全國各地2015年中考數(shù)學(xué)試卷解析分類匯編（第1期）專題39 開放性問題

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1、開放性問題 填空題 1．（2015?廣東梅州,第12題，3分）已知：△ABC中，點E是AB邊的中點，點F在AC邊上，若以A，E， F為頂點的三角形與△ABC相似，則需要增加的一個條件是　 ．（寫出一個即可） 考點：相似三角形的判定．. 專題：開放型． 分析：根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例或相似三角形的對應(yīng)角相等進行解答；由于沒有確定三角形相似的對應(yīng)角，故應(yīng)分類討論． 解答：解：分兩種情況： ①∵△AEF∽△ABC， ∴AE：AB=AF：AC， 即1：2=AF：AC， ∴AF=AC； ②∵△AFE∽△ACB， ∴∠AFE=∠ABC． ∴要使以A、E、F為頂點的三角形

2、與△ABC相似，則AF=AC或∠AFE=∠ABC． 故答案為：AF=AC或∠AFE=∠ABC． 點評：本題很簡單，考查了相似三角形的性質(zhì)，在解答此類題目時要找出對應(yīng)的角和邊． 2. （2015呼和浩特，16，3分）以下四個命題: ①若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別互相垂直，則這兩個角互補. ②邊數(shù)相等的兩個正多邊形一定相似. ③等腰三角形ABC中, D是底邊BC上一點, E是一腰AC上的一點,若∠BAD=60°且AD=AE,則∠EDC=30°. ④任意三角形的外接圓的圓心一定是三角形三條邊的垂直平分線的交點. 其中正確命題的序號為__________. 考點分析：

3、命題 幾何綜合 填空壓軸 方程思想 詳解：②③④ 與2014年考的形式一樣，但難度略微低一些，逐一給你分析思路。首先作為客觀題的壓軸題嗎，記住是客觀題，四個選項全都正確的可能性極小，因為很多數(shù)學(xué)不太好的學(xué)生會蒙，蒙四個選項的人大有人在，這樣也能對的話，對真正靠推理計算做出來的同學(xué)太不公平，只一個正確選項的情況極少，因為有的同學(xué)的水平就夠看一個真確的，所以先寫上，有時間在回來看，如果真的寫對了，你說他是真的會做還是蒙的，所以正確的選項很有可能是2個或3個。 ①你曾經(jīng)做過一道類似的題目，相信當(dāng)時還有不少同學(xué)做錯：如果兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等。記得錯在哪里了嗎？如果你能想起來這

4、道題，那么本小問就不會太難了?？串媹D： ②邊數(shù)相同的正多邊形，對應(yīng)頂角也等，所以這句話是正確的。 ③本小問沒有配圖，所以你一定要畫配圖。畫這個圖畫了兩次，一個是只用筆草畫，主要是明確各角及交點的大體相對位置，之后是用尺細畫，尤其把那個60°畫的很準(zhǔn)，這時已經(jīng)可以感覺30°貌似正確，這個時候如果你經(jīng)驗比較豐富的話，你基本上可以斷定，要嗎這個角算不出來，要算出來的話肯定是30°。圖畫好了以后，就要開始標(biāo)角。 在解沒有配圖的幾何題，先草畫，明確各角、各點的相對位置，之后用尺精細作圖。 這道題目，首先用到的是方程思想，即設(shè)一個角為α，從這個角出發(fā)利用已知的數(shù)量關(guān)系和已知角開始依次標(biāo)你能標(biāo)出

5、來的角。既然是等要，先從底角開始，設(shè)底角為α。如果所示。 第一步，將∠B和∠C都標(biāo)為α，那么頂角∠BAC就是180°－2α； 第二步，∠DAE=∠BAC－60°=180°－2α－60°=120°－2α; 第三步，∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE= (180°－∠DAE)÷2=30°+α; 第四步，∵∠AED為△DEC的外角，∴∠EDC=∠AED－∠C=30°。 有沒有其他方法，略微找一下，沒有，但這個解法的核心是方程思想，從畫圖到推導(dǎo)完成一共用了3分鐘時間。 ④這個屬于作圖方面的問題，如果沒記住，畫兩下就知道正確與否。 2. 3. ……依次順延 解答題 1. （20

6、15·四川甘孜、阿壩，第27題10分）已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點，AF，DE相交于點G，當(dāng)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點時，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立． 試探究下列問題： （1）如圖1，若點E不是邊BC的中點，F(xiàn)不是邊CD的中點，且CE=DF，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”），不需要證明） （2）如圖2，若點E，F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由； （3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和BF，若點M，N，P，Q分別為AE，EF

