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1、西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,2.1 離散時間信號序列 2.2 離散時間系統(tǒng) 2.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性 2.4 離散時間信號和系統(tǒng)的頻域表示 2.5 序列傅里葉變換的對稱性質(zhì) 2.6 連續(xù)時間信號的采樣 2.7 Z變換 2.8 系統(tǒng)函數(shù) 2.9 系統(tǒng)的信號流圖,第2章 離散時間信號和離散時間系統(tǒng),西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,2.1 離散時間信號序列,2.1.1 序列的定義 2.1.2 常用的基本序列 2.1.3 序列的基本運算,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,2.1.1 序列的定義,信號在數(shù)學(xué)上定義為一個函數(shù)，這個函 數(shù)表示一種信息，通
2、常是關(guān)于一個物理系統(tǒng)的狀態(tài)或特性的。信號的函數(shù)表示是關(guān)于一個或幾個獨立變量的，關(guān)于一個獨立變量的信號稱為一維信號，關(guān)于多個獨立變量的信號稱為多維信號。在本書中，主要討論的信號是一維信號x(t), 一般情況下x(t)為隨時間變化的信號，簡稱時間信號或時域信號。,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,若t是定義在時間上的連續(xù)變量，稱x(t)為連續(xù)時間信號，也就是模擬信號；若t僅在時間的離散點上取值，稱x(t)為離散時間信號或時域離散信號。離散時間信號可以通過對連續(xù)時間信號的采樣得到,這種情況下把信號記為x(nT) ，T表示的是采樣點之間的時間間隔，n是一個整數(shù)。 離散時間信號可以表示成下列形式
3、： x(nT) n=0,1,2,3,...,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,在大多數(shù)DSP系統(tǒng)中，x(nT)的存放是按n下標(biāo)來放置的，不同的x(nT)只要靠n就可區(qū)別。因此，將x(nT)表示為x(n)，這是一種數(shù)學(xué)的抽象。所以一個離散時間信號定義為： x(n) n=0,1,2,3,... x(n)定義在n等于整數(shù)點上，在n不等于整數(shù)點上，x(n)沒有定義，但并不表示信號值為零。從數(shù)學(xué)的角度看，上面的定義式表示一個序列，因此也把離散時間信號稱作離散時間序列，簡稱序列 。,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,序列除了數(shù)學(xué)表達式外，還常常采用圖形方式來表示，如圖2.1所示。雖然橫
4、坐標(biāo)畫成一條連續(xù)的直線，但x(n)僅僅對于整數(shù)的n值才有意義。 圖2.1 離散時間信號的圖形表示,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,離散時間信號在幅度上定義成連續(xù) 的，如果將幅度進行量化，一般為等間隔量化。在時間和幅度上都取離散值的信號稱為“數(shù)字信號”。因此，離散時間信號并不等于數(shù)字信號，但由于數(shù)字信號是幅度量化得到的，在數(shù)學(xué)表示和推導(dǎo)中不如序列形式方便和容易，所以一般都采用離散時間信號來討論數(shù)字信號處理的理論和算法。,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,2.1.2 常用的基本序列,1.單位取樣序列,(n)的定義簡單而精確，是一個真實的物理信號，而(t)采用的是極限定義，是一
5、種純粹的數(shù)學(xué)抽象，不表示一種實際的信號。,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,2.單位階躍序列 u(n)可以表示成很多移位的(n)序列之和： u(n)也可以用來表示移位的(n)：,,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,,3.實指數(shù)序列 其中，a為實常數(shù)，它的絕對值一般小于1。,,,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,4.矩形序列,該序列稱為矩形序列，也稱作“矩形窗”，其中，N稱為窗的寬度。 可以用來得到一個有限長(寬)序列，通過下式運算把一個無限長或很長序列變成長度為N點的序列 ， 的圖形如下圖所示：,,,,,,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)
6、學(xué)院 2007年,5.正弦和余弦序列 正弦序列定義為 余弦序列定義為,,,其中，A為信號的最大幅度，稱為序列的數(shù)字頻率，如圖是一個正弦序列的圖形表示。,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,若 其中， 是整數(shù), N 為大于零的整數(shù)。稱 是一個周期為N 點的周期序列，這個周期對應(yīng)的數(shù)字頻率為=2/N，下面以余弦序列為例來證明數(shù)字頻率和周期的關(guān)系。 假設(shè)余弦序列可以寫成 只有當(dāng) 時，其中 均是正整數(shù)，上式才成立，即該余弦序列是一個周期序列，周期等于 ，否則，該余弦序列不是一個周期序列。,,,,,,,,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,分析 這一條件，可以寫成
7、 當(dāng)上式為整數(shù)或有理數(shù)時，余弦序列才是周期序列 ，若為無理數(shù)，序列就不是周期序列。因此，判斷一個正弦或余弦序列是否是周期序列的方法是：用2除以它的數(shù)字頻率，若得出的是整數(shù)或有理數(shù)，則序列為周期序列；若得出的是無理數(shù)，序列就不是周期序列。但無論序列是否為周期序列，仍把稱作序列的數(shù)字頻率。,,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,下面來說明模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系。 設(shè)模擬余弦信號為 對該 以T為采樣間隔進行采樣離散,得 將離散后的信號表示成離散余弦序列，即,,,,,,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,可知 或 其中， 稱為采樣頻率。該式即為數(shù)字頻
