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1、
鎖定108分強化訓(xùn)練(五)
數(shù)學(xué)(理科)
注意事項:
1. 本卷選擇題40分、填空題30分、解答題38分.總分:108分.
2. 答題前考生務(wù)必將學(xué)校、班級、姓名、學(xué)號寫在密封線內(nèi).
一、 選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,只有一項是最符合題目要求的.
1. 設(shè)i是虛數(shù)單位,z=1+i,為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù),則z·+||-1等于( )
A. +1 B. +3 C. 2-1 D. 2+1
2. 已知全集U=R,集合A={x|00},那么A∩?UB等于( )
A. {x|0
2、0
3、示的程序框圖,若輸入n的值為4,則輸出的z的值為( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
(第6題) (第7題)
7. 某四棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該四棱錐的體積是( )
A. 27cm3 B. 9cm3 C. 3cm3 D. 3 cm3
8. 定義空間兩個向量的一種運算:ab=|a|·|b|sin,現(xiàn)給出下列結(jié)論:①ab=ba;②λ(ab)=(λa)b;③(a+b)c=(ac)+(bc);④若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=.其中正確的是( )
A. ① B.
4、 ①④ C. ①②④ D. ①③
二、 填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,共30分.
(一) 必做題(11~13題)
9. 函數(shù)y=的定義域為 .
10.
11. 若變量x,y滿足約束條件則z=2x+y的最大值和最小值之和為 .
12. 若雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x,則雙曲線的離心率等于 .
13. 已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo),則確定的不同點的個數(shù)為 .
(二) 選做題(第14~15題,考生只能選做一題)
14. (坐標(biāo)系與參數(shù)方
5、程選做題)已知曲線C的極坐標(biāo)為ρ2=2(ρ>0,0≤θ<2π),設(shè)曲線C在點處的切線為l,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則在平面直角坐標(biāo)方程中,直線l的方程為 .
15. (幾何證明選講選做題)如圖,在正方形ABCD的邊BC,CD上取點H,M,且==,AH與BM交于點P,若PH=,則AP= .
(第15題)
三、 解答題:本大題共3小題,共38分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
16. (本小題滿分12分)在銳角三角形ABC中,已知角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=5,b=2,△ABC的面積S△ABC=3.
(1)
6、求cos(A+B)的值;
(2) 設(shè)函數(shù)f(x)=sin,求f的值.
17. (本小題滿分12分)甲、乙兩名同學(xué)參加某種選拔測試,在相同測試條件下,兩人5次測試的成績(單位:分)如下表:
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
60
63
75
80
87
乙
55
66
77
78
89
(1) 請計算甲、乙兩人成績的平均數(shù)和方差,并據(jù)此判斷選派誰參賽更好;
(2) 若從甲、乙兩人5次的成績中各隨機抽取一個成績進行分析,設(shè)抽到的兩個成績中,80分以上的個數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
18. (本小題滿分14分)如圖,已知點C
7、是圓心為O,半徑為1的半圓弧上從點A數(shù)起的第一個三等分點,AB是圓O的直徑, CD=1,且CD⊥平面ABC,E是AD的中點.
(1) 求證:AC⊥BD;
(2) 求點C到平面ABD的距離;
(3) 求二面角O-EC-B的余弦值.
(第18題)
1. A 【解析】 z·+||-1=(1+i)(1-i)+-1=+1.
2. B 【解析】 因為B={x|x>2或x<-2},所以?UB={x|-2≤x≤2}, 所以A∩?UB={x|0
8、{an}中,S11====44.
5. A 【解析】 (a-b)a2<0Ta-b<0Ta,(λa)⊕b=|λa|·|b|·sin,當(dāng)λ<0時,
9、λ(a⊕b)=(λa)⊕b不成立;
③當(dāng)a,b,c不共面時,(a+b)⊕c=(a⊕c)+(b⊕c)不成立,例如取a,b,c為兩兩垂直的單位向量,易得(a+b)⊕c=,(a⊕c)+(b⊕c)=2;
④由a⊕b=|a|·|b|sin,a·b=|a|·|b|cos,可知(a⊕b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2,(a⊕b)2=|a|2·|b|2-(a·b)2=(+)(+)-=,故a⊕b=|x1y2-x2y1|恒成立.