7、，F(xiàn)D，AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結(jié)論． 考點： 四邊形綜合題．. 專題： 綜合題． 分析： （1）由四邊形ABCD為正方形，CE=DF，易證得△ADF≌△DCE（SAS），即可證得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE； （2）由四邊形ABCD為正方形，CE=DF，易證得△ADF≌△DCE（SAS），即可證得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE； （3）首先設(shè)MQ，DE分別交AF于點G，O，PQ交DE于點H，由點M，N，P，Q分別為AE，EF

8、，F(xiàn)D，AD的中點，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可證得四邊形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形． 解答： 解：（1）上述結(jié)論①，②仍然成立， 理由為：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴AF=DE，∠DAF=∠CDE， ∵∠ADG+∠EDC=90°， ∴∠ADG+∠DAF=90°， ∴∠AGD=90°，即AF⊥DE； （2）上述結(jié)論①，②仍然成立， 理由為：∵四邊形ABCD為正方形，

9、 ∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴AF=DE，∠E=∠F， ∵∠ADG+∠EDC=90°， ∴∠ADG+∠DAF=90°， ∴∠AGD=90°，即AF⊥DE； （3）四邊形MNPQ是正方形． 理由為：如圖，設(shè)MQ，DE分別交AF于點G，O，PQ交DE于點H， ∵點M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點， ∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF， ∴四邊形OHQG是平行四邊形， ∵AF=DE， ∴MQ=PQ=PN=MN， ∴四邊形MNPQ是菱形， ∵A

10、F⊥DE， ∴∠AOD=90°， ∴∠HQG=∠AOD=90°， ∴四邊形MNPQ是正方形． 點評： 此題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．注意證得△ADF≌△DCE（SAS），掌握三角形中位線的性質(zhì)是關(guān)鍵． 2. （2015?浙江麗水，第20題8分）某運動品牌對第一季度A、B兩款運動鞋的銷售情況進行統(tǒng)計，兩款運動鞋的銷售量及總銷售額如圖所示： （1）一月份B款運動鞋的銷售量是A款的，則一月份B款運動鞋銷售了多少雙？ （2）第一季度這兩款運動鞋的銷售單價保持不變，求三月份的總銷售額（銷售額=銷售單價×銷售量）； （3

11、）結(jié)合第一季度的銷售情況，請你對這兩款運動鞋的進貨、銷售等方面提出一條建議。 【答案】解：（1）∵， ∴一月份B款運動鞋銷售了40雙. （2）設(shè)A、B兩款運動鞋的銷售單價分別為元， 則根據(jù)題意，得，解得. ∴三月份的總銷售額為（元）. （3）答案不唯一，如： 從銷售量來看，A款運動鞋銷售量逐月上升，比B款運動鞋銷售量大，建議多進A款運動鞋，少進或不進B款運動鞋. 從總銷售額來看，由于B款運動鞋銷售量逐月減少，導(dǎo)致總銷售額減少，建議采取一些促銷手段，增加B款運動鞋的銷售量. 【考點】開放型；代數(shù)和統(tǒng)計的綜合題；條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖； 二元一次方程組的應(yīng)用. 【分析】（1

12、）根據(jù)條形統(tǒng)計圖A款運動鞋的銷售量和B款運動鞋的銷售量是A款的即可列式求解. （2）方程（組）的應(yīng)用解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，列出方程（組）求解.本題設(shè)A、B兩款運動鞋的銷售單價分別為元，等量關(guān)系為：“一月份A、B兩款運動鞋的總銷售額40000元”和“二月份A、B兩款運動鞋的總銷售額50000元”. （3）答案不唯一，合理即可. 3. （2015?浙江杭州,第20題10分） 設(shè)函數(shù)y=(x?1)[(k?1)x+(k?3)]( k是常數(shù)) （1）當(dāng)k取1和2時的函數(shù)y1和y2的圖象如圖所示，請你在同一直角坐標(biāo)系中畫出當(dāng)k取0時函數(shù)的圖象 （2）根據(jù)圖象，寫出你發(fā)現(xiàn)的一條結(jié)論 （3）

13、將函數(shù)y2的圖象向左平移4個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)y3的圖象，求函數(shù)y3的最小值 【答案】解：（1）作圖如圖： （2）函數(shù) (k是常數(shù))的圖象都經(jīng)過點（1，0）.（答案不唯一） （3）∵， ∴將函數(shù)y2的圖象向左平移4個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)y3為. ∴當(dāng)時，函數(shù)y3的最小值為. 【考點】開放型；二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；平移的性質(zhì). 【分析】（1）當(dāng)時，函數(shù)為，據(jù)此作圖. （2）答案不唯一，如： 函數(shù) (k是常數(shù))的圖象都經(jīng)過點； 函數(shù) (k是常數(shù))的圖象總與軸交于（1，0）； 當(dāng)k取0和2時的函數(shù)時得到的兩圖象關(guān)于（0，2）成中心對稱； 等等. （3）根據(jù)平移的性質(zhì)，左右平移時，左減右加。上下平移時，下減上加，得到平移后的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.