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1、三維圖形變換包括三維圖形幾何變換和投影變換。 三維圖形幾何變換是指對三維圖形的幾何信息經(jīng)過平移、比例、旋轉等變換后產生新的圖形。三維圖形幾何變換實現(xiàn)從不同位置觀察三維物體的模擬。 投影變換就是將三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。其實質是用二維圖形表達三維對象。,與二維幾何變換類似，三維圖形幾何變換也是通過對頂點坐標做矩陣變換來實現(xiàn)。 在定義了規(guī)范化齊次坐標系之后，三維圖形變換可以表示為圖形點集的規(guī)范化齊次坐標矩陣與某一變化矩陣相乘的形式。,三維變換的基本概念,,三維齊次坐標變換矩陣簡稱為三維變換矩陣。 其形式為：,三維變換的基本概念,三維空間點的三維變換可以表示為點的規(guī)范化齊次
2、坐標矩陣與三維變換矩陣相乘的形式。,三維變換的基本概念,T3D按功能可劃分為4個子矩陣。,3x3階子矩陣，作用是對點進行比例、對稱、旋轉和錯切變換。,1x3階子矩陣，作用是對點進行平移變換。,3x1階子矩陣，作用是對點進行透視變換。,1x1階子矩陣，作用是產生整體比例變換。,三維變換的基本概念,常見的幾種三維齊次坐標變換矩陣：,一、比例變換：,二、平移變換：,矩陣中的a e j分別為x y z三個方向的比例因子。,矩陣中的l m n分別為x y z三個方向的平移量。,三維幾何變換,三、旋轉變換：,旋轉角度正負向定義符合右手螺旋定則。即大拇指表示坐標軸正向，四指握拳的方向為旋轉角的正向。,三維幾
3、何變換,常見的幾種三維齊次坐標變換矩陣：,當物體分別繞x、y、 z軸旋轉時，旋轉變換矩陣分別為：,繞x軸旋轉,旋轉前后坐標變換的關系為：,,三維幾何變換,繞y軸旋轉,旋轉前后坐標變換的關系為：,,三維幾何變換,繞z軸旋轉,旋轉前后坐標變換的關系為：,,三維幾何變換,四、三維復合變換變換：,三維復合變換是指圖形作一次以上的變換，變換結果是每次變換矩陣的乘積。,三維幾何變換,三維齊次坐標變換矩陣,四、三維復合變換變換繞任意軸的三維旋轉變換,假設已知空間有任意軸AB，點A的坐標為(xA, yA, zA)，AB矢量的方向系數(shù)為(a, b, c)?，F(xiàn)有空間點P(x, y, z)，繞AB軸逆時針方向旋轉角
4、后為P(x, y, z)，若旋轉變換矩陣為TrAB，則有：,三維齊次坐標變換矩陣,變換步驟： 平移將點A平移至原點。 旋轉將平移后的軸OB繞y軸旋轉a角，使OB變換成位于zoy面內的矢量B”。 旋轉再繞x軸旋轉b角，使矢量與oz軸重合。 點P旋轉點P繞oz軸旋轉q角。 逆變換按上述步驟做逆變換，使AB回到原來位置。,三維齊次坐標變換矩陣,四、三維復合變換變換繞任意軸的三維旋轉變換,上述變換過程用矩陣表示為：,要推導出7個矩陣相乘后的結果矩陣，是一項復雜且易出錯的工作。OpenGL通過操作矩陣堆棧完成多個矩陣相乘。,平面幾何投影,計算機圖形顯示的核心是創(chuàng)建三維物體的二維圖像，因為計算機的屏幕是二
5、維平面。 投影即是三維物體通過投射，在投影面上生成二維平面圖形。投影分為平面幾何投影和觀察投影。,平面幾何投影主要指平行投影和透視投影。 觀察投影是指在觀察空間下進行的圖形投影變換。 投影的過程實質上是一種變換，在計算機內部，不同的變換可以用不同的矩陣表示。,平面幾何投影,平行投影：互相平行的投射線照射物體，在投影面內產生三維物體的影像。平行投影體系生成物體的三視圖和軸測圖。,透視投影：點光源發(fā)出的光線照射物體，在投影面上產生三維物體的影像。 透視圖分為單點透視、兩點透視和三點透視。,透視投影和平行投影的本質區(qū)別在于透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的；平行投影的投影中心到投影面之間的
6、距離是無限的。,透視投影屬于中心投影,正投影和斜投影屬于平行投影,平面幾何投影,平面幾何投影,三維投影變換平行正投影三視圖,三視圖包括主視圖、俯視圖和左視圖，由三維形體經(jīng)投影變換得到。要繪制三視圖，需求得變換矩陣，經(jīng)投影變換得到三維形體上各頂點的投影坐標，即可繪制出三視圖。 三維投影變換的實質是將三維形體上各點投影到同一個平面上，得到的是一個二維的投影視圖。,三維投影變換平行正投影三視圖,主視圖投影矩陣為：,三維投影變換平行正投影三視圖,俯視圖：三維形體向xoy面（又稱H面）作垂直投影得到俯視圖。,三維投影變換平行正投影三視圖,俯視圖投影矩陣：,立體向XOY面投影,三維投影變換平行正投影三視圖
