《義務教育教科書 數學》五年級下冊教材介紹

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1、《義務教育教科書·數學》五年級下冊教材介紹 根據新頒布的《義務教育數學課程標準（2011 年版）》，并結合過去十幾年教師、學生及社會各界對教材提出 的意見和建議，我們對《義務教育課程標準實驗教科書數學》（以下簡稱實驗教材）進行了全面而系統(tǒng)的修訂，形 成了《義務教育教科書 數學》。這套教材于 2013 年 3 月全部通過國家基礎教育課程教材專家工作委員會的審查， 并已于 2012 年秋季開始陸續(xù)使用。2015 年上半年開始使用修訂后的下冊教材。 下面對五年級下冊教材內容及編排思路的主要變化進行簡要介紹。 本冊教材包括下面一些內容：觀察物體、因數與倍數、長方體和正方體、分數的意義和性質、

2、圖形的運動、分 數的加法和減法、折線統(tǒng)計圖、數學廣角和數學綜合與實踐活動等。其中因數與倍數、長方體和正方體、分數的意 義和性質、分數的加法和減法、折線統(tǒng)計圖等是本冊教材的重點教學內容。 和實驗教材相比，有三個單元的內容發(fā)生了較大的變化。一是新增了“觀察物體（三）”；二是“圖形的運動 （三）”將原來軸對稱和旋轉的內容分開，這里編排旋轉的變換；三是“折線統(tǒng)計圖”將單式折線統(tǒng)計圖和復式折 線統(tǒng)計圖合并起來編排，不再安排眾數的學習。此外，“因數與倍數”中概念的引入方式也進行了調整，綜合與實 踐活動也將原“粉刷墻壁”更換為新的“探索圖形”。 在具體編排上，為了更好地體現(xiàn)《義務教育數學課程標準（201

3、1 年版）》的理念，真正落實“四基”，發(fā)展“四 能”，我們在很多內容的編排上作出了一些新的嘗試與努力，以期促進學生在數學學習上獲得更全面的發(fā)展。如在 數學思想方法方面，教材除了結合因數與倍數、長方體和正方體、分數的意義和性質、圖形的運動、分數的加法和 減法、折線統(tǒng)計圖等知識，讓學生體會、理解和掌握歸納法、符號思想、分類思想、演繹推理思想、轉化思想、數 形結合思想、模型思想等思想方法外，還安排了“數學廣角”的教學內容，引導學生通過觀察、猜測、實驗、推理 等活動讓學生體會優(yōu)化、推理、模型和轉化的數學思想方法，體會解決問題策略的多樣性及運用優(yōu)化、轉化的方法 解決問題的有效性，感受數學的魅力。在用數學

4、解決問題方面，教材結合分數的加法和減法、長方體和正方體等多 個單元，教學用所學的知識解決生活中的簡單問題，掌握解決問題的方法和策略。 下面分單元具體說明。 一、觀察物體（三） 本單元是在學生經歷了從不同角度觀察實物和單個立體圖形以及幾何組合體的學習基礎上，進一步學習根據一 個或三個方向觀察到的圖形拼搭出相應的幾何組合體，培養(yǎng)學生的推理能力和空間觀念。是在原來習題的基礎上新 增的內容。 1．合理安排，優(yōu)化教材知識結構 根據兒童已有的經驗及心理發(fā)展規(guī)律，按從易到難、螺旋上升的編排原則，小學階段觀察物體分三個階段進行 編排。首先，幫助學生從直觀觀察立體圖形，頭腦中建立表象，能夠根據直觀立體

5、圖形進行想象；進而，分辨不同 方向觀察立體圖形得到的形狀圖；進一步，由建立的幾何直觀進行空間想象，通過逆向推理，根據觀察到的形狀圖 還原立體圖形。這樣按梯度編排，循序漸進地促進學生空間觀念的發(fā)展，提高學生空間想象能力。 另一方面，本單元的編排也是從易到難，首先例1 教學根據從一個方向看到的形狀圖進行還原，讓學生借助空 間想象力進行操作，初步經歷逆向思考的過程。接下來例2 教學根據從三個方向看到的形狀圖還原幾何組合體，利 用例 1 的經驗進行操作，進一步培養(yǎng)學生的空間想象力和推理能力。 2．注重動手實踐與自主探索，促進學生空間觀念的發(fā)展 學生在具體的數學活動中，動腦、動手、動口，多種感官協(xié)

