中考數(shù)學(xué)沖刺專(zhuān)題訓(xùn)練 壓軸題（含解析）

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1、……………………………………………………………最新資料推薦………………………………………………… 壓軸題 一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的） 1．如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<α<120°)得到，與BC，AC分別交于點(diǎn)D，E.設(shè)，的面積為，則與的函數(shù)圖象大致為( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 連接B′C，作AH⊥B′C′，垂足為H， ∵AB=AC，∠B=30°， ∴∠C=∠B=30°， ∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<

2、α<120°)得到， ∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°， ∴AH=AC′=1， ∴C′H=， ∴B′C′=2C′H=2， ∵AB′=AC， ∴∠AB′C=∠ACB′， ∵∠AB′D=∠ACD=30°， ∴∠AB′C-∠AB′D=∠ACB′-∠ACD， 即∠DB′C=∠DCB′， ∴B′D=CD， ∵CD+DE=x， ∴B′D+DE=x，即B′E=x， ∴C′E=B′C′-B′E=2-x， ∴y==×(2-x)×1=， 觀察只有B選項(xiàng)的圖象符合題意， 故選B. 2．如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，是以點(diǎn)（0,3）為圓心，2為半徑的圓

3、上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，連結(jié).則線段的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵拋物線與軸交于、兩點(diǎn) ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4. 在直角三角形COB中 BC= ∵Q是AP上的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn) ∴OQ為△ABP中位線，即OQ=BP 又∵P在圓C上，且半徑為2， ∴當(dāng)B、C、P共線時(shí)BP最大，即OQ最大 此時(shí)BP=BC+CP=7 OQ=BP=. 3．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,6)，C為OB的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到．若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)D，則k的值是（　　） A

4、．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【解析】 作軸于． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)， ∴． 故選：C． 4．如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，的兩邊與線段分別交于點(diǎn)、，連接分別交、于點(diǎn)、．若，，則( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵，，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴， 過(guò)作于，則四邊形是矩形， ∴，，∴， ∴， ∵，∴， ∵，， ∴，∴，

5、 ∴設(shè)，， ∵，∴， ∴，解得：，∴， 故選：B． 5．如圖，正方形ABCD和正方形CGFE的頂點(diǎn)C，D，E在同一條直線上，頂點(diǎn)B，C，G在同一條直線上．O是EG的中點(diǎn)，∠EGC的平分線GH過(guò)點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)H，連接FH交EG于點(diǎn)M，連接OH．以下四個(gè)結(jié)論：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正確的結(jié)論是（　?。? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【解析】 如圖， ∵四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形， ∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG， 在△BCE和△DCG中， ∴△BCE≌△DCG（SA

6、S）， ∴∠BEC＝∠BGH， ∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE， ∴∠BEC+∠HDE＝90°， ∴GH⊥BE． 故①正確； ∵△EHG是直角三角形，O為EG的中點(diǎn)， ∴OH＝OG＝OE， ∴點(diǎn)H在正方形CGFE的外接圓上， ∵EF＝FG， ∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG， ∴△EHM∽△GHF， 故②正確； ∵△BGH≌△EGH， ∴BH＝EH， 又∵O是EG的中點(diǎn)， ∴HO∥BG， ∴△DHN∽△DGC， 設(shè)EC和OH相交于點(diǎn)N． 設(shè)HN＝a，則BC＝2a，設(shè)正方形ECGF的邊長(zhǎng)是2b，則NC＝b，CD

7、＝2a， 即a2+2ab﹣b2＝0， 解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去）， 故③正確； ∵△BGH≌△EGH， ∴EG＝BG， ∵HO是△EBG的中位線， ∴HO＝BG， ∴HO＝EG， 設(shè)正方形ECGF的邊長(zhǎng)是2b， ∴EG＝2b， ∴HO＝b， ∵OH∥BG，CG∥EF， ∴OH∥EF， ∴△MHO△MFE， ∴， ∴EM＝OM， ∴， ∴ ∵EO＝GO， ∴S△HOE＝S△HOG， ∴ 故④錯(cuò)誤， 故選：A． 6．拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，且過(guò)點(diǎn)（1，0）.頂點(diǎn)位于第二象限，其部分圖像如圖所示，給出以下判斷：

