（廣東專用）2013高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章第十二節(jié) 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練 理

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1、課時(shí)知能訓(xùn)練 一、選擇題 1．f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c為實(shí)數(shù)，且a2＜3b，則(　　) A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù) C．f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù) D．f(x)是常數(shù) 【解析】　f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 當(dāng)a2＜3b時(shí)，Δ＝4a2－12b＝4(a2－3b)＜0. ∴f′(x)＞0恒成立．f(x)在R上是增函數(shù)． 【答案】　A 2．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1·x2·…·xn等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D．1 【解

2、析】　y′＝(n＋1)xn，曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝. 則x1·x2·…·xn＝··…·＝. 【答案】　B 3．若直線y＝m與y＝3x－x3的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　) A．－2＜m＜2 B．－2≤m≤2 C．m＜－2或m＞2 D．m≤－2或m≥2 【解析】　y′＝3(1－x)·(1＋x) 由y′＝0，得x＝±1， ∴y極大＝2，y極?。剑?，∴－2＜m＜2. 【答案】　A 4．在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的圖象如圖2－12－3所示，則關(guān)于x的不等式x·f′(x)＜0的解集為(　　)

3、 圖2－12－3 A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】　(1)當(dāng)x∈(－∞，－1)和x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)， ∴f′(x)＞0，因此x＜0， ∴x·f′(x)＜0的范圍是(－∞，－1)． (2)當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，f(x)遞減，∴f′(x)＜0. 由x·f′(x)＜0，得x＞0， ∴0＜x＜1. 故x·f′(x)＜0的解集為(－∞，－1)∪(0,1)． 【答案】　A 5．已知函數(shù)y＝(x∈R)滿足f′(x)＞f(x)，則f(1)與ef(0)的大小關(guān)系是

4、(　　) A．f(1)＜ef(0) B．f(1)＞ef(0) C．f(1)＝ef(0) D．不能確定 【解析】　令g(x)＝， 則g′(x)＝＝＞0， 則函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，所以有g(shù)(1)＞g(0)，即＞，所以可得f(1)＞ef(0)． 【答案】　B 二、填空題 6．電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x之間有如下關(guān)系：y＝x3－x2－40x(x＞0)，為使耗電量最小，則速度應(yīng)定為______． 【解析】　由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或40， 由于0＜x＜40時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞40時(shí)，y′＞0. 所以當(dāng)x＝40時(shí)，y有最小值． 【答案】　

5、40 7．已知函數(shù)f(x)＝xsin x＋cos x，則f(－3)與f(2)的大小關(guān)系是________． 【解析】　f′(x)＝x·cos x＋sin x－sin x＝xcos x. 當(dāng)x∈(，π)時(shí)，f′(x)＜0，∴f(x)在(，π)上遞減， ∴f(2)＞f(3)． 由f(x)是偶函數(shù)，得f(－3)＝f(3)， ∴f(2)＞f(－3)． 【答案】　f(2)＞f(－3) 8. 已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋ln x是單調(diào)遞增函數(shù)，則m的取值范圍是________． 【解析】　依題意知，x＞0，f′(x)＝， 令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)， 當(dāng)－≤0時(shí)

6、，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立， 當(dāng)－＞0時(shí)，則Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m＜0， 綜上，m的取值范圍是m≥－2. 【答案】　m≥－2 三、解答題 9．甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/小時(shí)，已知該汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本P(元)關(guān)于速度v(千米/小時(shí))的函數(shù)關(guān)系是P＝v4－v3＋15v， (1)求全程運(yùn)輸成本Q(元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式； (2)為使全程運(yùn)輸成本最少，汽車應(yīng)以多大速度行駛？并求此時(shí)運(yùn)輸成本的最小值． 【解】　(1)Q＝P·＝(v4－v3＋15v)· ＝(v3－v2＋15)·400 ＝－v2＋6 000(0＜v

7、≤100)． (2)由(1)知，Q′＝－5v， 令Q′＝0，則v＝0(舍去)或v＝80， 當(dāng)0＜v＜80時(shí)，Q′＜0；當(dāng)80＜v≤100時(shí)，Q′＞0. ∴當(dāng)v＝80千米/小時(shí)時(shí)，全程運(yùn)輸成本取得極小值， 又函數(shù)在(0,100]內(nèi)有唯一極小值，也就是最小值． 故運(yùn)輸成本的最小值為Q(80)＝(元)． 10．f(x)＝x3－x2－x＋a，當(dāng)a在何范圍內(nèi)取值時(shí)，y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)． 【解】　令f′(x)＝3x2－2x－1＝0，得x＝－，x＝1， 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下： x (－∞，－) － (－，1) 1 (1，＋∞) f′(x)

8、 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值  極小值  可知f(－)＝＋a為極大值，f(1)＝a－1為極小值． ①當(dāng)＋a＜0，即a∈(－∞，－)時(shí)，y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)； ②當(dāng)a－1＞0，即a∈(1，＋∞)時(shí)，y＝f(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)． 故所求a的取值范圍是(－∞，－)∪(1，＋∞)． 11．(2011·遼寧高考改編)已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)設(shè)a＞0，證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，f(＋x)＞f(－x)． 【解】　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－. ①若a≤0，則f′(x)＞0， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． ②若a＞0，則由f′(x)＝0，得x＝. 又當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x＞時(shí)，f′(x)＜0. 所以f(x)在(0，)上單調(diào)增加；在(，＋∞)上單調(diào)減少． (2)證明　設(shè)函數(shù)g(x)＝f(＋x)－f(－x)． 則g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax， g′(x)＝＋－2a＝. 當(dāng)0＜x＜時(shí)，g′(x)＞0， 又g(0)＝0，所以g(x)＞0. 故當(dāng)0＜x＜時(shí)，f(＋x)＞f(－x)．