（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第7講 拋物線練習（含解析）

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1、第7講　拋物線 一、選擇題 1.(2016·全國Ⅱ卷)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝(k>0)與C交于點P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A. B.1 C. D.2 解析　由題可知拋物線的焦點坐標為(1，0)， 由PF⊥x軸知，|PF|＝2，所以P點的坐標為(1，2). 代入曲線y＝(k>0)得k＝2，故選D. 答案　D 2.點M(5，3)到拋物線y＝ax2(a≠0)的準線的距離為6，那么拋物線的方程是(　　) A.y＝12x2 B.y＝12x2或y＝－36x2 C.y＝－36x2 D.y＝x2或y＝－x2 解析　分兩類a>0，a<0可得

2、y＝x2，y＝－x2. 答案　D 3.(2017·張掖診斷)過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|＝(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 解析　拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故選B. 答案　B 4.已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點.若＝4，則|QF|等于(　　) A. B. C.3 D.2 解析　∵＝4， ∴||

3、＝4||，∴＝. 如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′， 設l與x軸的交點為A， 則|AF|＝4，∴＝＝， ∴|QQ′|＝3，根據(jù)拋物線定義可知|QQ′|＝|QF|＝3，故選C. 答案　C 5.(2017·衡水金卷)已知拋物線y2＝4x，過點P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則y＋y的最小值為(　　) A.12 B.24 C.16 D.32 解析　當直線的斜率不存在時，其方程為x＝4， 由得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32. 當直線的斜率存在時，設其方程為y＝k(x－4)， 由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，

4、y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32＞32， 綜上可知，y＋y≥32. ∴y＋y的最小值為32.故選D. 答案　D 二、填空題 6.(2016·蘭州診斷)拋物線y2＝－12x的準線與雙曲線－＝1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于________. 解析　由圖可知弦長|AB|＝2，三角形的高為3， ∴面積為S＝×2×3＝3. 答案　3 7.(2017·四川四校三聯(lián))過拋物線y2＝4x的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，則弦長|AB|為________. 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2).易得拋物線的焦點是F(1，0)

5、，所以直線AB的方程是y＝x－1，聯(lián)立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 答案　8 8.(2017·江西九校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線y2－x2＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________. 解析　y2＝2px的準線為x＝－.由于△ABF為等邊三角形.因此不妨設A，B，又點A，B在雙曲線y2－x2＝1上，從而－＝1，所以p＝2. 答案　2 三、解答題 9.(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p＞0).

6、 (1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程； (2)已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q. ①求證：線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)； ②求p的取值范圍. (1)解　∵l：x－y－2＝0，∴l(xiāng)與x軸的交點坐標為(2，0). 即拋物線的焦點為(2，0)，∴＝2，∴p＝4. ∴拋物線C的方程為y2＝8x. (2)①證明　設點P(x1，y1)，Q(x2，y2). 則則 ∴kPQ＝＝， 又∵P，Q關于l對稱.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p， ∴＝－p，又∵PQ的中點一定在l上， ∴＝＋2＝2－p. ∴線段PQ的中點坐標為(2－p，－p). ②解

7、　∵PQ的中點為(2－p，－p)， ∴ 即∴ 即關于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有兩個不等實根.∴Δ＞0. 即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0＜p＜， 故所求p的范圍為. 10.已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋為定值； (3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切. 證明　(1)由已知得拋物線焦點坐標為(，0). 由題意可設直線方程為x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)

8、 則y1，y2是方程(*)的兩個實數(shù)根， 所以y1y2＝－p2. 因為y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2， 所以x1x2＝＝＝. (2)＋＝＋ ＝. 因為x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式， 得＋＝＝(定值). (3)設AB的中點為M(x0，y0)，分別過A，B作準線的垂線，垂足為C，D，過M作準線的垂線，垂足為N， 則|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝ (|AF|＋|BF|)＝|AB|. 所以以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切. 11.(2017·合肥模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦AB的兩端點坐標分別為A(x1，y1)，

9、B(x2，y2)，則的值一定等于(　　) A.－4 B.4 C.p2 D.－p2 解析　①若焦點弦AB⊥x軸，則x1＝x2＝，則x1x2＝； ②若焦點弦AB不垂直于x軸，可設AB：y＝k(x－)， 聯(lián)立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0， 則x1x2＝.又y＝2px1，y＝2px2， ∴yy＝4p2x1x2＝p4，又∵y1y2＜0，∴y1y2＝－p2. 故＝－4. 答案　A 12.(2016·四川卷)設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(　　)

10、 A. B. C. D.1 解析　如圖， 由題可知F，設P點坐標為(y0＞0)， 則＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝， kOM＝＝≤＝，當且僅當y＝2p2等號成立.故選C. 答案　C 13.(2016·湖北七校聯(lián)考)已知拋物線方程為y2＝－4x，直線l的方程為2x＋y－4＝0，在拋物線上有一動點A，點A到y(tǒng)軸的距離為m，到直線l的距離為n，則m＋n的最小值為________. 解析　如圖，過A作AH⊥l，AN垂直于拋物線的準線，則|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，連接AF，則|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面幾何知識，知當A，F(xiàn)，H三點共線時，|AF|＋|AH|＝m＋n

11、＋1取得最小值，最小值為F到直線l的距離，即＝，即m＋n的最小值為－1. 答案?。? 14.(2017·南昌模擬)已知拋物線C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p＞0)的焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O為坐標原點). (1)求拋物線C2的方程； (2)過點O的直線交C1的下半部分于點M，交C2的左半部分于點N，求△PMN面積的最小值. 解　(1)由題意知F1(1，0)，F(xiàn)2， ∴＝， ∵F1F2⊥OP，∴·＝·(－1，－1)＝1－＝0， ∴p＝2，∴拋物線C2的方程為x2＝4y. (2)設過點O的直線為y＝kx(k＜0)， 聯(lián)立得M， 聯(lián)立得N(4k，4k2)， 從而|MN|＝＝， 又點P到直線MN的距離d＝， 進而S△PMN＝··· ＝2·＝ ＝2， 令t＝k＋(t≤－2)， 則有S△PMN＝2(t－2)(t＋1)， 當t＝－2時，此時k＝－1，S△PMN取得最小值. 即當過點O的直線為y＝－x時，△PMN面積的最小值為8. 7