7、,俯視圖投影矩陣：,XOY面繞OX軸向下旋轉90度,三維投影變換平行正投影三視圖,俯視圖投影矩陣：,水平投影圖形向下移動,三維投影變換平行正投影三視圖,俯視圖投影矩陣：,三維投影變換平行正投影三視圖,側視圖：獲得側視圖是將三維形體往yoz面（側面W）作垂直投影。,三維投影變換平行正投影三視圖,側視圖投影矩陣：,立體向YOZ面投影,三維投影變換平行正投影三視圖,側視圖投影矩陣：,YOZ面繞OZ軸旋轉,三維投影變換平行正投影三視圖,側視圖投影矩陣：,側投影圖形沿水平方向平移,三維投影變換平行正投影三視圖,側視圖投影矩陣：,三維投影變換平行正投影三視圖,最終得到立體的三視圖,三維投影變換正軸測圖,正
8、軸測圖簡介： 選不平行于基本投影面的平面為投影面，以垂直于投影面的矢量為投影矢量，得到的三維形體的圖形，稱為正軸測圖。如右圖示。,三維投影變換正軸測圖,正軸測投影是以任意平面為投影面所做的投影。如圖，若以ABC為投影面，投影矢量OF垂直于ABC平面，點E為原點O在ABC上的投影。產生正軸測投影的思路為：,將投影矢量OF通過兩次旋轉變化至與Z軸重合，此時ABC平面變化至與XOY面平行，三維向XOY面做投影即可。,三維投影變換正軸測圖,用矩陣表示正軸測變換的過程：,矢量OF繞Y軸旋轉a角,三維投影變換正軸測圖,用矩陣表示正軸測變換的過程：,矢量OF繞X軸旋轉 角,三維投影變換正軸測圖,用矩陣表示正
9、軸測變換的過程：,再將三維形體向XOY面投影,三維投影變換正軸測圖,將上述三個變換矩陣相乘得到正軸測變換矩陣：,三維投影變換正等軸測圖,正等軸測投影是x、y、z三個方向的軸向伸縮系數(shù)相等的正軸測投影，此時有：OA=OB=OC。 推導可得：,三維投影變換正等軸測圖,正等軸測投影變換矩陣可寫為：,三維投影變換 透視投影,透視投影是中心投影。下圖為一點透視投影原理圖，XOY為投影面，點P為空間點，p為點p在投影面上的投影。投影中心在Z軸上，且距投影面為d。透視投影的大小與距離d的大小成反比。,三維投影變換 透視投影,透視投影分為一點透視、兩點透視和三點透視，通過調整變換矩陣中的p、q、r的取值，可以
10、得到不同的透視圖和不同的透視效果。,透視投影由變換矩陣中的透視因子實現(xiàn)。,OpenGL中的變換,OpenGL圖形軟件包是為三維應用而設計的，包含了大量的有關三維變換的操作。OpenGL中常用的變換包括模型視圖變換、投影變換和視見區(qū)（視景體）變換。 模型視圖變換用于確定場景的位置，實現(xiàn)用戶在任意位置、任意方向上進行觀察。通過設定觀察參考坐標系實現(xiàn)視圖變換；通過對模型進行平移、旋轉、縮放等，實現(xiàn)模型變換。 投影變換定義了一個觀察空間，指定已完成的場景轉換成屏幕上顯示的最終圖像的過程。常用的投影包括平行投影和透視投影。,OpenGL中的變換矩陣堆棧,計算機圖形學中，所有的變換都是通過矩陣相乘來實現(xiàn)的
11、。OpenGL中，對象的坐標變換也是通過矩陣來實現(xiàn)的。 OpenGL中包含兩個重要的矩陣：模型視圖矩陣和投影矩陣。模型視圖矩陣用于物體的模型視圖變換，投影矩陣用于投影變換。 通過使用函數(shù)glMatrixMode(Glenum mode);指定當前操作的矩陣對象的類型。,OpenGL中的變換矩陣堆棧,指定矩陣類型函數(shù)的參數(shù)mode有兩個值： GL_MODELVIEW：表示對模型矩陣進行操作； GL_PROJECTION：表示對投影矩陣進行操作； 一旦設置了當前操作矩陣，它就將保持為當前的矩陣對象，直到再次調用函數(shù)glMatrixMode進行修改為止。 默認情況下，系統(tǒng)處理的當前矩陣是模型視圖矩陣
12、。,OpenGL中的變換矩陣堆棧,在構造復雜模型時，常常需要通過多個變換調整各部分的大小、方位；或者模擬一個運動機構，需要用不同的變換矩陣來實現(xiàn)各部分自己的運動規(guī)律。 為了能保存多次變換的中間過程，以便在進行一些變換后能恢復到某些變換前的狀態(tài)，OpenGL為模型視圖矩陣和投影矩陣各維護著一個矩陣堆棧，棧頂矩陣就是當前的模型視圖矩陣或投影矩陣。 矩陣堆棧用于保存和恢復矩陣的狀態(tài)，主要用于具有層次結構的模型繪制，以提高繪圖效率。,層次模型的概念： 在大多數(shù)的應用中，都需要方便的創(chuàng)建和操作許多復雜的對象。通常，可以將這些復雜的對象分成一些相對獨立的子對象，然后描述這些對象組合成完整對象時需要的規(guī)則，
