（廣東專用）2013高考數(shù)學總復習第六章第五節(jié) 課時跟蹤訓練 理

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1、課時知能訓練 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是(　　) A．3n－1 B．4n－3 C．n2 D．3n－1 【解析】　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2. 【答案】　C 2．我們知道，在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值a，類比上述結(jié)論，在邊長為a的正四面體內(nèi)任一點到其四個面的距離之和為定值(　　) A.a B.a C.a D.a 【解析】　正四面體內(nèi)任一點與四個面組成四個三

2、棱錐，它們的體積之和為正四面體的體積，設(shè)點到四個面的距離分別為h1，h2，h3，h4，每個面的面積為a2，正四面體的體積為a3， 則有×a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝a3， 得h1＋h2＋h3＋h4＝a. 【答案】　A 3．定義A*B，B*C，C*D，D*B分別對應(yīng)下列圖形 那么下列圖形中， 可以表示A*D，A*C的分別是(　　) A．(1)(2) B．(2)(3) C．(2)(4) D．(1)(4) 【解析】　由題意知，A是“|”，B是大正方形，C是“—”，D是小正方形，∴A*D為小正方形中有豎線，即為(2)，A*C為“＋”，即為(4)． 【

3、答案】　C 4．在△ABC中，若AB⊥AC，AC＝b，AB＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體S－ABC中，若SA，SB，BC兩兩垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，則四面體S－ABC的外接球半徑R＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　從結(jié)構(gòu)形式上看，A、D都符合類比推理的要求，但題中要求的是正確結(jié)論，所以還需要驗證或證明．事實上，我們將四面體S－ABC以SA，SB，SC為三邊可以補成一個長方體，四面體的外接球半徑為長方體對角線長的一半，所以選A. 【答案】　A 5．(2012·南昌模擬)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形

4、狀來研究數(shù)．比如： 他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(　　) A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378 【解析】　由圖形的規(guī)律可知，第n個三角形數(shù)為1＋2＋3…＋n＝，第n個正方形數(shù)為n2，其中A、B、C都是正方形數(shù)，分別令它們等于求n，知1 225是三角形數(shù)． 【答案】　C 二、填空題 6．(2012·肇慶模擬)觀察下列各式：9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，這些等式

5、反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示為________． 【解析】　由所給等式可知，等式左邊為(n＋2)2－n2，等式右邊是首項為8，公差為4的等差數(shù)列，故第n個等式的右邊為4(n＋1)，故這個等式為(n＋2)2－n2＝4(n＋1)． 【答案】　(n＋2)2－n2＝4(n＋1) 7．把正整數(shù)1,2,3,4,5,6…按某種規(guī)律填入下表. 2 6 10 14 1 4 5 8 9 12 13 … 3 7 11 15 按照這種規(guī)律連續(xù)填寫，2 011出現(xiàn)在第_

6、_______行第________列． 【解析】　依題意知，這些數(shù)所出現(xiàn)的位置是以4為周期重復性地連續(xù)填入相應(yīng)的位置；且從1開始的連續(xù)四個整數(shù)共填了3列．注意到2 011＝4×502＋3，因此2 011所填的位置與3所填的位置相對應(yīng)，即應(yīng)填在第三行；2 011所填的位置應(yīng)是第502×3＋2＝1 508列，即2 011出現(xiàn)在第3行第1 508列． 【答案】　3,1508 8．如果f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝1，則＋＋…＋＋＝________. 【解析】　∵f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1， ∴f(x＋1)＝f(x)·f(1)，即＝f(1)＝1. ∴＝＝…

7、＝＝＝1， ∴＋＋…＋＋ ＝1 006×1＝1 006. 【答案】　1 006 三、解答題 9．通過觀察下列等式，猜想出一個一般性結(jié)論，并證明結(jié)論的真假． sin230°＋sin290°＋sin2150°＝； sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝； sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝； sin215°＋sin275°＋sin2135°＝. 【解】　猜想：sin2(α－)＋sin2α＋sin2(α＋)＝. 證明　∵左＝(sin αcos －cos αsin )2＋sin2α＋ (sin αcos ＋cos αsin )2 ＝(sin2α

8、＋cos 2α)＝＝右， ∴待證式成立． 10．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和，已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，試求： (1)a18的值； (2)該數(shù)列的前n項和Sn. 【解】　(1)由等和數(shù)列的定義，數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3. (2)當n為偶數(shù)時， Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an) ＝2＋2＋…＋＋3＋3＋…＋＝n； 當n為奇數(shù)時，

9、 Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－. 綜上所述：Sn＝. 11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由． 【證明】　如圖所示，由射影定理 AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC， AC2＝BC·DC， ∴＝ ＝＝. 又BC2＝AB2＋AC2， ∴＝＝＋. 所以＝＋. 猜想，四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD， 則＝＋＋. 證明：如圖，連結(jié)BE并延長交CD于F，連結(jié)AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. ∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋. ∴＝＋＋，故猜想正確．