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1、浙江省杭州市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí):12 圓錐曲線的綜合問題
姓名:________ 班級(jí):________ 成績(jī):________
一、 解答題 (共15題;共145分)
1. (10分) (2018高二上浙江月考) (6’+9’)已知雙曲線 , 為 上的任意點(diǎn)。
(1) 求證:點(diǎn) 到雙曲線 的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù);
(2) 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,求 的最小值.
2. (10分) (2018高二上南寧月考) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系 中,橢圓 的焦距為 ,且過點(diǎn) .
(1) 求橢圓 的方程;
(2
2、) 若點(diǎn) 分別是橢圓 的左右頂點(diǎn),直線 經(jīng)過點(diǎn) 且垂直于 軸,點(diǎn) 是橢圓上異于 的任意一點(diǎn),直線 交 于點(diǎn) .
①設(shè)直線 的斜率為 ,直線 的斜率為 ,求證: 為定值;
②設(shè)過點(diǎn) 垂直于 的直線為 ,求證:直線 過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
3. (10分) (2019高二上唐山月考) 已知定點(diǎn) , 是直線 : 上一動(dòng)點(diǎn),過 作 的垂線與線段 的垂直平分線交于點(diǎn) . 的軌跡記為 .
(1) 求 的方程;
(2) 直線 ( 為坐標(biāo)原點(diǎn))與 交于另一點(diǎn) ,過 作 垂線與 交于 ,直線 是否過平面內(nèi)一定點(diǎn),若是
3、,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說明理由.
4. (10分) (2018南陽模擬) 已知拋物線 的焦點(diǎn)為 ,過點(diǎn) 且斜率為 的直線 交曲線 于 兩點(diǎn),交圓 于 兩點(diǎn)( 兩點(diǎn)相鄰).
(Ⅰ)若 ,當(dāng) 時(shí),求 的取值范圍;
(Ⅱ)過 兩點(diǎn)分別作曲線 的切線 ,兩切線交于點(diǎn) ,求 與 面積之積的最小值.
5. (10分) (2019高二上賓縣月考) 已知橢圓 的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線 的焦點(diǎn),離心率等于 .
(1) 求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 過橢圓 的右焦點(diǎn) 作直線 交橢圓 于 兩點(diǎn),交 軸于 點(diǎn)
4、,若 ,求證 為定值.
6. (10分) 已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(0,1),
(1)求拋物線C的方程;
(2)過點(diǎn)F作直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),若直線AO,BO分別與直線y=x﹣2交于M,N兩點(diǎn),求|MN|的取值范圍.
7. (10分) (2018豐臺(tái)模擬) 已知橢圓 : 的一個(gè)焦點(diǎn)為 ,點(diǎn) 在橢圓 上.
(Ⅰ)求橢圓 的方程與離心率;
(Ⅱ)設(shè)橢圓 上不與 點(diǎn)重合的兩點(diǎn) , 關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱,直線 , 分別交 軸于 , 兩點(diǎn).求證:以 為直徑的圓被 軸截得的弦長(zhǎng)是定值.
8. (10分) (2017山東) 在平面直角坐標(biāo)
5、系xOy中,橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,焦距為2.(14分)
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)如圖,該直線l:y=k1x﹣ 交橢圓E于A,B兩點(diǎn),C是橢圓E上的一點(diǎn),直線OC的斜率為k2 , 且看k1k2= ,M是線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且|MC|:|AB|=2:3,⊙M的半徑為|MC|,OS,OT是⊙M的兩條切線,切點(diǎn)分別為S,T,求∠SOT的最大值,并求取得最大值時(shí)直線l的斜率.
9. (10分) (2019高二上洮北期中) 已知橢圓 的離心率為 ,且經(jīng)過點(diǎn)P ,過它的左、右焦點(diǎn) 分別作直線l1和12.l1交橢圓于A.兩點(diǎn),l2交橢圓于C,D兩點(diǎn), 且
6、
(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2) 求四邊形ACBD的面積S的取值范圍.
10. (10分) (2017河北模擬) 給定橢圓C: =1(a>b>0),稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為 的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F( ,0),其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作橢圓的切線l1 , l2交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M,N.
(?。┊?dāng)點(diǎn)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線l1 , l2的方程并證明l1⊥l2;
(ⅱ)求證:線段MN的長(zhǎng)為定值.
11. (10分) (2018高
7、二上阜城月考) 已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 ,橢圓 過點(diǎn) ,直線 交 軸于 ,且 , 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1) 求橢圓 的方程;
(2) 設(shè) 是橢圓 的上頂點(diǎn),過點(diǎn) 分別作直線 交橢圓 于 兩點(diǎn),設(shè)這兩條直線的斜率分別為 ,且 ,證明:直線 過定點(diǎn).
12. (10分) (2019高三上汕頭期末) 已知橢圓 : 的離心率為 ,以橢圓長(zhǎng)、短軸四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)為四邊形的面積為 .
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)如圖所示,記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為 、 ,當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 在定直線 上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線 分別交橢圓于兩點(diǎn) 、 ,求四邊形
8、 面積的最大值.
13. (5分) (2016高二上岳陽期中) 設(shè)直線l:y=k(x+1)(k≠0)與橢圓3x2+y2=a2(a>0)相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn),與x軸相交于點(diǎn)C,記O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)證明:a2> ;
(Ⅱ)若 ,求△OAB的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程.
14. (5分) (2018門頭溝模擬) 已知橢圓 ,三點(diǎn) 中恰有二點(diǎn)在橢圓 上,且離心率為 。
(1) 求橢圓 的方程;
(2) 設(shè) 為橢圓 上任一點(diǎn), 為橢圓 的左右頂點(diǎn), 為 中點(diǎn),求證:直線 與直線 它們的斜率之積為定值;
(3) 若橢圓 的右焦點(diǎn)為 ,過
9、的直線 與橢圓 交于 ,求證:直線 與直線 斜率之和為定值。
15. (15分) (2017高二下深圳月考) 已知橢圓 的離心率為 ,左、右焦點(diǎn)分別為 , ,且 , : 與該橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(1) 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 過點(diǎn) 的直線 與 : 相切,且與橢圓相交于 , 兩點(diǎn),試探究 , 的數(shù)量關(guān)系.
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參考答案
一、 解答題 (共15題;共145分)
1-1、
1-2、
2-1、
2-2、
3-1、
3-2、
4-1、
5-1、
5-2、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
9-2、
10-1、
11-1、
11-2、
12-1、
13-1、
14-1、
14-2、
14-3、
15-1、
15-2、