江蘇省蘇州市2021年中考數(shù)學二輪復習專題《開放性問題》

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1、 江蘇省蘇州市2017年中考數(shù)學二輪復習專題《開放性問題》 2017年中考數(shù)學二輪復習專題《開放性問題》 題型概述 【題型特征】一個數(shù)學問題系統(tǒng)中，通常包括已知條件、解題依據(jù)、方法和結(jié)論。如果這些部分齊備，稱之為封閉性問題.若不完全齊備，稱之為開放性問題，數(shù)學開放題就是指那些條件不完整，結(jié)論不確定，解法不限制的數(shù)學問題，它的顯著特點是正確答案不唯一. 常見的開放性問題有:(1)條件開放型;(2)結(jié)論開放型;(3)策略開放型;(4)綜合開放型. 【解題策略】(1)條件開放型，指結(jié)論給定，條件未知或不全，需要探求結(jié)論成立的條件，且與結(jié)論成立相對應的條件不

2、唯一的數(shù)學問題.這類開放題在中考試卷中多以填空題形式出現(xiàn). 解條件開放型問題的一般思路是:由已知的結(jié)論反思題目應具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，挖掘條件，逆向追索，逐步探求，最終得出符合結(jié)論的條件.這是一種分析型思維方式. (2)結(jié)論開放型，指條件充分給定，結(jié)論未知或不全，需要探求，整合出符合給定條件下相應結(jié)論的一類試題.這類開放題在中考試卷中，以解答題居多. 解結(jié)論開放型問題的一般思路是:充分利用已知條件或圖形特征，進行猜想、歸納、類比，透徹分析出給定條件下可能存在的結(jié)論，然后經(jīng)過論證作出取舍.這是一種歸納類比型思維方式. (3)策略開放型，是指題

3、目的條件和結(jié)論都已知或部分已知，需要探求解題方法或設計解題方案的一類試題.這類開放題在中考試卷中，一般出現(xiàn)在閱讀題、作圖題和應用題中. 解策略開放型問題的處理方法一般需要模仿、類比、實驗、創(chuàng)新和綜合運用所學知識，建立合理的數(shù)學模型，從而使問題得到解決.這是一種綜合性思維. (4)綜合開放型，是指條件、結(jié)論、解題方法中至少有兩項同時呈現(xiàn)開放形式的數(shù)學問題.這類問題往往僅提供一種問題情境，需要我們補充條件，設計結(jié)論，并尋求解法的一類問題. 解綜合開放型問題要求我們對所學知識特別熟悉并能靈活運用. 考點解析 類型一 條件開放型 典例1 (2016·黑龍

4、江)如圖，在平行四邊形中，延長到點，使，連接請你添加一個條件 ，使四邊形是矩形. 【解析】這是一道條件開放型的問題，采用分類討論法解答.解這種開放問題的一般思路是:由已知的結(jié)論反思題目應具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，逆向追索，逐步探求. 【全解】添加.理由如下: 四邊形是平行四邊形， ，且. . 又， . 四邊形為平行四邊形. 又, 四邊形是矩形. 故答案是. 1.(2015·廣東梅州)已知，在中，點是邊的中點，點在邊上，若以 為頂點的三角形與相似，則需要增加的一個條件是

5、 .(寫出一個即可) 【考情小結(jié)】解答條件開放題掌握概念、性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵. 類型二 結(jié)論開放型 典例2 (2015·浙江杭州)設函數(shù) (是常數(shù)). (1)當取1和2時的函數(shù)和的圖象如圖所示，請你在同一直角坐標系中畫出當取0時函數(shù)的圖象; (2)根據(jù)圖象，寫出你發(fā)現(xiàn)的一條結(jié)論; (3)將函數(shù)的圖象向左平移4個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的最小值. 【全解】(1)作圖如圖: (2)函數(shù)(是常數(shù))的圖象都經(jīng)過點(1,0)和(－1,4). (3)， 將函數(shù)的圖象向左平移4個單位，

6、再向下平移2個單位，得到函數(shù)為. 當時，函數(shù)的最小值為－2. 2.(2016·北京)右圖中四邊形均為矩形，根據(jù)圖形，寫出一個正確的等式: . 3.(2016·湖北荊州)請用割補法作圖，將一個銳角三角形經(jīng)過一次或兩次分割后，重新拼成一個與原三角形面積相等的平行四邊形(只要求用一種方法畫出圖形，把相等的線段作相同的標記). 【考情小結(jié)】論開放題與常規(guī)題的相同點是:它們都給出了已知條件(題設)，要求尋求結(jié)論;區(qū)別是前者的條件一般較弱，結(jié)論通常在兩個以上，解答時需要發(fā)散思維和分類討論等思想方法的參與，而后者答案一般只有一個，解題目標大多比較明確.

7、 類型三 策略開放型 典例3 (2015·黑龍江哈爾濱)圖(1)，圖(2)是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點. (1)在圖(1)中畫出等腰直角三角形，使點在格點上，且; (2)在圖(2)中以格點為頂點畫出一個正方形，使正方形面積等于(1)中等腰直角三角形面積的4倍，并將正方形分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角和一個正方形，且正方形面積沒有剩余(畫出一種即可). 【解析】(1)如圖(1)所示: (2)如圖(2)所示: 4.(2015·山東棗莊)如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每

8、個小正方形的頂點稱為格點，左上角陰影部分是一個以格點為頂點的正方形(簡稱格點正方形).若再作一個格點正方形，并涂上陰影，使這兩個格點正方形無重疊面積，且組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則這個格點正方形的作法共有( ). A. 2種 B. 3種 C. 4種 D. 5種 【考情小結(jié)】解策略型開放題時，要對已有條件進行發(fā)散聯(lián)想，努力提出滿足條件和要求的各種方案和設想，并認真加以研究和驗證，直至完全符合要求為止.解決這類問題時往往需要利用分類討論思想，作多方面設計與思考. 類型四 綜合開放型

9、典例4 (2016·黑龍江)已知，點是平行四邊形對角線所在直線上的一個動點(點不與點重合)，分別過點向直線作垂線，垂足分別為點，點為的中點. (1)當點與點重合時如圖(1)，易證.(不需證明) (2)直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當時，如圖(2)、圖(3)的位置，猜想線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你對圖(2)、圖(3)的猜想，并選擇一種情況給予證明. 【解析】(1)由即可得出結(jié)論. (2)圖(2)中的結(jié)論為: ，延長交于點，只要證明是等邊三角形，即可解決問題. 圖(3)中的結(jié)論為:,延長交的延長線于點，證明方法類似. 【全解】(1)

10、, . 在和中，， . . (2)圖(2)中的結(jié)論為:. 圖(3)中的結(jié)論為:. 選圖(2)中的結(jié)論證明如下: 延長交于點，如圖(4)所示. , . . 在和中，， . . 在Rt中， , . , . 是等邊三角形. . , . , . 5.(2014·湘南湘潭)為等邊三角形，邊長為. (1)求證: ∽; (2)若，設，四邊形面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當為何值時取最大值; (3)已知四點共圓，已知，求此圓直徑. 【考情小結(jié)】考試時，對于綜合開放題，若沒有其他要求，可選用簡單情型的進行解答. 參考答案 1.或. 2.(答案不唯一) 3.答案不唯一， 如圖所示. 4. C 5. (1) , . 為等邊三角形， . ∽. (2)當時，取最大值，最大值為. 與之間的函數(shù)關(guān)系為 (其中). 當m=2時，S取到最大值，最大值為. (3)此圓直徑為. 13