6、調活動，這樣的數學活動有利于學生在相互交流中 從多角度去感悟，強化感知和思維，豐富自己的活動經驗。本單元的編排，特別注重學生的動手操作和自主探索。 由觀察到的形狀圖（平面圖形）還原幾何組合體（立體圖形）的過程，需要將抽象的空間想象具體化，這就必然要 讓學生通過動手操作，借助建立的直觀表象進行推理，在拼擺小正方體的活動中不斷驗證、加以完善，探索出拼搭 的方法。在操作、想象、推理和交流中促進空間觀念的發(fā)展。 教學例 1，在操作探索中要注意及時引導學生交流，分享經驗，充分經歷“猜”“搭”“辯”“想”“賞”的 過程，積累活動經驗，更好地完成后面的探索。教學例2，應允許學生有不同的操作思路。一種是借助

7、例1 的經驗， 先根據一個方向看到的擺，然后再根據其他兩個方向不斷的調整；一種是借助表象嘗試擺出一個立體圖性，再驗證 和調整。并且，三個方向選擇的順序沒有規(guī)定，學生可以自主探索，通過交流體會最終的擺法。 需要說明的是，本單元所有要擺的立體圖性都是組合的小正方體，它們中間是沒有分開的，并且都是邊和邊的 拼擺，不涉及錯開的情形。教學時，如果學生出現(xiàn)分開擺放的情況，可適當說明。另外，根據三個方向看到的形狀 圖還原，有時候擺法也不是唯一的。 二、因數與倍數 本單元學生開始學習初等數論的知識，主要變化有：因數和倍數的概念改由整數除法算式引出；將 2、5 的倍 數特征合并在一起進行教學，從

8、2、5 的倍數的特征到 3 的倍數的特征，再到質數和合數，用百數表貫穿始終；增 加用數的特征解決問題的例題。 在小學階段，有關因數與倍數的知識是傳統(tǒng)的教學內容，它既是小學生應該掌握的重要的基礎知識，又是發(fā)展 小學生邏輯思維的良好素材。但這部分內容概念集中，比較抽象，概念之間的聯(lián)系緊密，學生理解起來比較困難。 并且以往的編排，聯(lián)系實際的素材不多，學習過程顯得比較枯燥。因此，這部分內容向來是小學數學教學的難點。 這次因數與倍數的編排除了保留原實驗教材的主要特點外，還進行了一些改進。 1．精簡理論概念，改進因數、倍數概念的呈現(xiàn)方式 首先是精簡了整除的概念。從數學的角度看，在數論中，起始概念

9、之一就是整除。一般地，對于任意整數 a、b， 都存在整數 n、r，使 a＝nb＋r（其中 r＜b），當 r＝0 時，我們就說 a 能被 b 整除（或 b 能整除 a），a 是 b 的倍 數，b 是 a 的因數?？梢姡c倍數、因數，是同一數學事實的兩種不同說法，是等價的。從學生角度看，他們 已經積累了大量的區(qū)分整除與有余數除法的知識經驗，對整除的含義有比較清楚的認識，但對使用“誰能被誰整除” “誰能整除誰”的敘述方式卻很不適應，容易說錯。因此，不出現(xiàn)整除的概念，會使教師感到有些習慣說法要改口， 對學生學習并不會產生實質性的影響。 教材不再出現(xiàn)整除的概念，但因數和

10、倍數的概念改由整數除法算式引出。雖然 a＝nb＋r（r＜b），與a÷b＝n…… r 的表示形式是等價的。但對于學生來說，采用乘法的表示形式，容易產生誤解，以為因數、倍數是針對整數乘法 來說的。比較而言，采用除法的表示形式，更便于他們感知因數與倍數的本質意義，領悟到這兩個概念反映了整數 除法中余數為 0 的情況，有利于避免誤解。同時為后面找一個數的因數和倍數作準備。 我們知道，概念的教學需要讓學生經歷由具體到一般的抽象概括過程。例如，因數與倍數的概念的建立，首先 是觀察一批除法算式，找出它們的異同，然后在分類的基礎上，抽象概括出其中一類具有“商是整數而沒有余數” 的共同屬性。又如，通過一些具體