13、據(jù)此可以方便地描述、創(chuàng)建和操作復雜對象。,OpenGL中的變換矩陣堆棧,右圖為AS3.0中的顯示對象的等級結構，是一個典型的層次結構。 在AS中，是通過容器構建顯示對象的層次結構的，而在OpenGL中，則是通過矩陣堆棧實現(xiàn)層次結構的模型繪制。,OpenGL中的變換矩陣堆棧,OpenGL中的變換矩陣堆棧,OpenGL實現(xiàn)矩陣堆棧操作的函數(shù)： void glPushMatrix(void); void glPopMatrix(void); 函數(shù)glPushMatrix將當前堆棧的棧頂矩陣復制一個，并將其壓入當前矩陣堆棧。該函數(shù)用來保存當前變換矩陣。 函數(shù)glPopMatrix用于將當前矩陣堆棧的棧
14、頂矩陣彈出，堆棧中的下一個矩陣變?yōu)闂ｍ斁仃嚕串斍白儞Q矩陣）。該函數(shù)用來恢復當前變換矩陣原先的狀態(tài)。,OpenGL中的變換模型視圖變換,模型視圖矩陣是一個4G4階矩陣，用于指定場景的視圖變換（如生產三視圖、軸測圖等）和幾何變換（模型的縮放、旋轉、平移等）。 在進行模型視圖矩陣操作之前，必須先調用函數(shù) glMatrixMode(GL_MODELVIEW); 指定變換只能影響模型視圖矩陣。,OpenGL中的變換模型視圖變換,模型視圖變換的實現(xiàn)主要有兩種方法。 一、直接定義矩陣（p221） 利用函數(shù) void glLoadMatrixfd(const TYPE *m); 將m指定的矩陣置為當前矩陣堆
15、棧的棧頂矩陣。其中，m是指向一個4x4矩陣的指針。 注意：如果矩陣m作用的模型是OpenGL庫函數(shù)定義的模型，則m矩陣以列優(yōu)先順序保存變換矩陣的數(shù)據(jù)；即前面推導的變換矩陣要轉秩。如果模型以頂點數(shù)組定義，而頂點數(shù)組是按行存儲點坐標，則矩陣m以行優(yōu)先順序保存變換矩陣的數(shù)據(jù)。,OpenGL中的變換模型視圖變換,設置自定義矩陣的步驟： glfloat m=; glMatrixMode(GL_MODELCIEW); glLoadMatrixf(m); 實例分析：軸測圖，mysolid旋轉,注意：OpenGL坐標系的XOY平面是正立投影面，因此生成三視圖的矩陣與課本中的矩陣有所不同。,OpenGL中的變換
16、模型視圖變換,OpenGL坐標系如圖所示，在該坐標下下，三視圖變換矩陣如下。,1. 主視圖，所有點的z坐標為0，變換矩陣為：,OpenGL中的變換模型視圖變換,2. 俯視圖變換矩陣推導過程如下。 （1） 向XOZ面投影：,OpenGL中的變換模型視圖變換,2. 俯視圖變換矩陣推導過程如下。 （2）繞X軸旋轉90：,OpenGL中的變換模型視圖變換,2. 俯視圖變換矩陣推導過程如下。 （3） 沿Y軸移動m：,OpenGL中的變換模型視圖變換,2. 俯視圖變換矩陣推導過程如下。 （4） 三步復合變換后得到在OpenGL屏幕坐標系中俯視圖變換矩陣：,OpenGL中的變換模型視圖變換,3. 右視圖變換
17、矩陣推導過程如下。 （1） 向YOZ面投影：,OpenGL中的變換模型視圖變換,3. 右視圖變換矩陣推導過程如下。 （2） 繞Y軸旋轉-90：,OpenGL中的變換模型視圖變換,3. 右視圖變換矩陣推導過程如下。 （3）沿x軸移動-l：,OpenGL中的變換模型視圖變換,3. 右視圖變換矩陣推導過程如下。 （4） 三步復合變換后得到在OpenGL屏幕坐標系中右視圖變換矩陣：,OpenGL中的變換模型視圖變換,二、利用高級矩陣函數(shù) 在OpenGL中，還可以通過一些高級矩陣函數(shù)實現(xiàn)模型的平移、旋轉和縮放。高級矩陣包括： glTranslategf(TYPE x, TYPE y, TYPE z)；