9. (-∞,1]∪[2,+∞) 【解析】 由題意得x2-3x+2≥0,解得x≤1或x≥2.
10. 24 【解析】
11. 6 【解析】 作圖可知
10、,三個“角點”分別是A(1,0),B(2,0),C(1,1),可知zmax=4,zmin=2,zmax+zmin=6.
12. 【解析】 在雙曲線中,e==,因為=,故所求的雙曲線的離心率為 .
13. 33 【解析】 若從三個集合中選出的是不同的三個數(shù),則可以組成5=30個不同的點,若在B,C中選取的元素相同都是1,則可以確定3個不同的點,故共有33個不同的點.
14. x+y=2 【解析】 曲線C的方程為x2+y2=2,其在點即處的切線為x+y=2.
15. 3 【解析】 在正方形ABCD中,因為==,所以==,所以==.又∠ABH=∠C=90°,所以△ABH∽△BCM,∠PBH
11、=∠BAH.又因為∠BAH+∠BHA=90°,所以∠PBH+∠BHP=90°,即BP⊥AH.在Rt△ABH中,設(shè)BH=k,則AB=3k, AH=k.所以AB2=AP·AH,BH2=PH·AH,所以===.所以AP=9PH,所以AP=3.
16. (1) 由S△ABC=3,得absin C=3,
即×5×2sin C=3,所以sin C=.
因為△ABC是銳角三角形,
所以cos C===.
又因為在△ABC中,A+B=π-C,
所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C=-.
(2) 由(1)知sin C=,cos C=,
所以sin 2C=2sin Ccos C=2
12、××=,
cos 2C=2cos2C-1=2×-1=.
所以f=sin=sincos 2C+cossin 2C
=×+×=.
17. (1) =×(60+63+75+80+87)=73,
=×(55+66+77+78+89)=73.
=×(132+102+22+72+142)=103.6,
=×(182+72+42+52+162)=134.
因為=,<,所以選派甲參賽更好.
(2) 隨機變量ξ的所有可能取值為0,1,2.
P(ξ=0)=·=,
P(ξ=1)=2··=,
P(ξ=2)=·=.
隨機變量ξ的分布列如下表:
ξ
0
1
2
P
13、
所以E(ξ)=0×+1×+2×=.
18. (1) 因為CD⊥平面ABC,ACì平面ABC,
所以CD⊥AC.
因為點C在圓O上,AB是圓O的直徑,所以AC⊥BC.
因為AC⊥CD,AC⊥BC,CD∩BC=C,
所以AC⊥平面BCD.
又因為BDì平面BCD,所以AC⊥BD.
(2) 因為點C是圓心為O,半徑為1的半圓弧上從點A數(shù)起的第一個三等分點,所以∠AOC=60°.
又OA=OC=1,所以AC=1.
因為AB是圓O的直徑,所以AC⊥BC.
于是BC===.
因為CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,CD⊥BC.
所以AD===,
BD===2.
所以AB=BD
14、,
又因為點E是AD的中點,所以BE⊥AD.
因此BE===.
所以S△ABC=AC·BC=×1×=,
S△ABD=AD·BE=××=.
設(shè)點C到平面ABD的距離為h,
則有=,即S△ABD·h=S△ABC·CD,即h=×1,所以h=.
(第18題)
(3) 以點C為坐標(biāo)原點,,,分別為x,y,z軸的正向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則A(1,0,0),B(0,,0),C(0,0,0),D(0,0,1),E,O,所以=(0,,0),=,=.
設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z),
則即
取x=1,得n=(1,0,-1).
設(shè)平面OCE的法向量為m=(p,q,r),
則即
取p=1,得m=.
所以cos===.
因此二面角O-EC-B的余弦值為.
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