華師大八年級上《第14章勾股定理》單元測試解析

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1、word 版 數(shù)學(xué) 第 14 章 勾股定理 一、選擇題（共 13 小題） 1．如圖，點 E 在正方形 ABCD 內(nèi)，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（ ） A．48 B．60 C．76 D．80 2．如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學(xué)問題是 （ ） A．黃金分割 B．垂徑定理 C．勾股定理 D．正弦定理 3．如圖，△ABC 中，D 為 AB 中點，E 在 AC 上，且 BE⊥AC．若 DE=10，AE=16，則 BE 的長度為何？ （ ） A．10 B．11

2、 C．12 D．13 4．下列四組線段中，能組成直角三角形的是（ ） A．a(chǎn)=1，b=2，c=3 B．a(chǎn)=2，b=3，c=4 C．a(chǎn)=2，b=4，c=5 D．a(chǎn)=3，b=4，c=5 5．下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（ ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1， ， 6．一直角三角形的兩邊長分別為 3 和 4．則第三邊的長為（ ） 1 / 20 word 版 數(shù)學(xué) A．5 B． C． D．5 或 7．設(shè) a、b 是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為 6，斜邊長為 2.5，則 ab 的值是（ ） A

3、．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．如圖，若∠A=60°，AC=20m，則 BC 大約是（結(jié)果精確到 0.1m） （ ） A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 9．如圖，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，點 M、N 分別在邊 AD、BC 上，連接 BM、DN．若四邊形 MBND 是 菱形，則  等于（ ） A． B． C． D． 10．如圖，正六邊形 ABCDEF 中，AB=2，點 P 是 ED 的中點，連接 AP，則 AP 的長為（ ） A．2 B ．4 C． D． 11．如果一個直角三

4、角形的兩條邊長分別是 6 和 8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ） A．只有 1 個 B．可以有 2 個 C．有 2 個以上，但有限 D．有無數(shù)個 12．在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，且 AC=1．過點 C 作直線 l∥AB，P 為直線 l 上一點，且 AP=AB．則 點 P 到 BC 所在直線的距離是（ ） A．1 B．1 或 C．1 或 D． 2 / 20  或 word 版 數(shù)學(xué) 13．如圖，四邊形 ABCD 中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°

5、，BC=6，那么△ACD 的面積 是（ ） A． B． C．2 D ． 二、填空題（共 15 小題） 14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點 A，B 的坐標(biāo)分別為（﹣6，0）、（0，8）．以點 A 為圓心，以 AB 長為半徑畫弧，交 x 正半軸于點 C，則點 C 的坐標(biāo)為 ． 15．在 Rt△ABC 中，CA=CB，AB=9 ，點 D 在 BC 邊上，連接 AD，若 tan∠CAD= ，則 BD 的長為 ． 16．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如 圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三

6、角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、 正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面積分別為 S 、S 、S ．若正方形 EFGH 的邊長為 2，則 S +S +S = ． 1 2 3 1 2 3 17．如圖是“趙爽弦圖”，ABH BCG △CDF 和△DAE 是四個全等的直角三角形，四邊形 ABCD 和 EFGH 都是正方形．如果 AB=10，EF=2，那么 AH 等于 ． 3 / 20 word 版 數(shù)學(xué) 18．如圖，在△ABC 中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則 AE= ． 19．如圖是一株美麗的勾股樹，

7、其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若 正方形 A、B、C、D 的面積分別為 2，5，1，2．則最大的正方形 E 的面積是 ． 20．在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，則邊 AC 的長為 ． 21．如圖，矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中點，矩形 ABCD 的周長是 20cm，AE=5cm，則 AB 的長為 cm． 22．如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu) 成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為 1：13，則直角三角形較短的直角邊 a 與較長 的直角邊 b 的比值為

8、． 4 / 20 word 版 數(shù)學(xué) 第 14 章 勾股定理 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 13 小題） 1．如圖，點 E 在正方形 ABCD 內(nèi)，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（ ） A．48 B．60 C．76 D．80 【考點】勾股定理；正方形的性質(zhì)． 【分析】由已知得△ABE 為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長AB，用 S  陰影部分  =S  ﹣S 正方形 ABCD  △ABE 求面積． 【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=

9、6，BE=8， ∴在 ABE 中，AB  2=AE2  +BE2  =100， ∴S  =S 陰影部分  正方形 ABCD  ， ABE =AB  2  ﹣ ×AE×BE =100﹣ ×6×8 =76． 故選：C． 【點評】本題考查了勾股定理的運用，正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是判 ABE 為直角三角形，運用勾股 定理及面積公式求解． 2．如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學(xué)問題是 （ ） 5 / 20 word 版 數(shù)學(xué)