11、的例子，總結出任何一個數的倍數個數都是無限的等規(guī)律性的認識。這些過程， 對于學生逐步形成抽象概括與歸納推理能力，都是非常有益的。 其次是精簡了分解質因數、互質數等概念。在以往的教材中，求最大公因數、最小公倍數唯一的固定方法就是 用短除法分解質因數，因此，分解質因數的概念與短除法以及互質數的概念，一直是必學內容。考慮到學習求最大 公因數、最小公倍數主要用于約分、通分，事實上，學生在約分、通分時，實際采用口算，幾乎不用短除法。所以， 允許學生采用多樣的方法求最大公因數和最小公倍數之后，分解質因數就失去了其不可或缺的作用。為了減少這一 單元的理論概念，把分解質因數等內容作為補

12、充知識，安排在“你知道嗎？”中進行介紹，顯然是合理的。 再次是將公因數、最大公因數和公倍數、最小公倍數等內容移后，與約分、通分編排在一起。在以往的教材中， 有關“數的整除”的概念集中在一個單元內學習，雖然有利于凸顯相關概念之間緊密的邏輯關系，但也形成了同一 單元概念過多、抽象程度過高的現(xiàn)象，學生在學習時經常出現(xiàn)概念混淆、理解困難的問題。實踐表明，將其分開編 排，能夠分散難點，減少教與學的困難，而且也有利于突出知識的應用性。因為約分需要盡快找出分子、分母的公 因數，通分需要盡快找出兩個分數分母的公倍數，現(xiàn)在的編排，學了就用，便于鞏固，有利于提高教學的有效性。

13、 2．充分利用百數表，留給學生更大的探索空間 教材將 2、5 的倍數特征合并在一起進行教學，從 2、5 的倍數的特征到 3 的倍數的特征，再到質數和合數， 用百數表貫穿始終，讓學生在經歷對整數特征探究的過程中能更好地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解概念。 編排探究 2、5 和 3 的倍數的特征時，教材一概采用百數表，由學生自己圈數，自己生成觀察材料，同時減少 提示，以放大學生的探究空間。這就有利于學生獲得更為豐富的數學探究活動經驗。我們知道，2、5 的倍數特征 僅僅體現(xiàn)在個位數上，比較明顯，容易理解，而 3 的倍數的特征，只看個位數來判定恰恰成了“陷阱”。怎樣才能 使學生想到轉變

14、思路，從只看個位數轉向考察各位上的數相加的和？教材通過學生對話的插圖，在思維的轉折處設 問，并針對改變觀察角度提出問題，力求“提示”與“留白”恰到好處。教學中可以讓學生在學習過程中獲得“山 窮水盡”與“柳暗花明”的探究體驗。 3．增加了用數的特征解決問題 教材新增了研究兩數之和的奇偶性的純數學問題，讓學生經歷對整數特征探索的過程，特別是合情推理的探索 過程，滲透研究數學的科學方法。同時在探究過程中獲得數學活動的經驗，豐富解決問題的策略。 根據奇數、偶數相加的三種情況，教材提出了三個問題。讓學生經歷解決問題的全過程：首先，利用算式表征 問題理解題意；接下來，通過舉例、說理、圖示獲

15、取結論；最后，通過舉例加以驗證。事實上，舉例、說理、圖示 三種方法結合使用，可以提高結論的可靠性，增強學生對結論的理解與確信感。 教學中注意讓學生經歷探究、發(fā)現(xiàn)、總結的完整過程。本單元2、5、3 的倍數特征，100 以內的質數表，以及 兩數之和的奇偶性等，都是比較典型的適合小學生開展探究學習的課題。教學時，應放手讓學生嘗試，讓他們經歷 從舉例考察到分析綜合，從猜想到驗證，最后歸納總結的過程，從中積累數學活動的經驗。 三、長方體和正方體 長方體、正方體作為最基本的立體圖形，是學生從二維空間轉向三維空間學習的起始。通過學習，學生能形成 關于立體圖形研究的基本思路，并遷移應用到以

16、后的立體圖形學習中。具體編排上有以下特點。 1．通過觀察、操作、推理等方式，讓學生經歷知識的形成過程 本單元的概念、特征、計算方法等新知的學習，力圖讓學生通過觀察、操作、推理等自主探索獲得。如，長方 體、正方體的認識，教材通過觀察長方體物品、制作長方體框架，討論得出關于“面、棱、頂點”的特征；體積計 算方法的學習，通過用體積為 1cm3 的正方體擺成不同的長方體，填表觀察這一任務，結合長方體體積的意義，探索 發(fā)現(xiàn)長方體體積與長、寬、高之間的關系，從而總結出長方體體積的計算公式；體積單位間的進率的學習，讓學生 用不同的方法表達棱長 1dm 的正方體體積是多少，推理得出

