雙曲線的性質(zhì)A 知識講解

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1、 雙曲線的性質(zhì) 編稿：張希勇 審稿：李霞 【學(xué)習(xí)目標】 1.理解雙曲線的對稱性、范圍、定點、離心率、漸近線等簡單性質(zhì). 2.能利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的方程. 3.能用雙曲線的簡單性質(zhì)分析解決一些簡單的問題. 【要點梳理】 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì) 356749 知識要點二】 要點一、雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 雙曲線（a＞0，b＞0）的簡單幾何性質(zhì) [來源:學(xué)優(yōu)gkstk] 范圍 雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點的橫坐標滿足x≤-a或x≥a. 對稱性 對于雙曲線標準方程（a＞0，b＞0

2、），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。[來源:gkstk.Com] 頂點 ①雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點。 ②雙曲線（a＞0，b＞0）與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為 A1（-a，0），A2（a，0），頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。 ③兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設(shè)B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個點，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度分別為

3、|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。 ①雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。 ②雙曲線的焦點總在實軸上。 ③實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。 離心率 ①雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。[來源:學(xué)優(yōu)] ②因為c＞a＞0，所以雙曲線的離心率。 由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。 ③等軸雙曲線，所以離心率。 漸近線 經(jīng)過點A2、A1作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過點

4、B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是。 我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì) 356749知識要點一、3】 要點二、雙曲線兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較 標準方程 圖形 性質(zhì)[來源:gkstk.Com] 焦點[來源:學(xué)優(yōu)gkstk] ，[來源:gkstk.Com] ，[來源:GKSTK.Com][來源:學(xué)優(yōu)] 焦距 范圍 ， ， 對稱性 關(guān)于x軸、y軸和原點對稱 頂點 軸 實軸長=，虛軸長=

5、 離心率 漸近線方程 要點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上。 對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上。 要點三、雙曲線的漸近線 （1）已知雙曲線方程求漸近線方程： 若雙曲線方程為，則其漸近線方程為 已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。 （2）已知漸近線方程求雙曲線方程： 若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求

6、出即可。 （3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線 與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在y軸上） （4）等軸雙曲線的漸近線 等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為. 要點四、雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征： 雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。 雙曲線，如圖： （1）實軸長，虛軸長,焦距， （2）離心率：； （3）頂點到焦點的距離：，； （

7、4）中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、、和角結(jié)合起來. （5）與焦點三角形有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進行計算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系. 【典型例題】 類型一：雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì) 356749例1】 例1．求雙曲線的實軸長和虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、漸近線方程與離心率. 【解析】 把方程化為標準方程，由此可知實半軸長，虛半軸長，∴ ∴雙曲線的實軸長，虛軸長，頂點坐標，焦點坐標， 離心率，漸近線方程為 【總結(jié)升華】在幾何性質(zhì)的討論中要注意a和2a，

8、b和2b的區(qū)別，另外也要注意焦點所在軸的不同，幾何量也有不同的表示. 舉一反三： 【變式1】雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m等于(　　) A． B．－4 C．4 D. 【答案】A 【變式2】已知雙曲線8kx2－ky2=2的一個焦點為，則k的值等于（ ） A．－2 B．1 C．－1 D． 【答案】C 類型二：雙曲線的漸近線 例2.已知雙曲線方程，求漸近線方程。 （1）；（2） 【解析】 （1）雙曲線的漸近線方程為： 即 （2）雙曲線的漸近線方程為： 即 【總結(jié)升華】雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線

9、方程為，即；若雙曲線的方程為（，焦點在軸上，，焦點在y軸上），則其漸近線方程為. 舉一反三： 【變式1】求下列雙曲線方程的漸近線方程 （1）；（2）；（3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【變式2】中心在坐標原點，離心率為的圓錐曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 例3. 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。 （1) 與雙曲線有共同的漸近線，且過點； （2）一漸近線方程為，且雙曲線過點 【解析】（1）解法一： 當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線的方程為 由題意，得，解得， 所以雙曲線的方程為 當(dāng)焦點在y軸上時，

10、設(shè)雙曲線的方程為 由題意，得，解得，（舍去） 綜上所得，雙曲線的方程為 解法二：設(shè)所求雙曲線方程為（）， 將點代入得， 所以雙曲線方程為即 （2）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是. 故設(shè)雙曲線方程為， ∵點在雙曲線上， ∴ ，解得， ∴所求雙曲線方程為. 【總結(jié)升華】求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（、、、及準線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為（）. 舉一反三： 【變式1】中心在原點，一個焦點在(0,3)，一條漸近線為的雙曲線方程是（ ） A. B. C.

11、 D. 【答案】D 【變式2】過點(2，-2)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【變式3】設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【變式4】雙曲線與有相同的（ ） A．實軸 B．焦點 C．漸近線 D．以上都不對 【答案】C 類型三：求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍 例4. 已知是雙曲線的左、右焦點,過且垂直于軸的直線與雙曲

12、線的左支交于A、B兩點,若是正三角形,求雙曲線的離心率。 【解析】∵，是正三角形， ∴， ∴， ∴ 【總結(jié)升華】雙曲線的離心率是雙曲線幾何性質(zhì)的一個重要參數(shù)，求雙曲線離心率的關(guān)鍵是由條件尋求a、c滿足的關(guān)系式，從而求出 舉一反三： 【高清課堂：雙曲線的性質(zhì) 356749例2】 【變式1】 (1) 已知雙曲線的離心率， 過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點間的距離為，求雙曲線的方程. (2) 求過點(-1,3)，且和雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程. 【答案】（1） （2） 【變式2】 等軸雙曲線的離心率為_________ 【答案】 【變式3】已知a、b

13、、c分別為雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0無實根，則雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．1