10、 A．黃金分割 B．垂徑定理 C．勾股定理 D．正弦定理 【考點】勾股定理的證明． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解決了勾股定理的證明． 【解答】解：“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解決的問題是：勾股定理． 故選：C． 【點評】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理證明的方法最常用的思路是利用面積證明． 3．如圖，△ABC 中，D 為 AB 中點，E 在 AC 上，且 BE⊥AC．若 DE=10，AE=16，則 BE 的長度為何？ （ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【考

11、點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線． 【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)可求出AB 的長，再根據(jù)勾股 定理即可求出 BE 的長． 【解答】解：∵BE⊥AC， ∴△AEB 是直角三角形， ∵D 為 AB 中點，DE=10， ∴AB=20， ∵AE=16， ∴BE= =12， 6 / 20 word 版 數(shù)學(xué) 故選 C． 【點評】本題考查了勾股定理的運用、直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊 的一半，題目的綜合性很好，難度不大． 4．下列四組線段中，能組成直角三角形的是

12、（ ） A．a(chǎn)=1，b=2，c=3 B．a(chǎn)=2，b=3，c=4 C．a(chǎn)=2，b=4，c=5 D．a(chǎn)=3，b=4，c=5 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵1  2+22  =5≠3  2  ，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤； B、∵22+32=13≠42，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤； C、∵22+42=20≠52，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤； D、∵32+42  =25=52，∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項正確． 故

13、選 D． 【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c 滿足 a2+b2=c2，那么這 個三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 5．下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（ ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，  ， 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形 是直角三角形判定則可． 【解答】解：A、1  2  +2  2≠32，不能組成直角三角形，故錯誤； B、22+32≠42，不能組

14、成直角三角形，故錯誤； C、42+52≠62，不能組成直角三角形，故錯誤； D、1  2  +（  ）  2  =（ ）2  ，能夠組成直角三角形，故正確． 故選 D． 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小 關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷． 6．一直角三角形的兩邊長分別為 3 和 4．則第三邊的長為（ ） 7 / 20 word 版 A．5 B． C． D．5 或 【考點】勾股定理．

15、 【專題】分類討論． 【分析】本題中沒有指明哪個是直角邊哪個是斜邊，故應(yīng)該分情況進行分析． 【解答】解：（1）當(dāng)兩邊均為直角邊時，由勾股定理得，第三邊為 5， 數(shù)學(xué) （2）當(dāng) 4 為斜邊時，由勾股定理得，第三邊為  ， 故選：D． 【點評】題主要考查學(xué)生對勾股定理的運用，注意分情況進行分析． 7．（2013 德宏州）設(shè) a、b 是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為 6，斜邊長為 2.5， 則 ab 的值是（ ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【考點】勾股定理． 【專題】壓軸題． 【分析】由該三角形

16、的周長為 6，斜邊長為 2.5 可知 a+b+2.5=6，再根據(jù)勾股定理和完全平方公式即 可求出 ab 的值． 【解答】解：∵三角形的周長為 6，斜邊長為 2.5， ∴a+b+2.5=6， ∴a+b=3.5，① ∵a、b 是直角三角形的兩條直角邊， ∴a  2  +b2  =2.52，② 由①②可得 ab=3， 故選 D． 【點評】本題考查了勾股定理和三角形的周長以及完全平方公式的運用． 8．如圖，若∠A=60°，AC=20m，則 BC 大約是（結(jié)果精確到 0.1m） （ ） 8 / 20 wo

17、rd 版 數(shù)學(xué) A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 【考點】勾股定理；含 30 度角的直角三角形． 【分析】首先計算出∠B 的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得 AB=40m，再利用勾股定理計算出 BC 長即可． 【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°， ∴∠B=30°， ∴AB=2AC， ∵AC=20m， ∴AB=40m， ∴BC=  = = =20 ≈34.6（m）， 故選：B． 【點評】此題主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角

18、 所對的直角邊等于斜邊的一半．在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊 長的平方． 9．如圖，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，點 M、N 分別在邊 AD、BC 上，連接 BM、DN．若四邊形 MBND 是 菱形，則  等于（ ） A． B． C． D． 【考點】勾股定理；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【分析】首先由菱形的四條邊都相等與矩形的四個角是直角，即可得到直 ABM 中三邊的關(guān)系． 【解答】解：∵四邊形 MBND 是菱形， 9 / 20 word 版 數(shù)學(xué) ∴MD=MB． ∵四邊形 ABCD