17、1dm3 與 1000 cm3 之間的相等關系。 教學中注意加強學生對基本概念的理解，像表面積的概念、體積的概念，因為這是學習長方體、正方體的表面 積計算公式和體積計算公式的核心與基礎。例如，學生在理解表面積的概念后，就能自主探究表面積的計算方法。 可以是六個面相加，也可以根據長方體的特征，求出其中一組三個面的面積再乘 2。從而引導學生理解“（ab+ah+bh） ×2”這一公式，不僅僅是乘法分配律的運用，而是圖形特征的具體應用。同樣，在明確體積的概念基礎上，通過 小正方體擺出不同形狀的長方體，觀察、猜測、歸納、推理出長方體的計算公式。運用“每排個數、排數、層數” 來解釋體積計算公式的

18、算理，獲得對求積公式“長×寬×高”的意義理解，使學生知其然，并知其所以然。 同時，教學中要注意為學生今后的學習作好鋪墊。如，長方體、正方體的體積、表面積計算教學，可以為圓柱 的體積與表面積計算作適當的鋪墊。教材將長方體、正方體體積公式溝通為“底面積×高”，就為圓柱的體積計算 作了很好的蘊伏，還能廣泛遷移于一般的柱體體積計算中。表面積的計算，除掌握基本公式之外，可以引導學生發(fā) 現(xiàn)，也可用“側面積+底面積”的方法來計算，而側面積可以用“底面周長×高”來計算，這樣，就為后面學習圓 柱的表面積計算作好了方法溝通的準備。 2．重視空間觀念的培養(yǎng) 教材加強了空間觀念培養(yǎng)的力度，安排了一些將三

19、維轉換為二維、由立體圖想象展開圖、由立體圖想象實物的 練習。這些對于發(fā)展學生的空間觀念都是十分有利的。同時，本單元常用的體積單位、容積單位的教學，不僅要讓 學生理解單位的意義，更要關注實際大小表象的建立，讓學生建立 1 cm3、1 dm3、1 m3、1 L、1 mL 等具體單 位的實際大小觀念。 教學中，可以通過活動來加強體驗。如，容積與容積單位的教學，可以通過將一瓶礦泉水倒在紙杯中，看看可 以倒?jié)M幾杯，估計幾杯水大約是 1L 等活動，體驗 500 mL、200 mL、100 mL、1 L 的液體大約有多少，建立起 實際的觀念和表象。 綜合與實踐：探索圖形 在認識長方體和正方體后，教材新

20、編了“探索圖形”的綜合與實踐活動。目的是讓學生運用所學過的正方體的 特征等知識，探索由小正方體拼成的大正方體中各種涂色小正方體的數量，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的數量上的規(guī)律，以及每 種涂色小正方體的位置特征，培養(yǎng)學生的空間想象力和推理能力，體會分類計數的思想。 探索圖形分類計數問題中的規(guī)律，重在探索而不是規(guī)律的應用。教學中，要讓學生體會化繁為簡的策略，通過 觀察、想象和推理逐步找出簡單情形中每種涂色小正方體的數量，在交流中體會、概括其中蘊含的位置特征和數量 規(guī)律。從具體到抽象，從特殊到一般，在逐步深入的探討過程中，引導學生把握問題的共性，從而得到一般性的結 論，并鼓勵學生用數學語言和模型正確地表達發(fā)現(xiàn)的

21、規(guī)律。使學生學會探索規(guī)律的方法，積累數學活動經驗，感悟 數學思想方法。 四、分數的意義和性質 從本學期開始，學生將要系統(tǒng)地學習分數的意義和性質、分數的四則運算。本套教材仍然采用了原實驗教材的 編排體系，同時，對部分內容作了適當的精簡處理或編排調整。 其一，真分數和假分數的認識，突出了單位“1”，將原教材的例 2（假分數）和例 3（帶分數）整合，很好地 溝通了假分數和整數、帶分數的關系，為教學例3 把假分數化成整數或帶分數作了鋪墊，同時加強了對化法的道理 的理解。 其二，最大公約數、最小公倍數先給出概念和求法，再應用到解決問題中。原來將解決問題與概念引入結合在 一

