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1、第一章 曲線插值與曲線擬合,劉云華,1,2,1 引言 2 拉格朗日插值多項(xiàng)式 3 分段低次拉格朗日插值 4 Neville逐步插值方法 5 Newton插值 6 Hermite插值和分段三次Hermite插值 7 曲線擬合,實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測(cè)到一些離散數(shù)據(jù)； 或者f(x)過(guò)于復(fù)雜而難以運(yùn)算。這時(shí)我們要用近似函數(shù)g(x)來(lái)逼近f(x)。,自然地，希望g(x)通過(guò)所有的離散點(diǎn),概念,定義： 為定義在區(qū)間 上的函數(shù)， 為區(qū)間上n+1個(gè)互不 相同的點(diǎn)， 為給定的某一函數(shù)類(lèi)。求 上的函數(shù) 滿足,問(wèn)題,是否存在唯一 如何構(gòu)造 誤差估計(jì),所以 有解，當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)行列式
2、不為0,存在唯一定理,,定理1.1 ： 為n1個(gè)節(jié)點(diǎn)， n+1維空間，則插值函數(shù)存在唯一，當(dāng)且僅當(dāng),與基函數(shù)無(wú)關(guān) 與原函數(shù)f(x)無(wú)關(guān) 基函數(shù)個(gè)數(shù)與點(diǎn)個(gè)數(shù)相同,特點(diǎn)：,對(duì)應(yīng)于,則,Vandermonde行列式,多項(xiàng)式插值的Lagrange型,如何找？,記,,線性插值,12,圖2-2,二次插值,14,這是一個(gè)二次函數(shù)，用二次函數(shù) 近似代替函數(shù) ，在幾何上就是通過(guò)曲線 上的三點(diǎn) ，作一拋物線 近似地代替曲線 （圖2-3），故三點(diǎn)插值(二次插值)。,例：,16,例 已知 分別用線性插值和拋物插值求 的值。
3、 解 因?yàn)?15在100和121之間，故取節(jié)點(diǎn)x0=100，x1=121相應(yīng)地有 y0=10，y1=11 故用線性插值求得的近似值為,17,仿上，用拋物插值公式所求得的近似值為 將所得結(jié)果與 的精確值10.7328相比較，可以看出拋物插值的精確度較好。 為了便于上機(jī)計(jì)算，我們常將拉格朗日插值多項(xiàng)式改寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)形式,,算法：,fx=0.0 for(i=0;i<=n;i++) tmp=1.0; for(j=0;j
4、x=fx+tmp*yi; return fx;,Lab02 Lagrange插值,對(duì)函數(shù),構(gòu)造插值，并求,插值節(jié)點(diǎn)取為：,(1),(2),對(duì)N=5，10，20，40比較以上兩組節(jié)點(diǎn)的結(jié)果。,Chebyshev點(diǎn),誤差,解：,求,設(shè),易知,有n+2個(gè)零點(diǎn),由a的任意性,解：,,n = 1,分別利用x0, x1 以及 x1, x2 計(jì)算,利用,,這里,而,,sin 50 = 0.7660444,外推 /* extrapolation */ 的實(shí)際誤差 0.01001,利用,內(nèi)插 /* interpolation */ 的實(shí)際誤差 0.00596,內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的 x 所在的區(qū)間的端點(diǎn)
5、，插值效果較好。,n = 2,,sin 50 = 0.7660444,2次插值的實(shí)際誤差 0.00061,高次插值通常優(yōu)于低次插值,例子,P14P17,26,4 分段低次插值 例2、例4表明，適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度。但是決不可由此提出結(jié)論，認(rèn)為插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好。例如，對(duì)函數(shù) 先以 為節(jié)點(diǎn)作五次插值多項(xiàng)式P5(x) ，再以 為節(jié)點(diǎn)作十次插值多項(xiàng)式P10(x) ，并將曲 線 描 繪在同一坐標(biāo)系中，如圖2-5所示。,27,,-1 0