19、 是矩形， ∴∠A=90°． 設(shè) AB=x，AM=y，則 MB=2x﹣y，（x、y 均為正數(shù)）． 在 ABM 中，AB2+AM2=BM2，即 x2+y2=（2x﹣y）2， 解得 x= y， ∴MD=MB=2x﹣y= y， ∴ = = ． 故選：C． 【點評】此題考查了菱形與矩形的性質(zhì)，以及直角三角形中的勾股定理．解此題的關(guān)鍵是注意數(shù)形 結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 10．如圖，正六邊形 ABCDEF 中，AB=2，點 P 是 ED 的中點，連接 AP，則 AP 的長為（ ） A．2 B ．4 C． D． 【考點】勾股定理．

20、 【分析】連接 AE，求出正六邊形的∠F=120°，再求出∠AEF=∠EAF=30°，然后求出∠AEP=90°并 求出 AE 的長，再求出 PE 的長，最后在 Rt△AEP 中，利用勾股定理列式進行計算即可得解． 【解答】解：如圖，連接 AE， 在正六邊形中，∠F= ×（6﹣2） 180°=120°， ∵AF=EF， ∴∠AEF=∠EAF= （180°﹣120°）=30°， ∴∠AEP=120°﹣30°=90°， AE=2×2cos30°=2×2× =2 ， 10 / 20 word 版 ∵點 P 是 ED 的中點， ∴EP= ×2=

21、1， 數(shù)學(xué) 在 AEP 中，AP= 故選：C．  = = ． 【點評】本題考查了勾股定理，正六邊形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直 角三角形是解題的關(guān)鍵． 11．如果一個直角三角形的兩條邊長分別是 6 和 8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ） A．只有 1 個 B．可以有 2 個 C．有 2 個以上，但有限 D．有無數(shù)個 【考點】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】分類討論． 【分析】兩條邊長分別是 6 和 8 的直角三角形有兩種可能，即已知邊均為直角

22、邊或者 8 為斜邊，運 用勾股定理分別求出第三邊后，和另外三角形構(gòu)成相似三角形，利用對應(yīng)邊成比例即可解答． 【解答】解：根據(jù)題意，兩條邊長分別是6 和 8 的直角三角形有兩種可能，一種是 6 和 8 為直角邊， 那么根據(jù)勾股定理可知斜邊為 10；另一種可能是 6 是直角邊，而 8 是斜邊，那么根據(jù)勾股定理可知 另一條直角邊為 ． 所以另一個與它相似的直角三角形也有兩種可能， 第一種是 第二種是  ，解得 x=5； ，解得 x= ．所以可以有 2 個． 故選：B． 【點評】本題考查了勾股定理和三角形相似的有關(guān)知識．本題學(xué)生常常漏

23、掉第二種情況，是一道易 錯題． 11 / 20 word 版 數(shù)學(xué) 12．在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，且 AC=1．過點 C 作直線 l∥AB，P 為直線 l 上一點，且 AP=AB．則 點 P 到 BC 所在直線的距離是（ ） A．1 B．1 或 C．1 或 D．  或 【考點】勾股定理；平行線之間的距離；等腰直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】如圖，延長 AC，做 PD⊥BC 交點為 D，PE⊥AC，交點為 E，可得四邊形 CDPE 是正方形，則 CD=DP=PE=EC；等腰 Rt△ABC 中，∠C

24、=90°，AC=1，所以，可求出 BC=1，AB= 在直角△AEP 中，可運用勾股定理求得 DP 的長即為點 P 到 BC 的距離． 【解答】解：①如圖，延長 AC，做 PD⊥BC 交點為 D，PE⊥AC，交點為 E， ∵CP∥AB， ∴∠PCD=∠CBA=45°， ∴四邊形 CDPE 是正方形， 則 CD=DP=PE=EC， ∵在等腰直角△ABC 中，AC=BC=1，AB=AP，  ，又 AB=AP；所以， ∴AB=  = ， ∴AP= ； ∴在直角△AEP 中，（1+EC）2+EP2=AP2 ∴（1+DP）

25、2+DP2=（  ）2， 解得，DP=  ； ②如圖，延長 BC，作 PD⊥BC，交點為 D，延長 CA，作 PE⊥CA 于點 E， 同理可證，四邊形 CDPE 是正方形， ∴CD=DP=PE=EC， 同理可得，在直角△AEP 中，（EC﹣1）  2  +EP2  =AP2  ， ∴（PD﹣1）2+PD2=（  ）2， 解得，PD= 故選 D．  ； 12 / 20 word 版 數(shù)學(xué) 【點評】本題考查了勾股定理的運用，通過添加輔助線，可將問題轉(zhuǎn)化到直