8、①且； ②； ③； ④； ⑤直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則.其中正確的個(gè)數(shù)有( ) A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 【答案】C 【解析】 ∵對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，圖象與y軸交于y軸正半軸， ∴ab>0，c>0，故①錯(cuò)誤， ∵圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），對(duì)稱(chēng)軸為x=-1， ∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-3，0）， ∵拋物線的開(kāi)口向下， ∴a<0， ∴x=-2時(shí)，4a-b+c>0，故②正確， ∵對(duì)稱(chēng)軸x==-1， ∴b=2a， ∵x=1時(shí)，a+b+c=0， ∴3a+c=0， ∴8a+c=5a<0，故③錯(cuò)誤， ∵3a+c=0， ∴c=-3a，

9、∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c，故④正確， ax2+bx+c=2x+2， 整理得：ax2+(b-2)x+c-2=0， ∵直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為， ∴x1+x2+x1x2=+==-5，故⑤正確， 綜上所述：正確的結(jié)論為②④⑤，共3個(gè). 故選C. 7．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一點(diǎn)，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，則CE與DE的數(shù)量關(guān)系正確的是 A．CE=DE B．CE=DE C．CE=3DE D．CE=2DE 【答案】B 【解析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，∵AD=

10、1，BC=2，∴CH=1，根據(jù)勾股定理可得DH=AB=，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∴∠AED+∠ADE=90°， 又∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴Rt△ADE∽R(shí)t△BEC，∴，設(shè)BE=x，則AE，即，解得x=，∴，即CE=，故選B． 8．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF、有以下結(jié)論：①AN＝EN，②當(dāng)AE＝AF時(shí)，＝2﹣，③BE+DF＝EF，④存在點(diǎn)E、F，使得NF＞DF，其中正確的個(gè)數(shù)是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4

11、【答案】B 【解析】 ①如圖1， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°， ∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME， ∴△AMN∽△BME， ∴， ∵∠AMB＝∠EMN， ∴△AMB∽△NME， ∴∠AEN＝∠ABD＝45° ∴∠NAE＝∠AEN＝45°， ∴△AEN是等腰直角三角形， ∴AN＝EN， 故①正確； ②在△ABE和△ADF中， ∵， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∵BC＝CD， ∴CE＝CF， 假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)CE＝x，則BE＝1﹣x， 如圖2，連接AC

12、，交EF于H， ∵AE＝AF，CE＝CF， ∴AC是EF的垂直平分線， ∴AC⊥EF，OE＝OF， Rt△CEF中，OC＝EF＝x， △EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°， ∴OE＝BE， ∵AE＝AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL）， ∴AO＝AB＝1， ∴AC＝＝AO+OC， ∴1+x＝， x＝2﹣， ∴＝＝＝； 故②不正確； ③如圖3， ∴將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則AF＝AH，∠DAF＝∠BAH， ∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE， ∵∠ABE＝∠ABH＝90°， ∴H

13、、B、E三點(diǎn)共線， 在△AEF和△AEH中， ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF， 故③正確； ④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°， ∠FDN＝45°， ∴DF＞FN， 故存在點(diǎn)E、F，使得NF＞DF， 故④不正確； 故選B． 二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題6分，共24分） 9．若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組有且僅有四個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程 =2有非負(fù)數(shù)解，則滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的值是__________． 【答案】-2 【解析】解不等式組，可得，∵不等式組有且僅有四個(gè)整數(shù)解， ∴-1≤<0，∴-4<

14、a≤-2，解分式方程=2，可得y=， 又∵分式方程有非負(fù)數(shù)解，∴y≥0，且y≠2，即≥0，≠2，解得a≥-2且a≠2，∴-2≤a≤3，且a≠2， ∴滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的值為-2，故答案為：-2． 10．如圖，過(guò)點(diǎn)C(3,4)的直線交軸于點(diǎn)A，∠ABC=90°，AB=CB，曲線過(guò)點(diǎn)B，將點(diǎn)A沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在該曲線上，則的值為_(kāi)_______． 【答案】4 【解析】 分別過(guò)點(diǎn)B、點(diǎn)C作軸和軸的平行線，兩條平行線相交于點(diǎn)M，與軸的交點(diǎn)為N，則∠M=∠ANB=90°， 把C(3,4)代入，得4=6+b，解得：b=-2， 所以y=2x-2， 令y=0，則0=2x-2，

15、解得：x=1， 所以A(1，0)， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBM+∠ABN=90°， ∵∠ANB=90°， ∴∠BAN+∠ABN=90°， ∴∠CBM=∠BAN， 又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC， ∴△ABN≌△BCM， ∴AN=BM，BN=CM， ∵C(3，4)，∴設(shè)AN=m，CM=n， 則有，解得， ∴ON=3+1=4，BN=1， ∴B(4，1)， ∵曲線過(guò)點(diǎn)B， ∴k=4， ∴， ∵將點(diǎn)A沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在該曲線上，此時(shí)點(diǎn)A移動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，a)， ∴a=4， 故答案為：4. 11．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)矩