6、 1 x,,,y 1,,,,,,,,,,,,y=1/(1+25x2),y=P5(x),圖2-5,y=P10(x),28,這種分段低次插值叫分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，如圖2-6所示。故分段線性插值又稱(chēng)折線插值.,,x,y=f(x),29,類(lèi)似地，為求 的近似值，也可選取距點(diǎn) 最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn) 進(jìn)行二次插值，即取 這種分段低次插值叫分段二次插值。在幾何上就是用分段拋物線代替曲線，故分段二次插值又稱(chēng)分段拋物插值。為了保證 是距點(diǎn) 最近的三個(gè)節(jié)點(diǎn)，（4.2）中的 可通過(guò)下面方法確定:,（4.2）,30,Neville逐步插值方法,通過(guò)兩點(diǎn)插值逐步生成
7、多點(diǎn)插值的方法,兩點(diǎn)插值,31,三點(diǎn)插值：由兩個(gè)兩點(diǎn)插值（x0,y0）(x1,y1)與（x1,y1）(x2,y2),,,32,多點(diǎn)Neville插值,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,2,,,Hermite插值,在節(jié)點(diǎn)處已知函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值,兩點(diǎn)三次Hermite插值,兩點(diǎn)三次Hermite插值誤差分析,例子,P26p29,三次樣條插值,分段低階插值，收斂性好，但光滑性不夠理想。在工業(yè)設(shè)計(jì)中， 對(duì)曲線光滑性要求高，如：流線型 設(shè)想這樣一曲線：插值，次數(shù)不高于3次，整個(gè)曲線2階連續(xù)導(dǎo) 數(shù)，稱(chēng)為三次樣條函數(shù)插值。,每個(gè)小區(qū)間不高于3次，,有4n個(gè)未知數(shù)，我們的已知條件如下：,共3n
8、-3+n+1=4n-2個(gè)條件,給定端點(diǎn)彎距值,給定端點(diǎn)轉(zhuǎn)角值,58,曲線擬合的最小二乘法 1 引 言 2 什么是最小二乘法 3 最小二乘解的求法,59,曲線擬合的最小二乘法 1 引 言 在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常要從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 出發(fā)，尋求函數(shù)y = f(x)的一個(gè)近似表達(dá)式y(tǒng)=（x）（稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)公式）。從幾何上，就是希望根據(jù)給出的m個(gè)點(diǎn) ，求曲線 y = f(x) 的一條近似曲線 y=（x）。因此，這是一個(gè)曲線擬合的問(wèn)題。 多項(xiàng)式插值雖然在一定程度上解決了由函數(shù)表求函數(shù)的近似表達(dá)式問(wèn)題，但用它來(lái)解決這里提
9、出的問(wèn)題，有明顯缺陷。 首先，實(shí)驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)通常帶有測(cè)試誤差。如要求近似曲線y=（x）嚴(yán)格地通過(guò)所給的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) ，就會(huì)使曲線保持原有的測(cè)試誤差。當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大時(shí)，插值效果顯然是不理想的。 其次，由實(shí)驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)往往較多（即m較大），用插值法得到的近似表達(dá)式，明顯地缺乏實(shí)用價(jià)值。,60,因此，怎樣從給定的一組數(shù)據(jù)出發(fā)，在某個(gè)函數(shù)類(lèi)中尋求一個(gè)“最好”的函數(shù)（x）來(lái)擬合這組數(shù)據(jù)，是一個(gè)值得討論的問(wèn)題。 隨著擬合效果“好”、“壞”標(biāo)準(zhǔn)的不同，解決此類(lèi)問(wèn)題的方法也不同。這里介紹一種最常用的曲線擬合方法，即最小二乘法。。 2 什么是最小二乘法 如前所述，在一般情況下，我們不能要求
