（江蘇專版）2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題10 基本不等式的應(yīng)用（含解析）

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1、專題10 基本不等式的應(yīng)用 【母題來源一】【2019年江蘇】在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是， 則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離是， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立， 則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是4. 故答案為． 【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).利用基本不等式即可求解. 【母題來源二】【2018年江蘇】在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為___________． 【答案】9 【解析】由題意可知，

2、, 由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得， 化簡得， 因此 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為. 【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求字母為正數(shù)）、“定”不等式的另一邊必須為定值）、“等（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 【母題來源三】【2017年江蘇】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則的值是___________． 【答案】30 【解析】總費(fèi)用為， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立． 【名師點(diǎn)睛】利用基本不等式求

3、最值時(shí)要靈活運(yùn)用以下兩個(gè)公式：①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；②，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．解題時(shí)要注意公式的適用條件、等號(hào)成立的條件，同時(shí)求最值時(shí)注意“1的妙用”． 【命題意圖】 （1）了解基本不等式的證明過程. （2）會(huì)用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題. 【命題規(guī)律】 基本不等式是高考考查的熱點(diǎn)，常以填空題的形式出現(xiàn)．通常以不等式為載體綜合考查函數(shù)、方程、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等問題．主要有以下幾種命題方式： （1）應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立或比較大小．解決此類問題通常將所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解． （2）條件不等式問題．通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不

4、等式的形式求解． （3）求參數(shù)的值或范圍．觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍. 【方法總結(jié)】 利用基本不等式求最值的常用技巧： （1）若直接滿足基本不等式條件，則直接應(yīng)用基本不等式． （2）若不直接滿足基本不等式條件，則需要?jiǎng)?chuàng)造條件對式子進(jìn)行恒等變形，如構(gòu)造“1”的代換等．常見的變形手段有拆、并、配. ①拆——裂項(xiàng)拆項(xiàng) 對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件． ②并——分組并項(xiàng) 目的是分組后各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式，或分組后先由一組應(yīng)用

5、基本不等式，再組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值． ③配——配式配系數(shù) 有時(shí)為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項(xiàng)之和為定值. （3）若一次應(yīng)用基本不等式不能達(dá)到要求，需多次應(yīng)用基本不等式，但要注意等號(hào)成立的條件必須要一致.注：若可用基本不等式，但等號(hào)不成立，則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解. （4）基本不等式的常用變形 ①a＋b≥2(a>0，b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． ②a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． ③＋≥2

6、(a，b同號(hào)且均不為零)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． ④a＋≥2(a>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，等號(hào)成立；a＋≤－2(a<0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－1時(shí)，等號(hào)成立． 1．【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)2019屆高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題】已知，，且，則的最小值是____________． 【答案】 【解析】∵， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 因此的最小值是 2．【江蘇省徐州市（蘇北三市（徐州、淮安、連云港））2019屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題】已知，，且，則的最大值為____________． 【答案】 【解析】化為，即， 解得：， 所以的最大值為. 故答案為. 3．【江蘇省南通市2019屆高

7、三年級(jí)階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題】設(shè)，向量a，，若，則的最小值為____________． 【答案】9 【解析】因?yàn)?，所?x+（1﹣x）y=0， 又x＞0，y＞0，所以+=1， 故x+y=（+）（x+y）=5++≥9． 當(dāng)且僅當(dāng)=，+=1同時(shí)成立，即x=3，y=6時(shí)，等號(hào)成立． 則（x+y）min=9． 故答案為9． 4．【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬（三模）數(shù)學(xué)試題】在等腰中，，，則面積的最大值為____________． 【答案】4 【解析】以為軸，以的垂直平分線為軸，設(shè)，，， ，， ， ， ， ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立， ， ， 則面積的最

8、大值為4. 故答案為4． 5．【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查（二）數(shù)學(xué)試題】已知正實(shí)數(shù)，b滿足＋b＝1，則的最小值為____________． 【答案】11 【解析】因?yàn)?，且都是正?shí)數(shù)， 所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 所以的最小值為. 6．【江蘇省揚(yáng)州市2019屆高三第一學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題】已知正實(shí)數(shù)，滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________． 【答案】 【解析】由題意知x+4y﹣xy＝0，即x+4y＝xy，等式兩邊同時(shí)除以xy得， 由基本不等式可得， 當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)x＝2y=6時(shí)，等號(hào)成立， 所以，x+y的最小值為9． 因

9、此，m≤9． 故答案為． 7．【天津市部分區(qū)2019年高三質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題】已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則周長的最大值是____________． 【答案】 【解析】因?yàn)椋? 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 因此， 故周長的最大值是 8．【天津市南開區(qū)南開中學(xué)2019屆高三第五次月考數(shù)學(xué)試題】已知直線被圓截得的弦長為，則的最大值為____________． 【答案】 【解析】圓可化為， 則圓心為,半徑為， 又因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為， 所以直線過圓心,即， 即， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 的最大值為. 故答案為. 9．【河南省名校聯(lián)考2019屆高

10、三聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)試題】已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.若，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的外接圓的半徑為____________． 【答案】 【解析】由正弦定理得， 由余弦定理得， 即當(dāng)時(shí)，取得最小值為， 此時(shí)， 設(shè)外接圓半徑為， 由正弦定理得，解得. 故當(dāng)取得最小值時(shí)，的外接圓的半徑為. 10．【天津市河北區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)試題】已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列中，，，滿足，則的最小值為____________． 【答案】1 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則首項(xiàng)， 由得， 則，， ， ，， 則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）， . 故答案為1. 11．【江西省臨川一中2019屆高三年級(jí)考前模擬考試數(shù)學(xué)試題】如圖，點(diǎn)在的邊上，且，，，則的最大值為____________． 【答案】 【解析】因?yàn)椋? 所以， 因?yàn)?，所以，即? 整理得到， 兩邊平方后有， 所以， 即， 整理得到， 設(shè)， 所以， 因?yàn)椋? 所以， 則， 當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立， 故答案為. 9