16、形對(duì)角線的交點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)、．若四邊形的面積為12，則的值為_(kāi)_____． 【答案】4 【解析】 ∵、、位于反比例函數(shù)圖象上， ∴，， 過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)， ∴四邊形ONMG是矩形， ∴， ∵為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)， ∴， ∵函數(shù)圖象在第一象限， ∴， ∴++S四邊形ODBE=， 解得：． 故答案為：4 12．如圖，直線與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作，交x軸于點(diǎn)B，以AB為邊在AB的右側(cè)作正方形ABCA1，延長(zhǎng)A1C交x軸于點(diǎn)B1，以A1B1為邊在A1B1的右側(cè)作正方形A1B1C1A2…按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，再將每個(gè)正方形分割成四個(gè)全等的直角三

17、角形和一個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形的每條邊都與其中的一條坐標(biāo)軸平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，中的陰影部分的面積分別為S1，S2，…，Sn，則Sn可表示為_(kāi)____． 【答案】． 【解析】 在直線中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； ∴，，∴， ∵，， ∴， ∴，∴． ∵正方形ABCA1中的四個(gè)小正方形都與△AOB全等， ∴第一個(gè)陰影正方形的邊長(zhǎng)為：， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，…，． 故答案為：． 三、解答題（本大題共3個(gè)小題，每小題12分，共36分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 13．綜合與探究 如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

18、(-2,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為.連接AC，BC，DB，DC． (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； (2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時(shí)，求的值； (3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)；(2)3；(3). 【解析】 (1)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)， ∴， 解得， ∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為； (2)作直線DE⊥軸于點(diǎn)E，交BC于

19、點(diǎn)G，作CF⊥DE，垂足為F， ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，∴OA=2， 由，得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)，∴OC=6， ∴S△OAC=， ∵S△BCD=S△AOC， ∴S△BCD =， 設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為， 由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得， ∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為， ∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為， ∴， ∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)，∴OB=4， ∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=， ∴S△BCD =， ∴， 解得(舍)，， ∴的值為3； (3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對(duì)角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖， 以BD為邊時(shí)，有3種情況， ∵D點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)

20、N點(diǎn)縱坐標(biāo)為±， 當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N2， 此時(shí)，解得：(舍)， ∴，∴； 當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N3，N4， 此時(shí)，解得： ∴，， ∴，； 以BD為對(duì)角線時(shí)，有1種情況，此時(shí)N1點(diǎn)與N2點(diǎn)重合， ∵，D(3，)， ∴N1D=4， ∴BM1=N1D=4， ∴OM1=OB+BM1=8， ∴M1(8，0)， 綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：. 14．已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O的直徑，DE⊥AB，垂足為E． （1）延長(zhǎng)DE交⊙O于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DC，F(xiàn)B交于點(diǎn)P，如圖1．求證：PC=PB； （2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點(diǎn)H，且點(diǎn)

21、O和點(diǎn)A都在DE的左側(cè)，如圖2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大?。? 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）∠BDE=20°． 【解析】 （1）如圖1，∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ABC=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA=90°， ∴∠DEA=∠ABC， ∴BC∥DF， ∴∠F=∠PBC， ∵四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠F+∠DCB=180°， ∵∠PCB+∠DCB=180°， ∴∠F=∠PCB， ∴∠PBC=∠PCB， ∴PC=PB； （2）如圖2，連接OD， ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD，

22、∴∠AGB=90°， ∴∠ADC=∠AGB， ∴BG∥DC， ∵BC∥DE， ∴四邊形DHBC是平行四邊形， ∴BC=DH=1， 在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=， ∴∠ACB=60°， ∴BC=AC=OD， ∴DH=OD， 在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°， ∴∠ODH=20°， 設(shè)DE交AC于N， ∵BC∥DE， ∴∠ONH=∠ACB=60°， ∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°， ∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠DOC=20°， ∴∠CBD=∠OAD=20°， ∵BC∥

23、DE， ∴∠BDE=∠CBD=20°． 15．如圖1，在正方形中，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)． （1）求證：； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，連接，求證：； （3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，求的值． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）. 【解析】 （1）證明：∵， ∴， ∴， ∵四邊形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于， 設(shè)， ∵點(diǎn)是的中點(diǎn)， ∴， ∴， 在中，根據(jù)面積相等，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于， ， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