22、起，學生理解起來難度較大，所以，教材先給出最大公約數、最小公倍數概念，突出概念的本質，然后探索它們 的求法，最后在解決問題的應用中體會它們的現(xiàn)實意義，加深對概念的理解。 教學中注意揭示知識之間的內在聯(lián)系，在理解的基礎上掌握數學方法。如，約分與通分、假分數化為帶分數或 整數、分數與小數的互化的方法，都是必須掌握的。這些方法看似頭緒較多，但通過揭示相關知識與方法的聯(lián)系， 就比較容易在理解的基礎上掌握。以約分與通分為例，它們都是分數基本性質的應用。盡管約分時分子、分母同除 以一個適當的數，通分時分子、分母同乘一個適當的數，但它們都是依據分數的基本性質，使分數的大小保持不變。

23、 因此，教學時應凸顯得出方法的過程，使學生明白操作方法背后的道理。這樣就能在理解的基礎上掌握方法，而不 是依賴記憶進行機械的操作。 五、圖形的運動（三） 前面的學習中，學生初步感知了生活中的對稱、平移和旋轉現(xiàn)象。本單元是在此基礎上的進一步擴展和提高， 讓學生進一步認識圖形的旋轉，探索圖形旋轉的特征和性質，學習在方格紙上畫出一個簡單圖形旋轉 90°后的圖形， 發(fā)展空間觀念。具體編排有以下特點和變化： 1．將旋轉的認識分為兩個層次編排 一是，特征的認識。例 1 為線段的旋轉；例 2 為圖形的旋轉。例 2 讓學生在方格紙上旋轉直角三角尺（30°和 60°的），通過實物操作直

24、觀感受圖形順時針旋轉的特征，并留給學生發(fā)現(xiàn)、探索的空間。二是，特征的應用。例 3 教學畫出簡單圖形旋轉 90°后的圖形，比原實驗教材降低了難度，一方面，有例 2 作為例 3 的鋪墊；另一方面， 三角形的兩條直角邊都在方格紙的縱線、橫線上，旋轉中心為直角所在的頂點。 從整體上看，整個小學階段都只是初步認識圖形的運動，也就是積累感性認識，形成初步表象，其外顯的表現(xiàn) 就是“能識別”“會畫圖”。離定性地認識、定量地研究還有一定距離。因此，學習的主要方式是結合實例，通過 觀察與動手操作，如動手操作、畫圖等活動來進行。而且還規(guī)定了畫圖的行為條件“在方格紙上”，為學生提供了 參照系，自然也是降低了學習的難

25、度。 2．新增“解決問題”的內容 教材安排例 4，讓學生借助方格紙上的七巧板，通過在方格紙上平移、旋轉各塊板，拼出給定大輪廓的圖形。 使學生運用所學的圖形運動的知識，解決簡單的對圖形進行分割、組合、變換的問題，培養(yǎng)學生分析問題、解決問 題的能力，同時培養(yǎng)學生的空間觀念。 六、分數的加法和減法 分數的加法和減法是數學運算的重要基礎知識之一。本單元的變化主要有：一是，同一例題中同時展開分數加 法和減法的教學。無論是同分母分數加減法，還是異分母分數加、減法，教材都只安排了一個例題。這樣有利于對 分數加、減法含義的理解，同時提高計算教學的有效性。二是，同分母分數的連加、連減運算不再單獨安排例題

26、， 而是在練習中讓學生自主探索完成。三是，加強對算理的概括總結。四是，新增解決問題的內容，通過數形結合的 畫圖方法分析數量關系、解決問題。 根據分數加、減法的含義和分數的基本性質，概括出具有一般性的計算方法，既是計算教學的一個重要任務， 也是數學自身發(fā)展的需要。教材引導學生在自主探究中逐步概括出分數加、減法的計算方法。如，同分母分數的加、 減法，引導學生通過交流，用一句話概括計算法則；異分母分數的加、減法則在學生討論的基礎上，以文字形式對 計算法則進行總結和概括。 事實上，表述準確、規(guī)范、精煉的法則，有利于學生準確把握計算法則的內涵，掌握計算方法。教學中要注意 結