10、近似曲線 y=f（x）嚴(yán)格地通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn) ，亦即不能要求所有擬合曲線函數(shù)在 xi 處的偏差（亦稱(chēng)殘差） 都嚴(yán)格地趨于零。但是，為了使近似曲線盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)，要求i都較小還是需要的。達(dá)到這一目標(biāo)的途徑很多，常見(jiàn)的有： (1)選?。▁），使偏差絕對(duì)值之和最小，即,(2.1),61,(2)選?。▁），使偏差最大絕對(duì)值最小，即 (2.2) (3)選取（x），使偏差平方和最小，即 (2.3) 為了方便計(jì)算、分析與應(yīng)用，我們較多地根據(jù)“偏差平
11、方和最小”的原則（稱(chēng)為最小二乘原則）來(lái)選取擬合曲線y=（x） 按最小二乘原則選擇擬合曲線的方法，稱(chēng)為 最小二乘法。 本章要著重討論的線性最小二乘問(wèn)題，其基本提法是：對(duì)于給定數(shù)據(jù)表 x x1 x2 xm y y1 y2 ym,,,62,要求在某個(gè)函數(shù)類(lèi) （其中n
12、.5）的函數(shù) ，稱(chēng)為上述最小二乘問(wèn)題的最小二乘解 。 由上可知，用最小二乘法解決實(shí)際問(wèn)題包含兩個(gè)基本環(huán)節(jié)：先根據(jù)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)與問(wèn)題的實(shí)際背景確定函數(shù)類(lèi) ,即確定 所具有的形式；然后按最小二乘法原則（2.3）求取最小二乘解 ，即確定其系數(shù) 。,63, 3 最小二乘解的求法 由最小二乘解（2.4）應(yīng)滿足條件（2.5）知，點(diǎn) 是多元函數(shù) 的極小點(diǎn)，從而 滿足方程組 即,64,亦即 若對(duì)任意的函數(shù)h(x)和g(x) ，引入記號(hào)
13、 則上述方程組可以表示成 寫(xiě)成矩陣形式即,(3.1),(3.2),65,方程組(3.2)稱(chēng)為法方程組。當(dāng) 線性無(wú)關(guān)時(shí)，可以證明它有唯一解 并且相應(yīng)的函數(shù)(2.4)就是滿足條件(2.5)的最小二乘解。 綜上分析可得 定理1 對(duì)任意給定的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) (其中 互異),在函數(shù)類(lèi) ( 線性無(wú)關(guān)）中,存在唯一的函數(shù) 使得關(guān)系式(2.5)成立，并且其系數(shù) 可以通過(guò)解方程組(3.2)得到。 作為曲線擬合的一種常用的情況，若討論的是代數(shù)多項(xiàng)式擬合，
14、即取 則由(3.1)知,66,故相應(yīng)的法方程組為,(3.3),67,例 1 某種鋁合金的含鋁量為 ，其熔解溫度為 c，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得 與 的數(shù)據(jù)如表3-1左邊三列。使用最小二乘法建立 與 之間的 經(jīng)驗(yàn)公式。 解 根據(jù)前面的討論，解決問(wèn)題的過(guò)程如下： （1） 將表中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn) 描繪在坐標(biāo)紙上， 如圖3-1所示。 （2） 確定擬合曲線的形式。由圖3-1可以看出，六個(gè)點(diǎn)位于一條 直線的附近，故可以選用線性函數(shù)（直線）來(lái)擬合這組實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù)，即令,68,其中a,b為待定常數(shù)。 （3） 建立法方程組。由于問(wèn)