8、率 和模擬頻率，f 之間關(guān)系式，它們是依靠采樣間隔T 或采樣頻率進行關(guān)聯(lián)的。 可以得到 整理后可得 上式的意義是 倍采樣周期等于 倍信號周期，當(dāng) 均為整數(shù)時，序列的周期是 。,,,,整理后可得,,,,,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,數(shù)字頻率的特點： （1）是一個連續(xù)取值的量； （2）的量綱為一種角度的量綱單位：弧度（rad）。它表示序列在采樣間隔T內(nèi)正弦或余弦信號變化的角度，表示了信號相對變化的快慢程度； （3） 序列對于是以2為周期的，或者說，的獨立取值范圍為0,2)或-,)。,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,6.復(fù)指數(shù)序列 該序列也稱作復(fù)正弦序列，由余
9、弦序列作實 部，正弦序列作虛部構(gòu)成 。稱為復(fù)指數(shù)序列的 數(shù)字頻率，復(fù)指數(shù)序列在實際中不存在，它是為 了數(shù)學(xué)上的表示和分析方便而引入的，它的特性 和正弦或余弦序列的特性基本一致。,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,2.1.3 序列的基本運算,1. 序列加減 若 x(n)y(n)=z(n), 則 z(n)=x(n)y(n) 2.序列數(shù)乘 若 ax(n)=z(n), 則 z(n)=ax(n) 其中， a是常數(shù)。 3.序列移位 若 x(n-n0) =z(n), 則 z(n) = x(n-n0) 其中，n0為整數(shù) 4. 序列相乘 若 x(n)y(n) = z(n), 則 z(n)= x(n)
10、y(n),西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,5.序列反轉(zhuǎn) 若 x(-n) = z(n), 則 z(n) = x(-n) 6.序列卷積 若x(n)*y(n) = z(n) 則 其中，符號“*”表示一種特定的運算形式，稱作“卷積”。 7. 序列加窗 若 RN(n)x(n) = z(n) 則 z(n) = x(n)RN(n) n = 0,1,2， ，N-1,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,（n）序列是一種最基本的序列，任何一個序列x(n)可以表示成單位取樣序列（n）的移位加權(quán)和，如下式所示： 如圖，可以表示成,,,,,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,2.2 離散時
11、間系統(tǒng),2.2.1 系統(tǒng)定義 數(shù)字信號處理的任何處理都是依靠系統(tǒng)來完成的,所以系統(tǒng)是數(shù)字信號處理的核心，系統(tǒng)一般包括系統(tǒng)硬件和系統(tǒng)所完成的處理算法。 系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運算。這種映射是廣義的，實際上表示的是一種具體的處理，或是變換，或是濾波。,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,系統(tǒng)可以表示為 其中，符號T 表示系統(tǒng)的映射或處理，可以把T 簡稱為系統(tǒng)。 系統(tǒng)的圖形表示如下圖所示，輸入x(n)稱為系統(tǒng)的激勵，輸出y(n)稱為系統(tǒng)的響應(yīng)。由于它們均為離散時間信號，將系統(tǒng)T 稱為離散時間系統(tǒng)或時域離散系統(tǒng)。,,,西北大學(xué)信息
12、科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,2.2.2 線形離散時間系統(tǒng) 滿足疊加原理的系統(tǒng)，或滿足齊次性和可加 性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。 設(shè)y1(n)=Tx1(n)， y2(n)=Tx2(n) 對任意常數(shù)a,b，若 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) =a y1(n)+b y2(n) 則稱T 為線性離散時間系統(tǒng)。,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,推廣到一般情況，設(shè) yk(n) = Txk(n) ， k=1，2，...N 線性系統(tǒng)滿足 1kN 線性系統(tǒng)的特點是多個輸入的線性組合的系統(tǒng)輸出等于各輸入單獨作用的輸出的線性組合。,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與
13、技術(shù)學(xué)院 2007年,例2.1 證明由線性方程表示的系統(tǒng) 是非線性系統(tǒng)。 證明 設(shè) 所以，該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,2.2.3 非時變離散時間系統(tǒng) 若滿足下列條件，系統(tǒng)稱為非時變（非移變）系統(tǒng)，或時不變（移不變）系統(tǒng)。 設(shè) y(n) = Tx(n) 對任意整數(shù)k,有 y(n-k)=Tx(n-k) 即系統(tǒng)的映射T 不隨時間變化，只要輸入x(n)是相同的，無論何時進行激勵，輸出y（n）總是相同的，這正是系統(tǒng)非時變性的特征。,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,下圖形象說明了系統(tǒng)非時變性的概念。,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,
