù)內(nèi)容掌握欠缺的方面，教師要加以提醒、點撥，使學(xué)生的思考能走向深入；對于學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，教師應(yīng)及時糾正，并幫助學(xué)生分析錯誤的原因，從而達(dá)到易錯不錯，錯過不再錯的目的.
總之，一輪復(fù)習(xí)是高考備考的關(guān)鍵.
把握考點，才能有的放矢；
層層遞進(jìn)，才能個個擊破；
突破難點，才能沖刺高分.
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《導(dǎo)數(shù)與積分》單元復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計說課教案