26、角三角形中，利用勾股 定理解答；考查了學(xué)生的空間想象能力． 13．如圖，四邊形 ABCD 中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD 的面積 是（ ） A． B． C．2 D ． 【考點】勾股定理；含 30 度角的直角三角形． 【專題】計算題． 【分析】如圖，過點 A 作 AE⊥BC 于 E，過點 D 作 DF⊥BC 于 F．構(gòu)建矩形 AEFD 和直角三角形，通過 含 30 度角的直角三角形的性質(zhì)求得 AE 的長度，然后由三角形的面積公式進行解答即可． 【解答】解：如圖，過點 A 作 AE⊥BC 于 E，過點

27、D 作 DF⊥BC 于 F．設(shè) AB=AD=x． 又∵AD∥BC， ∴四邊形 AEFD 是矩形， ∴AD=EF=x． 在 ABE 中，∠ABC=60°，則∠BAE=30°， ∴BE= AB= x， 13 / 20 word 版 ∴DF=AE= = x， 在 CDF 中，∠FCD=30°，則 CF=DF? cot30°= x． 又∵BC=6， ∴BE+EF+CF=6，即 x+x+ x=6， 解得 x=2 數(shù)學(xué) ∴△ACD 的面積是： AD? DF= x× 故選：A．  x= ×22= ， 【點評】

28、本題考查了勾股定理，三角形的面積以及含30 度角的直角三角形．解題的難點是作出輔助 線，構(gòu)建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC 的底邊 AD 以及該邊上的高線 DF 的長度． 二、填空題（共 15 小題） 14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點 A，B 的坐標(biāo)分別為（﹣6，0）、（0，8）．以點 A 為圓心，以 AB 長為半徑畫弧，交 x 正半軸于點 C，則點 C 的坐標(biāo)為 （4，0） ． 【考點】勾股定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】首先利用勾股定理求出 AB 的長，進而得到 AC 的長，因為 OC=AC﹣AO，所以 OC 求出，繼而 求出點 C 的坐標(biāo)． 【解

29、答】解：∵點 A，B 的坐標(biāo)分別為（﹣6，0）、（0，8）， ∴AO=6，BO=8， ∴AB= =10， ∵以點 A 為圓心，以 AB 長為半徑畫弧， 14 / 20 word 版 數(shù)學(xué) ∴AB=AC=10， ∴OC=AC﹣AO=4， ∵交 x 正半軸于點 C， ∴點 C 的坐標(biāo)為（4，0）， 故答案為：（4，0）． 【點評】本題考查了勾股定理的運用、圓的半徑處處相等的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵 是利用勾股定理求出 AB 的長． 15．在 ABC 中，CA=CB，AB=9  ，點 D 在 BC

30、 邊上，連接 AD，若 tan∠CAD= ，則 BD 的長為 6 ． 【考點】勾股定理；等腰直角三角形；銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求 AC，BC 的長，在 ACD 中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可 求 CD 的長，BD=BC﹣CD，代入數(shù)據(jù)計算即可求解． 【解答】解：如圖，∵在 Rt△ABC 中，CA=CB，AB=9 ∴CA2+CB2=AB2， ∴CA=CB=9， ∵在 ACD 中，tan∠CAD= ， ∴CD=3， ∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6． 故答案為：6．  ， 【點評】綜合考查了等腰直

31、角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，線段的和差關(guān)系， 難度不大． 16．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如 圖（1））．圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、 正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面積分別為 S 、S 、S ．若正方形 EFGH 的邊長為 2，則 S +S +S = 12 ． 1 2 3 1 2 3 15 / 20 2 2 2 2 2 2 2 2 word 版 數(shù)學(xué) 【考點】勾股定理的證明． 【分析

32、】根據(jù)八個直角三角形全等，四邊形 ABCD，EFGH，MNKT 是正方形，得出 CG=KG，CF=DG=KF， 再根據(jù) S =（CG+DG） 1  2，S =GF2 2  ，S =（KF﹣NF） 3  2  ，S +S +S =12 得出 3GF 1 2 3  2  =12． 【解答】解：∵八個直角三角形全等，四邊形 ABCD，EFGH，MNKT 是正方形， ∴CG=KG，CF=DG=KF， ∴S =（CG+DG） 1  2 =CG  2 +DG +2CG? DG =GF  2  +2

