（浙江專用）2020版高考數學大一輪復習 第四章 三角函數、解三角形 4.7 解三角形應用舉例課件.ppt

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1、4.7解三角形應用舉例,知識梳理,雙擊自測,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.,知識梳理,雙擊自測,2.實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角:與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方的角叫做仰角,目標視線在水平視線下方的角叫做俯角(如圖). (2)方向角:相對于某正方向的水平角,如南偏東30、北偏西45、西偏北60等. (3)方位角:指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角,如B點的方位角為(如圖). (4)坡度:坡面與水平面所成的二面角的度數.,,,,知識梳理,雙擊自測,3.解

2、三角形應用題的一般步驟 (1)閱讀理解題意,弄清問題的實際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的關系. (2)根據題意畫出示意圖,將實際問題抽象成解三角形問題的模型. (3)根據題意選擇正弦定理或余弦定理求解. (4)將三角形問題還原為實際問題,注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等.,知識梳理,雙擊自測,1.如圖,設A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,ACB=45,CAB=105后,就可以計算出A,B兩點的距離為 (),答案,解析,知識梳理,雙擊自測,2.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40,燈塔B在觀察

3、站南偏東60,則燈塔A在燈塔B的() A.北偏東10B.北偏西10 C.南偏東80D.南偏西80,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,3.一架飛機在海拔800 m的高度飛行,在空中測出前下方海島兩側海岸俯角分別為30和45,則這個海島的寬度為.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,4.(教材改編)海面上有A,B,C三個燈塔,AB=10 n mile,從A望C和B成60視角,從B望C和A成75視角,則BC等于(),答案,解析,知識梳理,雙擊自測,5.(2018江蘇南京模擬)已知某臺風中心位于海港城市A東偏北的150千米處,以每小時v千米的速度向正西方向快速移動,2.5小時后到達距海港城市A西偏北的20

4、0千米處,若4cos =3cos ,則風速v的值為千米/時.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,自測點評 1.仰角與俯角是相對水平視線而言的,而方位角是相對于正北方向而言的. 2.利用方位角(或方向角)和目標與觀測點的距離即可唯一確定一點的位置. 3.“方位角”與“方向角”的區(qū)別:方位角大小的范圍是0,2),方向角大小的范圍是 .,考點一,考點二,考點三,測量距離問題(考點難度),【例1】 (1)某人為測出所住小區(qū)的面積,進行了一些測量工作,最后將所住小區(qū)近似地畫成如圖所示的四邊形,測得的數據如圖所示,則AC= km;該圖所示的小區(qū)的面積是 km2.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,(2

5、)(2018廣東沖刺模擬)大雁塔作為現存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔,是凝聚了中國古代勞動人民智慧結晶的標志性建筑.如圖所示,已知ABE=,ADE=,垂直放置的標桿BC的高度h=4米,大雁塔高度H=64米.某數學興趣小組準備用數學知識探究大雁塔的高度與,的關系.該小組測得,的若干數據并分析測得的數據后,發(fā)現適當調整標桿到大雁塔的距離d,使與的差較大時,可以提高測量精確度,求-最大時,標桿到大雁塔的距離d為米.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,方法總結1.測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題,一般可轉化為已知兩個角和一條邊解三角形的問題,從而運用正弦定理解決. 2.測量

6、兩個不可到達的點之間的距離問題,一般是把求距離問題轉化為應用余弦定理求三角形的邊長的問題.然后把求未知的另外邊長問題轉化為只有一點不能到達的兩點距離測量問題,然后運用正弦定理解決. 3.選定或確定要創(chuàng)建的三角形,首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知則直接求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.,考點一,考點二,考點三,對點訓練 (2018福建高三模擬)如圖,已知兩條公路AB,AC的交匯點A處有一學校,現擬在兩條公路之間的區(qū)域內建一工廠P,在兩公路旁M,N,(1)試用表示AM,并寫出的范圍; (2)當為多大時,工廠產生的噪聲對學校的影響最小(即工廠與學校的距離最遠).,考點一,

