《（江蘇專版）2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題09 空間幾何體的體積與表面積（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題09 空間幾何體的體積與表面積（含解析）（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題09空間幾何體的體積與表面積
【母題來源一】【2019年高考江蘇卷】如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E?BCD的體積是 ▲ .
【答案】10
【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為120，所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知底面，
所以是三棱錐的底面上的高，
所以三棱錐的體積.
【名師點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計(jì)算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補(bǔ)”的方法解題.由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.
【母題來源二】【2018年高考江蘇卷】如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)
2、為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________．
【答案】
【解析】由圖可知，該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長(zhǎng)等于，所以該多面體的體積為.
【名師點(diǎn)睛】解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．
【母題來源三】【2017年高考江蘇卷】如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱的體積為，球的體積為，則的值是.
【答案】
【解析】設(shè)球半徑為，則．故答案為．
3、
【名師點(diǎn)睛】空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．
【命題意圖】
了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，主要考查空間想象能力以及運(yùn)算求解能力.
【命題規(guī)律】
立體幾何問題既是高考的必考點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)，其在高考中的命題形式較為穩(wěn)定，主要以柱體、椎體、球、組合體為載體考查常見幾何體的體積或表面積公式，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算.提高空間想象能力，熟記柱體、椎體和球體的體積公式是求解此類問題的關(guān)
4、鍵.
【方法總結(jié)】
（一）求柱體、錐體、臺(tái)體體積的一般方法有：
（1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．
（2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補(bǔ)法等方法進(jìn)行求解．
①等體積法：一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積.
②割補(bǔ)法：運(yùn)用割補(bǔ)法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計(jì)算問題，關(guān)鍵是能根據(jù)幾
5、何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，如果是由幾個(gè)規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個(gè)規(guī)則的幾何體的體積之和;如果是由一個(gè)規(guī)則的幾何體挖去幾個(gè)規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個(gè)規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個(gè)幾何體的體積．因此，從一定意義上說，用割補(bǔ)法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減”法．
（3）求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用．
（二）球的表面積和體積的求解策略：
（1）確定一個(gè)球的條件是球心和球的半徑
6、，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其半徑.熟記球的表面積公式為，體積公式為.
（2）與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般涉及水的容積問題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，正確建立等量關(guān)系.
（3）有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.球心到截面的距離與球的半徑及截面圓的半徑之間滿足關(guān)系式：.
（4）常見結(jié)論：
①若正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的內(nèi)切球半徑是；正方體的外接球半徑是；與正方體所有棱相切的球的半徑是．
②若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，則長(zhǎng)方體的外接球半徑是．
③若正四面體的棱長(zhǎng)為，
7、則正四面體的內(nèi)切球半徑是；正四面體的外接球半徑是；與正四面體所有棱相切的球的半徑是．
④球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑．
⑤球與圓臺(tái)的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高．
1．【江蘇省蘇州市2019屆高三下學(xué)期階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題】四棱錐P－ABCD中，⊥底面，底面是矩形，，，，點(diǎn)E為棱CD上一點(diǎn)，則三棱錐E－PAB的體積為______.
【答案】
【解析】∵底面ABCD是矩形，E在CD上，
∴S△ABE3．
∵PA⊥底面ABCD，
∴VE?PAB＝VP?ABE．
故答案為：．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積計(jì)算，線面位置關(guān)系
8、，熟記等體積轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．由PA⊥平面ABCD可得VE?PAB＝VP?ABE，求解即可.
2．【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三4月考試數(shù)學(xué)試題】若將一個(gè)圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開，其展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為_______.
【答案】
【解析】因?yàn)檎归_圖是半徑為3，圓心角為的扇形，
所以圓錐的母線，圓錐的底面的周長(zhǎng)為，因此圓錐底面的半徑，
根據(jù)勾股定理，可知圓錐的高，
所以圓錐的體積為.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了求圓錐的體積問題，解題的關(guān)鍵是熟知圓錐側(cè)面展開圖與圓錐之間的關(guān)系.求解時(shí)，通過展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，可以求出圓錐的母線、
9、圓錐的底面周長(zhǎng)及半徑，這樣可以求出圓錐的高，利用圓錐的體積公式求出圓錐的體積.