33、CG? DG， S =GF2， 2 S =（KF﹣NF） =KF +NF ﹣2KF? NF， 3 ∴S +S +S =GF 1 2 3 +2CG? DG+GF +KF2 +NF ﹣2KF? NF=3GF =12， 故答案是：12． 【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識點是勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)， 根據(jù)已知得出 S +S +S =3GF2=12 是解題的難點． 1 2 3 17．如圖是“趙爽弦圖”，ABH BCG △CDF 和△DAE 是四個全等的直角三角形，四邊形 ABCD 和 EFGH 都是正方形．如果 A

34、B=10，EF=2，那么 AH 等于 6 ． 【考點】勾股定理的證明． 【分析】根據(jù)面積的差得出 a+b 的值，再利用 a﹣b=2，解得 a，b 的值代入即可． 【解答】解：∵AB=10，EF=2， 16 / 20 word 版 ∴大正方形的面積是 100，小正方形的面積是 4， ∴四個直角三角形面積和為 100﹣4=96，設(shè) AE 為 a，DE 為 b，即 4× ab=96， 數(shù)學(xué) ∴2ab=96，a2  +b  2  =100， ∴（a+b）  2  =a2  +b  2 

35、+2ab=100+96=196， ∴a+b=14， ∵a﹣b=2， 解得：a=8，b=6， ∴AE=8，DE=6， ∴AH=8﹣2=6． 故答案為：6． 【點評】此題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是應(yīng)用直角三角形中勾股定理的運用解得 ab 的值． 18．如圖，在△ABC 中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則 AE= 3 ． 【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知：兩腰上的高相等所以 AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出 AE 的長． 【解答】解

36、：∵在△ABC 中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC， ∴AD=BE=4， ∵AB=5， ∴AE=  =3， 故答案為：3． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，題目比較簡單． 17 / 20 word 版 數(shù)學(xué) 19．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若 正方形 A、B、C、D 的面積分別為 2，5，1，2．則最大的正方形 E 的面積是 10 ． 【考點】勾股定理． 【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C

37、，D 的面積和即為最大正 方形的面積． 【解答】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得 A、B 的面積和為 S ，C、D 的面積和為 S ，S +S =S ， 1 2 1 2 3 于是 S =S +S ， 3 1 2 即 S =2+5+1+2=10． 3 故答案是：10． 【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．能夠發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，D 的邊長正好是兩個直角三角形的 四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形 A，B，C，D 的面積和即是最大正方形的面積． 20．在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，則邊 AC 的長為 2 【考點】勾股定理．

38、 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)勾股定理列式計算即可得解． 【解答】解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5，  ． ∴AC=  =  =2 ． 故答案為：2  ． 18 / 20 word 版 數(shù)學(xué) 【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，作出圖形更形象直觀． 21．如圖，矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中點，矩形 ABCD 的周長是 20cm，AE=5cm，則 AB 的長為 4 cm． 【考點】勾股定理；矩形的性質(zhì)． 【分析】設(shè) AB=x，則可得 BC=10﹣x，BE=

39、BC= 即求出了 AB 的長． 【解答】解：設(shè) AB=x，則可得 BC=10﹣x， ∵E 是 BC 的中點， ∴BE= BC= ，  ，在 ABE 中，利用勾股定理可得出 x 的值， 在 ABE 中，AB2  +BE2  =AE2  ，即 x2+（  ）  2  =52， 解得：x=4． 即 AB 的長為 4cm． 故答案為：4． 【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是表示出AB、BE 的長度，利用 勾股定理建立方程． 22．如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個全

40、等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu) 成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為 1：13，則直角三角形較短的直角邊 a 與較長 的直角邊 b 的比值為 ． 19 / 20 word 版 數(shù)學(xué) 【考點】勾股定理的證明． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)勾股定理可以求得 a2+b2 等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得 到 ab 的值，然后根據(jù)（a+b）  2  =a2  +2ab+b2  即可求得（a+b）的值；則易求 b：a． 【解答】解：∵小正方形與大正方形的面積之比為 1：1

41、3， ∴設(shè)大正方形的面積是 13，邊長為 c， ∴c2=13， ∴a  2  +b2  =c2  =13， ∵直角三角形的面積是 =3， 又∵直角三角形的面積是 ab=3， ∴ab=6， ∴（a+b）  2  =a2  +b  2  +2ab=c2  +2ab=13+2×6=13+12=25， ∴a+b=5． ∵小正方形的面積為（b﹣a）  2  =1， ∴b=3，a=2， ∴ = ． 故答案是： ． 【點評】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵． 20 / 20