【導(dǎo)與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復(fù)習 第11篇 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法課時訓(xùn)練 理

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1、 【導(dǎo)與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復(fù)習 第11篇 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法課時訓(xùn)練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 綜合法 2、5、8、10、14、16 分析法 3、7、11 反證法 1、9 數(shù)學歸納法 4、6、12、13、15 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.用反證法證明某命題時,對結(jié)論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)是(　B　) (A)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù) (B)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) (C)自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù) (D)自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù) 解析:“恰有一個偶數(shù)”反面應(yīng)

2、是“至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)”.故選B. 2.設(shè)x,y,z>0,則三個數(shù)+,+,+(　C　) (A)都大于2 (B)至少有一個大于2 (C)至少有一個不小于2 (D)至少有一個不大于2 解析:由于+++++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6, ∴+,+,+中至少有一個不小于2.故選C. 3.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證0 (B)a-c>0 (C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0 解析:由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>

3、0,c<0. 要證0, 即證a(a-c)+(a+c)(a-c)>0, 即證a(a-c)-b(a-c)>0, 即證(a-c)(a-b)>0. 故求證“0. 4.用數(shù)學歸納法證明不等式1+++…+>成立,起始值至少應(yīng)取為(　B　) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 解析:左邊的和為=2-21-n,當n=8時,和為2-2-7>. 5.(2014合肥一模)對于函數(shù)f(x),若?a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三邊長,則稱f(x)為“可構(gòu)造三角

4、形函數(shù)”.以下說法正確的是(　D　) (A)f(x)=1(x∈R)不是“可構(gòu)造三角形函數(shù)” (B)“可構(gòu)造三角形函數(shù)”一定是單調(diào)函數(shù) (C)f(x)=(x∈R)是“可構(gòu)造三角形函數(shù)” (D)若定義在R上的函數(shù)f(x)的值域是[,e](e為自然對數(shù)的底數(shù)),則f(x)一定是“可構(gòu)造三角形函數(shù)” 解析:對于A選項,由題設(shè)所給的定義知,?a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三邊長,是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”,故A選項錯誤; 對于B選項,由A選項判斷過程知,B選項錯誤; 對于C選項,當a=0,b=3,c=3時,f(a)=1>f(b)+f(c)=,不構(gòu)成三角形,故C錯

5、誤; 對于D選項,由于+>e,可知,定義在R上的函數(shù)f(x)的值域是[,e](e為自然對數(shù)的底數(shù)), 則f(x)一定是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”. 6.(2014青島市高三月考)用數(shù)學歸納法證明++…+>時,由k到k+1,不等式左邊的變化是(　C　) (A)增加項 (B)增加和兩項 (C)增加和兩項同時減少項 (D)以上結(jié)論都不對 解析:n=k時,左邊=++…+ n=k+1時,左邊=++…+, 由“n=k”變成“n=k+1”時,不等式左邊的變化是+-. 二、填空題 7.設(shè)a>b>0,m=-,n=,則m,n的大小關(guān)系是　　　　.? 解析:法一　取a=2,b=1,得m

6、法二　-?a0,顯然成立,故m

7、不是偶數(shù) 10.(2014福建模擬)對于30個互異的實數(shù),可以排成m行n列的矩形數(shù)陣,如圖所示的5行6列的矩形數(shù)陣就是其中之一. x1　x2　·　·　·　x6 y1　y2　·　·　·　y6 ·　·　·　·　·　· ·　·　·　·　·　· z1　z2　·　·　·　z6 將30個互異的實數(shù)排成m行n列的矩形數(shù)陣后,把每行中最大的數(shù)選出,記為a1,a2,…,am,并設(shè)其中最小的數(shù)為a;把每列中最小的數(shù)選出,記為b1,b2,…,bn,并設(shè)其中最大的數(shù)為b. 兩位同學通過各自的探究,分別得出兩個結(jié)論如下: ①a和b必相等;②a和b可能相等;③a可能大于b;④b可能大于a. 以上四個結(jié)

8、論中,正確結(jié)論的序號是　　　　(請寫出所有正確結(jié)論的序號).? 解析:不妨假設(shè)m行n列的矩形數(shù)陣,為如題圖所示的5行6列的矩形數(shù)陣, 則由題意可得a的最小值為6,最大值為30; 而b的最小值為6,最大值為26,且在同一個5行6列的矩形數(shù)陣中,一定有a≥b, 故②③正確,而①④不正確. 答案:②③ 三、解答題 11.已知a>0,求證:-≥a+-2. 證明:要證-≥a+-2. 只要證+2≥a++. ∵a>0,故只要證≥, 即a2++4+4≥a2+2++ 2+2, 從而只要證2≥, 只要證4≥2,即a2+≥2, 而上述不等式顯然成立,故原不等式成立. 12.(2013

9、湖南常德模擬)設(shè)a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*. (1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項公式; (2)用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論. (1)解:∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=; a3=f(a2)=;a4=f(a3)=. 猜想an=(n∈N*). (2)證明:①易知,n=1時,猜想正確. ②假設(shè)n=k時猜想正確, 即ak=, 則ak+1=f(ak)== ==. 這說明,n=k+1時猜想正確. 由①②知,對于任何n∈N*,都有an=. 能力提升 13.(2014安慶高三月考)用數(shù)學歸納法證明2n>n2(n≥5,n

10、∈N+),第一步應(yīng)驗證(　B　) (A)n=4 (B)n=5 (C)n=6 (D)n=7 解析:根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟,首先要驗證當n取第一個值時命題成立; 又n≥5,所以第一步驗證n=5. 14.已知三個不等式①ab>0;②>;③bc>ad.以其中兩個作條件,余下一個作結(jié)論,則可組成　　　　個正確命題.? 解析:此題共可組成三個命題即①②?③;①③?②;②③?①.若ab>0,>,則-=>0,得bc-ad>0,即可得命題①②?③正確;若ab>0,bc>ad,則=->0,得>,即命題①③?②正確;若bc>ad,>,則-=>0,得ab>0,即命題②③?①正確.綜上可得正確的命題有三個.

11、答案:三 15.數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(n∈N+) (1)計算a1,a2,a3,a4; (2)猜想通項公式an,并用數(shù)學歸納法證明. 解:(1)由a1=2-a1,得a1=1, 由a1+a2=2×2-a2,得a2=, 由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=, 由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=. (2)猜想an=(n∈N+).證明如下: ①當n=1,由上面計算可知猜想成立; ②假設(shè)n=k時猜想成立,即ak=, 此時Sk=2k-ak=2k-, 當n=k+1時,Sk+1=2(k+1)-ak+1, 得Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1. 因此

12、ak+1=[2(k+1)-Sk] =k+1-（2k-） =. ∴當n=k+1時也成立, ∴an=(n∈N+). 探究創(chuàng)新 16.設(shè)集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{an}的集合:①≤an+1;②an≤M,其中n∈N*,M是與n無關(guān)的常數(shù). (1)若{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,a3=4,S3=18,試探究{Sn}與集合W之間的關(guān)系; (2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項公式為bn=5n-2n,且{bn}?W,M的最小值為m,求m的值; (3)在(2)的條件下,設(shè)Cn=[bn+(m-5)n]+,求證:數(shù)列{Cn}中任意不同的三項都不能成為等比數(shù)列. (1)解:∵a3=4,S

13、3=18, ∴a1=8,d=-2. ∴Sn=-n2+9n.