15、題歸結(jié)為一次多項(xiàng)式擬合問(wèn)題， 故由 (3.3)知，相應(yīng)的法方程組形如 經(jīng)過(guò)計(jì)算（表3-1）即得確定待定系數(shù)a，b的法方程組 （4）解法方程(3.5)得 a=95.3524 , b=2.2337 代入(3.4)即得經(jīng)驗(yàn)公式 y=95.3524+2.2337x,(3.4),(3.5),(3.6),69,,,表 3-1,70,所得經(jīng)驗(yàn)公式能否較好地反映客觀規(guī)律,還需通過(guò)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn).由(3.6)式算出的函數(shù)值(稱(chēng)為擬合值) 與實(shí)際值有一定的偏差。由表3-2可以看出，偏差的平方和 ，其平方
16、根（稱(chēng)為均方誤差） 在一定程度上反映了所得經(jīng) 驗(yàn)公式的好壞。同時(shí)，由表3-2還可以看出，最大偏差 . 如果認(rèn)為這樣的誤差都允許的話，就可以用經(jīng)驗(yàn)公式(3.6)來(lái)計(jì)算含鋁量在36.987.5%之間的溶解度。否則，就要用改變函數(shù)類(lèi)型或者增加實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)等方法來(lái)建立新的經(jīng)驗(yàn)公式。 例 2 在某化學(xué)放應(yīng)里，測(cè)得生成物的濃度y%與時(shí)間t的數(shù)據(jù)表見(jiàn)表3-3， 是用最小二乘法建立t與y的經(jīng)驗(yàn)公式 。 解 將已知數(shù)據(jù)點(diǎn) 描述在坐標(biāo)紙上，見(jiàn)圖3-2。由圖3-2 及問(wèn)題的物理背景可以看出，擬合曲線 應(yīng)具下列特點(diǎn)：,,71,表 3-2,72,表 3-3,（
17、1） 曲線隨著t的增加而上升，但上升速度由快到慢。,,,y,,,,,,,10,5,0,4,8,12,t,16,圖 3-2,,,,,,,,,,,,,,,,,,73,（2）當(dāng)t=0時(shí)，反應(yīng)還未開(kāi)始，即y=0; 當(dāng) 時(shí)，y趨于某一常數(shù). 故曲線應(yīng)通過(guò)原點(diǎn)(或者當(dāng)t=0時(shí)以原點(diǎn)為極限點(diǎn))，且有一條水平 漸近線。 具有上述特點(diǎn)的曲線很多。選用不同的數(shù)學(xué)模型，可以獲得不同的擬合曲線與經(jīng)驗(yàn)公式。 下面提供兩種方案: 方案1: 設(shè)想 是雙曲線型的，并且具有下面的形式 (3.7) 此時(shí)，若直接按最小二乘法原則去
18、確定參數(shù)a和b , 則問(wèn)題 歸結(jié)為求二元函數(shù) 的極小點(diǎn)，這將導(dǎo)致求解非線性方程組:,(3.8),74,,給計(jì)算帶來(lái)了麻煩?？赏ㄟ^(guò)變量替換來(lái)將它轉(zhuǎn)化為關(guān)于待定參數(shù)的線.性形函數(shù)。為此，將(3.7)改寫(xiě)成 于是，若引入新變量 則(3.7)式就是,,75,同時(shí)，由題中所給數(shù)據(jù) 表3-3可以算出新的數(shù)據(jù)表表3-4這樣，問(wèn)題就歸結(jié)為： 根據(jù)數(shù)據(jù)表3-4，求形如 的最小二乘解. 參照例1的做法，解方程組,,,表 3-4,76,既得 a=80.6621, b=161.6822 代
19、入(3.7) ,既得經(jīng)驗(yàn)公式 (3.9) 方案2： 設(shè)想 具有指數(shù)形式 為了求參數(shù)a和b 時(shí)，避免求解一個(gè)非線形方程組，對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù) 此時(shí)，若引入新變量 并記A= lna,B=b,則上式就是,(3.10),77,又由數(shù) 表3-3可算出新的數(shù)據(jù)表3-5。 表 3-5 于是將問(wèn)題歸為：根據(jù)數(shù)據(jù)表3-5，求形如 的最小二乘解。 參照方案1，寫(xiě)出相應(yīng)的法方程組并解之，即得 A=-4.4807，B=-1.0567 于是,小結(jié),線形擬合 二次多項(xiàng)式擬合 指數(shù)曲線擬合 冪函數(shù)擬合 雙曲函數(shù)擬合,
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