27、合圖示讓學生明白：計算同分母分數加、減法時，“分母不變”是因為分母相同，也就是分數單位相同，所以只 用分子相加、減就可；計算異分母分數加、減法時，只要將異分母分數轉化為同分母分數，也就是轉化為相同的分 數單位就可以了。這樣，在理解算理的基礎上掌握算法，避免機械、單純的記憶法則的弊端。 綜合與實踐活動“打電話”和原來的編排沒有太多變化。 七、折線統(tǒng)計圖 根據《義務教育數學課程標準（2011 年版）》的要求，小學階段不再學習眾數的知識。本套教材把單式折線 統(tǒng)計圖和復式折線統(tǒng)計圖整合在一起進行編排和教學，加強知識之間的聯(lián)系，提高課堂教學效率。具體編排有以下 特點: 1

28、．以豐富的生活素材為基礎，在學習中體現(xiàn)統(tǒng)計的價值 教材所采用的素材注重兩個方面：一是貼近學生生活，更加反映社會發(fā)展；二是突出了使用折線統(tǒng)計圖的必要 性，以及折線統(tǒng)計圖的特征和優(yōu)勢。如：中國青少年機器人大賽參賽隊伍數量的變化、兒童身高的變化、近 10 年 上海的出生人口數和死亡人口數的變化、農村居民年收入情況、某地月平均氣溫變化情況等。讓學生體會到統(tǒng)計與 我們的生活是緊密相連的，折線統(tǒng)計圖能更清楚地反映出數據的增減變化。 教學時讓學生感悟體會這一特點，并從中引發(fā)思考，認識折線統(tǒng)計圖反映的現(xiàn)實意義，學會根據數據的變化合 理地進行預測，增強數據分析觀念。 2．加強新

29、舊知識之間的銜接和對比 前面學生已經認識了單式、復式條形統(tǒng)計圖。因此，教材在編排本單元內容時，通過與先前統(tǒng)計知識的聯(lián)系， 學習單式、復式折線統(tǒng)計圖。這樣既有助于加深對前面所學知識的理解，也便于對新知識的領悟和掌握。 教學時，可充分利用學生已有的知識經驗，以知識遷移的方式建立新舊知識之間的聯(lián)系，通過與所學知識的對 比，體會折線統(tǒng)計圖的特征和適用范圍。如，教學單式折線統(tǒng)計圖時可以通過條形統(tǒng)計圖導入，在對比中感悟折線 統(tǒng)計圖的特點；教學復式折線統(tǒng)計圖時，可先用單式折線統(tǒng)計圖分別表示兩組數據，讓學生體會到，單式折線統(tǒng)計 圖可以清楚地反映出一組數據的增減變化，但在對兩組數據

30、進行比較時就不方便了，由此引出復式折線統(tǒng)計圖。從 而使學生深切體會到折線統(tǒng)計圖的特點和優(yōu)勢，加深對復式折線統(tǒng)計圖的認識。 3．經歷統(tǒng)計的全過程，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題及進行合理推測的能力 例 2 的編排突出了解決問題的完整過程，讓學生經歷統(tǒng)計的全過程：抽樣—調查—整理、描述數據—分析數 據—判斷、預測。學習繪制統(tǒng)計圖之后，一方面，根據統(tǒng)計圖解決有關問題，為學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題及解決問 題提供了較大的空間。另一方面，讓學生感悟由于數據變化帶來的啟示，并能合理地進行推理與判斷，提高數據分 析能力。 教學時，教師應創(chuàng)造盡可能多的機會讓學生親自從事簡單的統(tǒng)計活動，如

31、調查同學們的視力情況、喜歡看的科 普讀物、所穿鞋子的號碼、零花錢的使用情況等。讓學生經歷簡單的收集、整理、描述和分析數據的過程，鼓勵他 們能根據數據的變化合理地進行預測，增強數據分析觀念。 八、數學廣角──找次品 本單元以“找次品”這一探索性操作活動為載體，讓學生通過觀察、猜測、試驗等方式探索解決問題的策略。 同時，進一步理解隨機事件，感受解決問題策略的多樣性和優(yōu)化思想，培養(yǎng)觀察、分析、邏輯推理的能力，并學習 如何用直觀的方式清晰、簡潔、有條理地表示邏輯推理過程。具體編排上，重點突出以下幾點: 1．讓學生充分經歷“比較—猜想—驗證”的過程，尋求找次品的方法 “找次

