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1、?醫(yī)用高等數(shù)學(xué)?中對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的合理性與可行性討論
【摘要】對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一種重要的方法，其整體思路是當(dāng)函數(shù)式較復(fù)雜〔含乘、除、乘方、開(kāi)方、指數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)等〕時(shí)，可先在方程兩邊取對(duì)數(shù)，然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)。大多數(shù)教科書(shū)對(duì)方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)是否超越對(duì)數(shù)函數(shù)定義域允許范圍都沒(méi)作討論，而這也是很多學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是否具備合理性與可行性質(zhì)疑的焦點(diǎn)。就此問(wèn)題展開(kāi)討論，驗(yàn)證了對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的合理性與可行性。
【關(guān)鍵詞】?jī)缰负瘮?shù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法顯函數(shù)隱函數(shù)
1引言高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)導(dǎo)數(shù)中一種重要方法就是對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，它適用對(duì)象主要是連乘除、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)。方法是，假設(shè)
2、求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，先取其對(duì)數(shù)，再對(duì)取過(guò)對(duì)數(shù)的函數(shù)求導(dǎo)，得到［lnf(x)］′=f′(x)f(x)，于是得到結(jié)果：f′(x)=f(x)［lnf(x)］′注意到，上面這個(gè)取對(duì)數(shù)的過(guò)程可能會(huì)遇見(jiàn)f(x)0的情況，或者f(x)存在函數(shù)值為0的點(diǎn)，遇到上述兩種情況時(shí)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是否仍然適用？而大多數(shù)教科書(shū)對(duì)此都沒(méi)作解釋?zhuān)皇菍?duì)方法加以介紹之后就引入假設(shè)干例題，如科學(xué)出版社出版的?醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)?，天津科學(xué)技術(shù)出版社出版的?醫(yī)用高等數(shù)學(xué)?等教材，再查高等教育出版社出版的?高等數(shù)學(xué)?，天津大學(xué)出版社出版的?高等數(shù)學(xué)?等教材也同樣如此。擅長(zhǎng)考慮的學(xué)生經(jīng)常會(huì)有這樣的疑問(wèn)：假如f(x)≤0,那么這種方法豈不是不
3、不合理了？實(shí)際上，我們可以證明不管f(x)如何選取，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法都是具備合理性與可行性的。
2準(zhǔn)備工作所謂對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，首先我們先從幾個(gè)用對(duì)數(shù)求函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解的例題著手，以此來(lái)給對(duì)數(shù)求導(dǎo)法做一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹。例1用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=xsinx；(2)y=xsinx1-ex；〔3〕y=5x-55x2+2。(4)y=x+2(3-x)4(x+1)5;
【對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的原理】：利用指數(shù)函數(shù)的換底公式f(x)=elnf(x)。
【對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的方法】：在求顯函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)之前，先取其對(duì)數(shù)化為隱函數(shù)，再對(duì)取過(guò)對(duì)數(shù)的函數(shù)利用隱函數(shù)求導(dǎo)法關(guān)于x求導(dǎo)，得(lny)′=f′(x)
4、f(x)，于是可以得到結(jié)果：f′(x)=(lny)′·f(x)
【對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用對(duì)象】：含假設(shè)干因子乘、除、乘方、開(kāi)方的函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；冪指函數(shù)等。例如例1中〔1〕、〔2〕兩例的求解過(guò)程如下：(1)解：在y=xsinx兩端同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到lny=sinxlnx〔1〕在上式兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，得1yy′=sxlnx+sinxx所以，我們有y′=y(sxlnx+sinxx)=xsinx(sxlnx+sinxx)〔2〕解：在y=xsinx1-ex兩端同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到lny=12［lnx+lnsinx+12ln(1-ex)］〔2〕在上式兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，
5、得y′y=12［1x+sxsinx+12-ex1-ex］，于是y′=y［12x+sx2sinx-ex4(1-ex)］
=12xsinx1-ex［1x+sxsinx-ex2(1-ex)］其余兩個(gè)例子我們可采取同樣的方法對(duì)函數(shù)求導(dǎo)。注意到：〔1〕式假設(shè)有意義，要求必須有x0，y0,而原函數(shù)y=xsinx的定義域是x∈R，而且y的取值也可以是負(fù)數(shù)或者是零。同樣，〔2〕式中假設(shè)lnx有意義，那么必有x0，同樣ln(1-ex)要有意義那么必須有x0。那么，從嚴(yán)格的角度來(lái)看，〔2〕式是無(wú)意義的。那么，是不是對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)這道題是不適用的呢？不是的，我們?cè)谙挛膶?huì)對(duì)這個(gè)問(wèn)題作出分析。
3分析首先我
6、們必需要知道對(duì)數(shù)求導(dǎo)法最初是有條件限制的，即：
【對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的必要條件】：f(x)0在講對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的過(guò)程中，我們大多數(shù)教師會(huì)告訴學(xué)生，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法有其必要條件f(x))。但是，一般來(lái)說(shuō)，這個(gè)驗(yàn)證f(x)0的過(guò)程是異常繁瑣的，而且還會(huì)碰到f(x)≤0的情況，例如例題中的第〔4〕小題，當(dāng)x取值小于等于5時(shí)。下面我們分別就f(x)0和f(x)含取值為0的點(diǎn)這兩種情況對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的合理與可行性。①f(x)0時(shí)針對(duì)這種情況我們可以對(duì)函數(shù)取絕對(duì)值之后再利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求解如下：［ln|y|］′=|f(x)|′|f(x)|=［-f(x)］′-f(x)=f′(x)f(x)∴f′(x)=［ln|y|］′·f(x