7、考點二,考點三,所以AM=4sin(75+)(0<<105). (2)在APM中,AM=4sin(75+), 所以AP2=AM2+MP2-2AMMPcosAMP,=20-16sin(2+180) =20+16sin 2(0<<105). 當且僅當2=90,即=45時,AP2取得最大值36,即AP取得最大值6. 所以當=45時,工廠產生的噪聲對學校的影響最小.,考點一,考點二,考點三,測量高度問題(考點難度),【例2】 (1)(2018浙江義烏期末)在一幢10 m高的房屋頂測得對面一塔頂的仰角為60,塔基的俯角為30,假定房屋與塔建在同一水平地面上,則塔的高度為 m.,答案,解析,考點一,考點二

8、,考點三,(2)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達B處,測得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD= m.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,方法總結求解高度問題首先應分清: (1)在測量高度時,要理解仰角、俯角的概念; (2)準確理解題意,分清已知條件與所求,畫出示意圖; (3)運用正弦定理、余弦定理,有序地解相關的三角形,逐步求解問題,注意數形結合思想的運用.,考點一,考點二,考點三,對點訓練 如圖,測量河對岸的旗桿高AB時,選與旗桿底B在同一水平面內的兩個測點C與D.測得BCD=75,BD

9、C=60,CD=a,并在點C測得旗桿頂A的仰角為60,則旗桿高AB為.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,測量角度問題(考點難度) 【例3】 (1)一緝私艇發(fā)現在北偏東45方向,距離12 n mile的海上有一走私船正以10 n mile/h 的速度沿南偏東75方向逃竄,若緝私艇的速度為14 n mile/h,緝私艇沿北偏東45+的方向追去,若要在最短的時間內追上走私船,則追上所需的時間為h,角的正弦值為.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,(2)如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20,燈塔B在觀察站C的南偏東40,則燈塔A與B的距離為

10、(),答案,解析,考點一,考點二,考點三,方法總結1.對于和航行有關的問題,要抓住時間和路程兩個關鍵量,解三角形時將各種關系集中在一個三角形中利用條件求解. 2.根據示意圖,把所求量放在有關三角形中,有時直接解此三角形解不出來,需要先在其他三角形中求解相關量.,考點一,考點二,考點三,對點訓練某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時,輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛,經過t小時與輪船相遇. (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小

11、應為多少? (2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時,試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇,并說明理由.,考點一,考點二,考點三,解:(1)設相遇時小艇航行的距離為S海里,,考點一,考點二,考點三,(2)設小艇與輪船在B處相遇. 則v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30),,此時,在OAB中,有OA=OB=AB=20. 故可設計航行方案如下: 航行方向為北偏東30,航行速度為30海里/時.,思想方法函數思想在解三角形中的應用 三角形在實際中的應用問題有很多是求距離最短、用時最少、速度最大等最值問題,這需要建立有關量的函數

12、關系式,通過求函數最值的方法來解決.函數思想在解三角形實際問題中的應用,經常與正弦定理、余弦定理相結合,此類問題綜合性較強,能力要求較高,要有一定的分析問題、解決問題的能力.,【典例】 如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB,某目標點P沿墻面上的射線CM移動,此人為了準確瞄準目標點P,需計算由點A觀察點P的仰角的大小.若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30,則tan 的最大值是.(仰角為直線AP與平面ABC所成角),解析:如圖,過點P作POBC于點O, 連接AO, 則PAO=.,答題指導通過正弦定理和余弦定理建立邊角關系,通過函數思想可以求出邊或角的最值. 高分策略1.解三角形實際應用問題的一般步驟是:審題建模(準確地畫出圖形)求解檢驗作答. 2.解三角形應用題的兩種情形: (1)實際問題經抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)實際問題經抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形,這時需作出這些三角形.先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時需設出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.,