3．【江蘇省徐州市2018-2019學(xué)年高三考前模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】已知一個(gè)圓柱的軸截面為正方形，其側(cè)面積為，與該圓柱等底等高的圓錐的側(cè)面積為，則的值為_______.
【答案】
【解析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，則高為，圓錐母線長(zhǎng)為，
所以，，
所以，故填.
【名師點(diǎn)睛】本題考查圓柱、圓錐側(cè)面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，則高為，圓錐母線的長(zhǎng)為，分別計(jì)算圓柱和圓錐的側(cè)面積可得它們的比值.
4．【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬（三模）數(shù)學(xué)試題】用半徑為4的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐
10、的側(cè)面，則此圓錐的體積為_______.
【答案】
【解析】如圖，半圓的弧長(zhǎng)為：，，即圓錐的底面半徑為：，
∴圓錐的高為：，
圓錐的體積為：，
本題正確結(jié)果為.
【名師點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積、體積的相關(guān)問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，由半圓弧長(zhǎng)可求得圓錐的底面半徑，從而得到圓錐的高，代入圓錐體積公式求得結(jié)果.
5．【江蘇省南通市2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】某長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，則該長(zhǎng)方體的體積與其外接球的體積之比為________.
【答案】
【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，
所以長(zhǎng)方體的體積為，
其外接球直徑為，故，
所以其外接球體積為
11、，
因此，該長(zhǎng)方體的體積與其外接球的體積之比為.
故答案為.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查長(zhǎng)方體的體積及其外接球的體積，熟記體積公式即可，屬于?？碱}型.求解時(shí)，根據(jù)題中條件，先求出長(zhǎng)方體的體積，再由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線等于其外接球的直徑，求出外接球半徑，得到外接球體積，即可求出體積之比.
6．【江蘇省蘇州市2019屆高三5月高考信息卷數(shù)學(xué)試題】圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是
________cm.
【答案】4
【解析】設(shè)球半徑為r，則由可得，解得．
【思路點(diǎn)睛】本題考查幾何體的
12、體積，考查學(xué)生空間想象能力，解答時(shí)，首先設(shè)出球的半徑，然后再利用三個(gè)球的體積和水的體積之和等于柱體的體積，求解即可．
7．【江蘇省南京金陵中學(xué)、海安高級(jí)中學(xué)、南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試題】如圖，該幾何體由底面半徑相同的圓柱與圓錐兩部分組成，且圓柱的高與底面半徑相等．若圓柱與圓錐的側(cè)面積相等，則圓錐與圓柱的高之比為________．
【答案】
【解析】設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為R，則圓柱的高＝R，圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，
因?yàn)閳A柱與圓錐的側(cè)面積相等，
所以，解得：L＝2R，所以圓錐的高為＝R，
所以圓錐與圓柱的高之比為.
故答案為：.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了圓柱
13、與圓錐側(cè)面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為R，圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，由圓柱與圓錐側(cè)面積相等得L＝2R，進(jìn)而得圓錐的高為R，即可求出結(jié)果.
8．【江蘇省南通市2019屆高三下學(xué)期4月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題】已知一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該棱錐的體積為_______.
【答案】
【解析】由題意可知：，，
，，
，
.
本題正確結(jié)果為.
【名師點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是利用側(cè)棱與底面的夾角，求得幾何體的高和底面邊長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，根據(jù)側(cè)棱長(zhǎng)和側(cè)棱與底面夾角求得高和底面邊長(zhǎng)，利用體積公式求得結(jié)果.
9．【江蘇省七市(南通、
14、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港)2019屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm．將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體的體積為_______cm3．
【答案】
【解析】依據(jù)題意，作出如下直角梯形：
將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體體積等于一個(gè)圓柱的體積和一個(gè)圓錐的體積之和.
其中圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的半徑為，高為.
由此可知：.
故答案為：.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了空間思維能力，還考查了錐體體積公式及圓柱體積公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題
15、.求解時(shí)，由題可得：將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體體積等于一個(gè)圓柱的體積和一個(gè)圓錐的體積之和，由錐體體積公式及圓柱體積公式計(jì)算得解.