18、glRotate df(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z）； glScale df(TYPE x, TYPE y, TYPE z)；,glTranslatedf(x, y, z,)： 把當前矩陣（如頂點坐標矩陣）與平移變換矩陣相乘。三個參數(shù)為x, y, z三個方向的平移量。如果參數(shù)值為浮點數(shù)，則函數(shù)名寫為glTranslatef；參數(shù)值為雙精度數(shù)，則函數(shù)名寫為glTranslated； glRotatedf(angle, x, y, z): 把當前矩陣（如頂點坐標矩陣）與旋轉變換矩陣相乘。Angle參數(shù)表示旋轉角度，從原點到點（x, y, z）的有向連線為旋
19、轉軸，逆時針方向為正角度方向。,OpenGL中的變換模型視圖變換,glScalefd(x, y, z,)： 把當前矩陣（如頂點坐標矩陣）與比例變換矩陣相乘。三個參數(shù)分別為x, y, z三個方向的比例因子。,OpenGL中的變換模型視圖變換,OpenGL中的變換模型視圖變換,調用矩陣函數(shù)繪制模型視圖時，后調用的矩陣將成為新的當前模型視圖矩陣，并影響此后繪制的圖形，會造成變換效果的累積。如果不需要這樣的累積，可以調用重置矩陣函數(shù)： glLoadIdentity(void); 該函數(shù)將單位矩陣設置為當前變換矩陣。一般在指定當前操作矩陣對象后，都要調用重置矩陣函數(shù)，將之前變換的影響消除。,視圖變換主要
20、用于確定觀察參考坐標系，即確定視點的位置和觀察方向。 也可以通過函數(shù)gluLookAt調整視點位置，以達到觀察立體不同側面的效果。 gluLookAt(xe, ye, ze, xo, yo, zo, xu, yu, zu) 該函數(shù)有3組共9個參數(shù)，第一組3個參數(shù)，指定視點（相機鏡頭）在x、y、z三個方向的坐標；第二組3個參數(shù)指定視點（鏡頭）瞄準的點坐標；第三組3個參數(shù)，指定朝上的向量。（注意：朝上矢量不能與視線矢量重疊）,OpenGL中的變換模型視圖變換,OpenGL中的變換投影變換,OpenGL提供了兩種投影方式：一種是正投影，一種是透視投影。通過調用不同的函數(shù)實現(xiàn)不同的投影變換。 為避免不
21、必要的變換發(fā)生，必須調用 glMatrixMode(GL_PROJECTION) 指定當前處理的矩陣是投影變換矩陣。 例如： glMatrixMode (GL_PROJECTION); glLoadIdentity(); glOrtho (-3.0, 3.0, -3.0, 3.0, -10.0, 10.0);,OpenGL中的變換投影變換,一、正投影變換 正投影變換由函數(shù)glOrtho()實現(xiàn)。該函數(shù)創(chuàng)建一個正交平行的視景體。在該視景體中產生三維物體的平行投影。如果沒有其它變換，比如旋轉等，投影方向為z軸負方向。 glOrtho()函數(shù)創(chuàng)建了一個有限的觀察空間，空間的六個邊界面為裁剪面。,“軸
22、測圖”例程修改視景體裁剪面觀察裁剪效果。,OpenGL中的變換投影變換,二、透視投影變換 透視投影的特點是物體的視圖有近大遠小的效果。OpenGL透視投影函數(shù)有兩個： 1. glFrustum()： 該函數(shù)指定的透視視景體 如圖為所示。,glFrustum(left, right, bottom, top, near, far); 函數(shù)的六個參數(shù)分別定義了該視景體的left, right, bottom, top, near及 far的數(shù)值。 視點位于坐標系原點。,2. gluPerspective()： gluPerspective()函數(shù)指定投影變換方式為透視變換，通過不同的參數(shù)定義透視視
23、景體。 下圖為gluPerspective()函數(shù)指定的透視視景體。 視點位于坐標原點。,OpenGL中的變換投影變換,gluPerspective()有4個參數(shù)： gluPerspective(fovy, aspect, near, far); fovy：為yoz平面上的視角，取值范圍為0.0, 180.0； aspect：為視景體的縱橫比； near和far：分別是觀察點與視景體的前后裁剪面的距離。,OpenGL中的變換投影變換,投影變換OpenGL的三維坐標變換,例：太陽系（變換矩陣堆棧實現(xiàn)模型變換）,glMatrixMode(GL_MODELVIEW); glLoadIdentity(