14、例2.2 設(shè)系統(tǒng)的映射 y = Tx(n) = nx(n) ，判斷系統(tǒng)的線性和時不變性。 解 設(shè) y1(n) = nx1(n), y2(n) =nx2(n) a1x1(n)+a2x2(n) = x(n) 則 Tx(n) = nx(n) = na1x1(n)+na2x2 = a1y1(n)+ a2y2(n) 所以，系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 設(shè) y(n) = nx(n), x1(n) = x(n-k) y1(n) = nx1(n) = nx(n-k) 而 y(n-k) = (n-k)x(n-k)y1(n) 所以，系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,2.2.4 線性
15、時不變離散系統(tǒng) 定義 同時具備線性和時不變性的系統(tǒng)稱作線 性非時變系統(tǒng)或線性時不變系統(tǒng)。 它的重要意義在于，系統(tǒng)的處理過程可以統(tǒng)一采用這種系統(tǒng)的特征描述之一單位采樣響應(yīng)，以一種相同的運算方式卷積運算，進行統(tǒng)一的表示。 任何一個信號可以表示成單位采樣序列的線性組合，即,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,系統(tǒng)對 的響應(yīng)為 設(shè)系統(tǒng)對單位采樣序列 的響應(yīng)為 ， 即 稱為系統(tǒng)的“單位采樣響應(yīng)”，它是描述系統(tǒng)的一個非常重要的信號。,,,,,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,根據(jù)時不變性，有 則系統(tǒng)輸出y(n)可表示為 上式表明：當(dāng)線性非時變系統(tǒng)的單位采樣響
16、應(yīng)h(n)確定時，系統(tǒng)對任何一個輸入x(n)的響應(yīng)y(n)就確定了， y(n)可以表示成x(n)和h(n)之間的一種簡單的運算形式。將上式的運算方式稱作“離散卷積”，簡稱“卷積”，采用符號“*”表示，即,,,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,,2.2.5 離散卷積的計算 卷積的計算一般采用兩種方法：解析法和圖解法，或是兩種方法的結(jié)合。 例2.3 設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和輸入序列如下圖所示，畫出輸出的波形。,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,圖2.2 例2.2圖解法,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,,（2）采用解析法。
17、 因為 所以 將x(n)的表達式代入上式，得到 兩種方法結(jié)果一致。,,,,,,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,,2.2.6 離散卷積的運算規(guī)律 (1) 交換率 h(n)*x(n) = x(n)*h(n) 它的意義可以解釋為，如果互換系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)h(n)和輸入x(n)，系統(tǒng)的輸出保持不變。 (2) 結(jié)合率 x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h2(n)*h1(n) =x(n)*h2(n)*h1(n) 它的意義可以解釋為一種級聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，級聯(lián)順序可以交換，或系統(tǒng)級聯(lián)可以等效為一個系統(tǒng)，輸出保持不變。,西北大學(xué)信息科學(xué)與技
18、術(shù)學(xué)院 2007年,,(3) 分配率 x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) = x(n)*h1(n)+ h2(n) 它的意義可以解釋為一個并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，或并聯(lián)系統(tǒng)可以等效為一個系統(tǒng)，輸出保持不變。 (4) 與(n)卷積不變性 x(n)*(n) = x(n) 它的意義可以解釋為輸入通過一個零相位的全通系統(tǒng)。 (5) 與(n-k)卷積的移位性 x(n)*(n-k) = x(n-k) 它的意義可以解釋為輸入通過一個線性相位的全通系統(tǒng)。,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,2.3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性,2.3.1 穩(wěn)定性 穩(wěn)定系統(tǒng)是有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系
19、統(tǒng)。 若 則 線性時不變離散系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,,2.3.2 因果性 若系統(tǒng) n時刻的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而與n時刻以后的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。 線性時不變離散系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：,,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,,例2.4 某線性時不變離散系統(tǒng)，其單位采樣響 應(yīng)為 試討論其是否是因果的、穩(wěn)定的。 解 討論因果性: 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng) 討論穩(wěn)定性: 當(dāng) 時系統(tǒng)穩(wěn)定,當(dāng) 時系統(tǒng)不穩(wěn)定。,西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 2007年,結(jié)論:因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)是因果的,且是絕對可和的,即,,,,
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