32、品”問題是一類經典的數學問題。教材選擇了比較簡單的一類作為例題，即：有n 個從外表看完全相同 的零件，其中一個是次品，次品比合格品重（或輕）一些。假如用沒有砝碼的天平稱，最少稱幾次就能保證找出這 個次品？對于這一問題，一般性的解決方法是“把這 n 個零件盡可能平均分成 3 份”。這是由天平的特點決定的， 因為天平有兩個托盤，所以次品的位置無外乎三個地方，即兩個托盤上、天平外，天平稱一次就能確定出次品在三 個位置中的哪一個。而要使稱量的次數最少，每次稱量后，就應把次品確定在更小的范圍內。要做到這一點，就應 使三個地方的零件個數盡量同樣多。 為了讓學生理解“盡可能地將

33、待測物品平均分成 3 份”的合理性，我們也特意對教材進行了改編。例1 由原來 的 5 個物品，改為 3 個物品。讓學生初步認識找次品問題的含義，明確找次品的基本方法。特別是，讓學生初步體 會到：天平稱一次，可以判斷出次品在兩個托盤或者天平外中的一個。也就是說，通過推理，可以將次品確定在這 三份中的一份中。這就為分三份提供了直觀的經驗，為后面的探索作準備。 例 2 將由探索 9 個零件，改為先探討 8 個，再研究 9 個零件。從 8 個零件中找次品，學生一般會很自然地想 到平均分成 2 份（4，4），但會發(fā)現(xiàn)這不是稱得最少的次數，分成 3 份（3，3，2）的方法才是稱得最

34、少的次數。 而從 9 個中找次品，受天平平衡的暗示，學生會自然想到（4，4，1）和（3，3，3）的分法。通過對比，學生會 感受到分成 3 份的情況中平均分的方法稱的次數最少。如果不能平均分呢？回過頭再去研究 8 個的最少次數，會發(fā) 現(xiàn)盡可能的平均分可以使稱的次數最少。最后將此規(guī)律應用到 10 個、11 個零件加以驗證。這樣層層遞進，逐漸感 知理解到稱的次數最少的方法的特點，總結出找次品的最優(yōu)策略：一是把待測物品分成 3 份；二是盡量平均分。 當然，教學可以在教材提供的基本教學思路的前提下，進行一些調整。如，可以從 2 個開始，再重點探究 3、 8、9 個的情

35、形。也可以從 3 個開始，再以小組為單位分工合作研究 4～9 個的情形。通過討論、交流，分析、總結 出最優(yōu)的方法。 2．突出數學思維過程的表達 “找次品”問題中的天平并不是一架實物天平，而是一種抽象的數學化形式的天平。因為一旦拿一架實物天平 進行實驗，就不會出現(xiàn)“假如平衡……”“假如不平衡……”的情況，而只會出現(xiàn)其中一種，要么平衡，要么不平衡。 在解決問題的過程中，實際上是用頭腦中建立的天平表象，反復地進行“如果平衡，那么……”“如果不平衡，那 么……”的邏輯推理的過程。那么如何清晰、有條理地將這一過程表示出來呢？最為直接的是口頭表述。但當物品 總量比較

36、多時，步驟相應增加，很容易表述不清。當然也可以采用文字表述的方式，但由于前后步驟之間的層層套 迭關系，表述起來也顯得冗長且繁瑣。而使用直觀圖或流程圖，配以相應的文字說明，可以比較簡潔而又清晰地表 示出邏輯推理的整個過程，讓人一目了然。因此教材從例題到習題，不斷引導學生學習用符號、文字，直觀、簡潔 地表示思維過程，使學生在潛移默化中學會數學地表達，有意識地培養(yǎng)思維的條理性、邏輯性和準確性。 因此，教學中要有意識地引導學生嘗試用畫直觀圖、流程圖，并配以文字說明的方式表示邏輯推理的過程，使 學生逐步學會用數學化的方式表達思維過程。當然，在表示思路時，可以是例題中的直觀圖，可以是流程圖，還可 以樹形直觀圖等。不管學生使用哪種表示方式，最重要的是要把各種可能性都考慮到。 與前面各冊教材一致，本冊教材為了使學生獲得結構化、系統(tǒng)化的知識，繼續(xù)引導學生加強對知識的整理，同 時關注學生在學習之后的自我反思和評價，促進學生的主動思考和自我提升。