10．【江蘇省七市2019屆(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港)高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】設(shè)P，A，B，C為球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA= 2 m，PB= 3 m，PC= 4 m，則球O的表面積為_______m2．
【答案】
【解析】∵P，A，B，C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，
則球的直徑等于以PA，PB，PC長(zhǎng)為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).
∵PA= 2 m，PB= 3 m，
16、PC= 4 m，
∴2R＝，
則球O的表面積S＝4πR2＝29π，
故答案為.
【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積，及球的內(nèi)接多面體，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造長(zhǎng)方體，計(jì)算出球O的半徑，是解答本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.
11．【江蘇省如皋中學(xué)2018-2019學(xué)年高三第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題】如圖，三棱錐中，是的中點(diǎn)，在上，且，若三棱錐的體積是2，則四棱錐的體積為_______．
【答案】10
【解析】設(shè)的面積為，
∵，∴的面積為．
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為，
則有，
∴，
∴四棱錐的體積為．故答案為：.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查錐體體積的求法和轉(zhuǎn)化思想
17、方法的運(yùn)用，同時(shí)也考查計(jì)算能力，屬于中檔題．解答本題的關(guān)鍵是由題意得到三棱錐與三棱錐的體積比，進(jìn)而得到三棱錐的體積，利用兩個(gè)三棱錐的體積之差可得四棱錐的體積．
12．【江蘇省南通市基地學(xué)校2019屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分別為BD1，B1C1上的點(diǎn)．若，則三棱錐M-PBC的體積為_______．
【答案】1
【解析】由題意可知原圖如下：
，
又，即，
到面的距離等于到面的距離，即，
.
本題正確結(jié)果為.
【名師點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的求解，關(guān)鍵在于能夠通過體積橋的方式將原三棱錐進(jìn)行體積變換，找到易求解的底面積和高.三棱錐體積與
18、三棱錐的體積一樣，為上動(dòng)點(diǎn)，可知面積為側(cè)面面積的一半；到面的距離等于到面的距離的，由此可根據(jù)三棱錐體積公式求得體積.
13．【江蘇省徐州市2019屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題】如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為棱上任意一點(diǎn)，則四棱錐的體積為_______．
【答案】
【解析】連接AC交BD于O點(diǎn)，則有平面，
所以AO的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到平面的距離，即高；
又矩形的面積為；
所以四棱錐的體積為V＝＝.
【名師點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是先根據(jù)已知條件證明出平面，進(jìn)而求出AO就是點(diǎn)P到平面的距離，這是本題解答的關(guān)鍵點(diǎn)，此類問題基本解題方法就是先求出高，然后再根據(jù)體積公式求出體積.
14．【鹽城
19、市2019屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為上一點(diǎn)，且．設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，則__________.
【答案】
【解析】由題意得=VP?ABC=，
=VP?ACE= VP?ACD – VE?ACD = VP?ABC – VE?ACD =?
=VP?ABC=，
即.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的體積計(jì)算公式，首先需要注意椎體的體積公式V=S底h，另外三棱錐是唯一一個(gè)在計(jì)算體積時(shí)可以換底的，另外遇到不好求的體積可用割補(bǔ)法進(jìn)行.
15．【江蘇省如皋市2019屆高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（三）數(shù)學(xué)試題】如圖所示的幾何體是一個(gè)五面體，四邊形為矩形，，，且，，與都是正三角形，則此五面體的體積為_______．
【答案】
【解析】如圖，將五面體補(bǔ)全為直三棱柱，因?yàn)椋?，且，，與都是正三角形，所以，，，
所以，取中點(diǎn)，則，
所以，
故五面體的體積為：.
【名師點(diǎn)睛】不規(guī)則幾何體體積的求法，關(guān)鍵是將幾何體看作是多個(gè)規(guī)則幾何體如柱、錐、臺(tái)、球的組合體，利用割補(bǔ)法求解，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.求解時(shí)，將五面體補(bǔ)全為直三棱柱，根據(jù)五面體的幾何特征，求三棱柱底面積，再用割補(bǔ)法求五面體體積.
13
（江蘇專版）2019年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題09 空間幾何體的體積與表面積（含解析）