24、); gluLookAt (0.0, 0.0, 5.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0); glPushMatrix(); glutWireSphere(1.0, 20, 20); /* draw sun */ glRotatef ((GLfloat) year, 0.0, 1.0, 0.0); glTranslatef (2.0, 0.0, 0.0); glRotatef ((GLfloat) day, 0.0, 1.0, 0.0); glutWireSphere(0.2, 10, 10); /* draw earth*/ glPopMatrix();,投影變換O
25、penGL的三維坐標變換,例：太陽系（投影變換）,glMatrixMode (GL_PROJECTION); glLoadIdentity (); glOrtho (-3.0, 3.0, -3.0, 3.0, 1.0, 20.0); /*或者 gluPerspective(60.0, (GLfloat) w/(GLfloat) h, 1.0, 20.0); 觀察：視點位置不變時，平行投影和透視投影的視覺效果的不同。在兩種投影方式時修改gluLookAt函數(shù)視點坐標的效果。,投影變換OpenGL的三維坐標變換,例：機械臂 機械臂由兩部分（上、下臂）組成，希望實現(xiàn)上下臂的共同旋轉和下臂的獨立旋
26、轉。 1. 設定投影矩陣參數(shù)和調整物體的基本位置： glMatrixMode (GL_PROJECTION); glLoadIdentity (); gluPerspective(65.0, (GLfloat) w/(GLfloat) h, 1.0, 20.0);//設定投影矩陣 glMatrixMode(GL_MODELVIEW); glLoadIdentity(); glTranslatef (0.0, 0.0, -5.0); //將模型移遠5個單位。因為OpenGL庫函數(shù)定義的模型中心點都在原點，透視投影變換視點也在原點處，不調整原點位置無法觀察模型。,投影變換OpenGL的三維坐標變換
27、,2. 繪制上、下臂 調用glutWireCube (1.0)函數(shù)繪制的立方體，通過glScalef函數(shù)改變長寬高的比例。 glPushMatrix(); glScalef(2.0, 0.4, 1.0); glutWireCube (1.0); glPopMatrix(); 比例變換只作于改變形體的長寬比，不能影響其它運動，因此需要glPushMatrix();和glPopMatrix();函數(shù)來限制變換矩陣的影響范圍。 下臂繪制也如此。,投影變換OpenGL的三維坐標變換,3. 調整上臂旋轉中心 glTranslatef (-1.0, 0.0, 0.0); //將旋轉中心沿x軸方向移-1 g
28、lRotatef ((GLfloat) shoulder, 0.0, 0.0, 1.0); //實現(xiàn)以點（-1,0,0）為基點的繞z軸的旋轉 glTranslatef (1.0, 0.0, 0.0); //消除前一個平移變換對立體位置的影響， 即長方體的中心仍保持在原點。,投影變換OpenGL的三維坐標變換,3. 調整下臂旋轉中心 glTranslatef (1.0, 0.0, 0.0); //將立體沿x軸方向平移1 glRotatef ((GLfloat) elbow, 0.0, 0.0, 1.0); //實現(xiàn)以點（1,0,0）為基點的繞z軸的旋轉 glTranslatef (1.0, 0.0, 0.0); //將立體再沿x軸方向平移1 注意：調整上臂旋轉中心的所有變換矩陣與調整下臂旋轉中心的所有變換矩陣在同一對glPushMatrix()和glPopMatrix()函數(shù)內，因此角度為GLfloat) shoulder的旋轉也作用于下臂，實現(xiàn)按下s鍵時上下臂一起旋轉。,
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