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1、第五章 定積分,第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì),第二節(jié) 微積分基本公式,第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法,第四節(jié) 反常積分,主講人：李源,第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì),,三、定積分的性質(zhì),一、定積分問(wèn)題舉例,二、定積分的定義,一、定積分問(wèn)題舉例,曲邊梯形 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b 上非負(fù)、連續(xù). 由直線x=a、x=b、 Y=0及曲線y=f (x)所圍成的圖形 稱(chēng)為曲邊梯形, 其中曲線弧稱(chēng) 為曲邊. 如何計(jì)算其面積？,在初等函數(shù)里面，我們只會(huì)計(jì)算規(guī)則圖形的面積， 如長(zhǎng)方形，圓形等。如何計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，是 我們需要解決的問(wèn)題。,,解決步驟 :,1) 分割.,在區(qū)間 a , b 中任
2、意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn),,用直線,將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;,2) 近似.,在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,,為高的小矩形,,,,,,,,并以此小,梯形面積近似代替相應(yīng),窄曲邊梯形面積,得,,3) 求和.,4) 取極限.,令,則曲邊梯形面積,,,,,,,,,元素法,1 化整為零,2 以直代曲 (以常代變),3 積零為整,y=f (x),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,.,,分法越細(xì)，越接近精確值,,,,,,,,1. 曲邊梯形的面積,f (i),.,,,,,,,,,,元素法,4 取極限,y=f (x),,,,,,,,,,令分法無(wú)限變細(xì),.,,.,.,.,,
3、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分法越細(xì)，越接近精確值,1 化整為零,2 以直代曲 (以常代變),3 積零為整,,,f (i),,1. 曲邊梯形的面積,,元素法,4 取極限,y=f (x),,,,,,,,,令分法無(wú)限變細(xì),.,.,.,.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分法越細(xì)，越接近精確值,1 化整為零,2 以直代曲 (以常代變),3 積零為整,,,f (i),,S =,.,,,,,,,,,,S,.,,,1. 曲邊梯形的面積,,2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)是時(shí)間 t 的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計(jì)算物體在時(shí)間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S.,
4、(1)分割:,T1=t0
5、的概念.,,1. 定積分的定義,(i1, 2,, n),,作和,maxDx1, Dx2,,Dxn; 在小區(qū)間xi1, xi上任取一點(diǎn)xi,記Dxi=xi-xi1 (i1, , n),,個(gè)分點(diǎn): ax0
6、 ,,即,,2.函數(shù)的可積性,定理1:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)f(x) 在區(qū)間 a, b上可積. 定理2:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界, 且只有有限 個(gè)間斷點(diǎn), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積.,1.定積分的定義,二、定積分的定義,,3.定積分的幾何意義:,曲邊梯形面積,曲邊梯形面積的負(fù)值,,,,,,各部分面積的代數(shù)和,,解 把區(qū)間0, 1分成n等份, 分點(diǎn)為和小區(qū)間長(zhǎng)度為,例1. 利用定義計(jì)算定積分,,,取 ,作積分和,,解 函數(shù) y1x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y=1-x為 曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形的面積.,因?yàn)橐詙=1-x為曲邊,
7、 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形是 一個(gè)直角三角形, 其底邊長(zhǎng)及高均為1, 所以,例2 用定積分的幾何意義求,,兩點(diǎn)規(guī)定,三、定積分的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3,注：值得注意的是不論a b c的相 對(duì)位置如何上式總成立,,性質(zhì)4,推論1,如果在區(qū)間a b上 f (x)g(x) 則,如果在區(qū)間a b上 f (x)0 則,性質(zhì)5,推論2,這是因?yàn)閨f(x)|f(x)|f(x)|, 所以,,即,,|,,.,,,,性質(zhì)6 設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的最大值及最小值 則,性質(zhì)7 (定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連 續(xù)則在積分區(qū)間a b上至少存在一個(gè)點(diǎn)x ,使下式成立,這是因?yàn)? 由性質(zhì)6變形得,積分中值公式,由介值定理, 至少存在一點(diǎn)xa, b, 使,兩端乘以ba即得積分中值公式.,,注:,可把,故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.,積分中值定理對(duì),因,,解,例3 估計(jì)積分 的值,,解,例4 估計(jì)積分 的值,,內(nèi)容小結(jié),1. 定積分的定義, 乘積和式的極限,2. 定積分的性質(zhì),3. 積分中值定理,,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式,,
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