7、)而我們知道［ln|y|］′=1y，所以實(shí)際上最終得到的結(jié)果和f(x)0時(shí)是一樣的。那么，我們是不是可以考慮把對(duì)數(shù)求導(dǎo)公式改寫(xiě)成先取絕對(duì)值再求導(dǎo)呢？這樣，就可以防止了f(x)0帶來(lái)的為難。但是，我們注意到在ln|f(x)|的右端分項(xiàng)表達(dá)式中，這樣做不僅帶來(lái)了費(fèi)事，還對(duì)結(jié)果無(wú)任何影響。所以，我們不妨假定f(x)和右端各連乘因子均為正，因此就不再取絕對(duì)值了。在解題過(guò)程中我們經(jīng)常連“不妨取f(x)0〞這句話也省略了。②f(x)取值為0的點(diǎn)處這種情況，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法也是沒(méi)有問(wèn)題的。首先，我們?cè)诶脤?duì)數(shù)求導(dǎo)公式對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)時(shí)，是默認(rèn)的在f(x)的可導(dǎo)區(qū)間對(duì)其求導(dǎo)，例如，假設(shè)ln|f(x)|=ln|x|
8、。我們?cè)诶霉?ln|x|)′=1x時(shí)，并不是沒(méi)有考慮x=0，而是默認(rèn)此公式在x≠0時(shí)成立。其次，導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是一個(gè)極限運(yùn)算，與函數(shù)值等于什么值是無(wú)關(guān)的，所以f(x)函數(shù)在“使f(x)=0的點(diǎn)x=x0〞處完全也可能是可導(dǎo)的，此時(shí)怎么對(duì)待我們的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法呢？此時(shí)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法仍然具有其合理性，其根據(jù)是“假設(shè)f(x)在x=x0這個(gè)點(diǎn)處連續(xù)，且lix→x0f′(x)=A，那么必有f′(x)=A〞。下面我們可以先來(lái)看一個(gè)在“f(x)=0〞的點(diǎn)處函數(shù)不可導(dǎo)的例子和一個(gè)在“f(x)=0〞的點(diǎn)處函數(shù)可導(dǎo)的例子。例2設(shè)y=3(x-1)(x-2)(x+3)(x-4)，求y′。分析：注意到x=-3,x=4是原函數(shù)的可
9、去連續(xù)點(diǎn)，x=1,x=2是使“f(x)=0〞的點(diǎn)，且f(x)在x=1,x=2點(diǎn)處是不可導(dǎo)的。假如直接利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將是很復(fù)雜的，下面我們看一下用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求解此題。解：先將方程兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=13［ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x+3)-ln(x-4)］再對(duì)上式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得1yy′=13(1x-1+1x-2-1x-3-1x-4)∴y′=y3(1x-1+1x-2-1x+3-1x-4)=13(x-1)(x-2)(x+3)(x-4)(1x-1+1x-2-1x+3-1x-4)(3)我們發(fā)現(xiàn)，用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求解此題，最終的結(jié)果(3)式在x=1,x=2,x=3,
10、x=4處也是不存在的，我們默認(rèn)此結(jié)果只有在x≠1,x≠2,x≠3,x≠4時(shí)成立。所以此題用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法不僅劃繁為簡(jiǎn)，而且表達(dá)出了我們分析的結(jié)果。例3求函數(shù)y=(2x6-5)9(x+7)3(1+x2)x。分析：注意到x=-7是函數(shù)的可去連續(xù)點(diǎn)。x=±652是使“f(x)=0〞的點(diǎn)，而且f(x)在x=±652是可導(dǎo)的，我們用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求解觀察結(jié)果是否表達(dá)這一特點(diǎn)。解：先將方程兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=9ln(2x6-5)+xln(1+x2)-3ln(x+7)再兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)，得到1yy′=912x52x6-5+x2x1+x2-31x+7上式化簡(jiǎn)之后得到y(tǒng)′=y(108x52x6-5+2x21+x2-3
11、x+7〕=(1+x2)x(108x5(2x6-5)9(x+7)3-3(2x6-5)9(x+7)4)+(1+x2)x(2x6-5)9(x+7)3(2x21+x2+ln(1+x2))對(duì)于上述結(jié)果，我們默認(rèn)只是在x≠-7時(shí)成立，而上述結(jié)果在x=±652的值也是存在的，即為原函數(shù)在x=±652處的導(dǎo)數(shù)值。關(guān)鍵之處在于我們?cè)谛问缴咸幚砹撕瘮?shù)y(ln|y|)′的兩個(gè)可去連續(xù)點(diǎn)。
4結(jié)論基于以上討論，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)f(x)0時(shí)，我們只需對(duì)f(x)稍作改變，即先取絕對(duì)值，然后再取對(duì)數(shù)。而我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)f(x)0時(shí)，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法所得結(jié)果同f(x)0時(shí)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法所得結(jié)果是一樣的。既然結(jié)果不受f(x)符號(hào)的影響，我們通常在利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)之前先聲明“假設(shè)f(x)0〞，更多的情況我們都不做聲明，直接把f(x)當(dāng)作的大于0的函數(shù)對(duì)其直接取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)，最終結(jié)果是不受影響的。針對(duì)使f(x=0)的點(diǎn)，由前面的討論知對(duì)數(shù)求導(dǎo)法也是可行的。所以對(duì)數(shù)求導(dǎo)法針對(duì)任意情況都是具有其合理性與可行性的。
【參考文獻(xiàn)】1張雙德,鄭乃法.醫(yī)用高等數(shù)學(xué).天津科學(xué)技術(shù)出版社,2001,38～47.2張雙德.高等數(shù)學(xué).天津大學(xué)出版社,2022,49～60.3馬建忠.醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué).科學(xué)出版社,2022,37～43.4同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社,1999,86～96.
《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》中對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的合理性與可行性探討
