【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第12節(jié) 定積分的概念及簡單應(yīng)用課時訓(xùn)練 理

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1、 【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第12節(jié) 定積分的概念及簡單應(yīng)用課時訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法 題號 求定積分 1、2、7 定積分求面積 4、8、13、16 定積分的物理應(yīng)用 3、5、12 由定積分求參數(shù) 6、9 綜合應(yīng)用 10、11、14、15 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.設(shè)函數(shù)f(x)=則定積分f(x)dx等于(　C　) (A) (B)2 (C) (D) 解析:f(x)dx=x2dx+1dx =x3+x=.故選C. 2.(2014廈門模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=xm+ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x+1,則f(-x)d

2、x的值等于(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:f′(x)=mxm-1+a=2x+1,得m=2,a=1, 所以f(x)=x2+x,所以f(-x)=x2-x, 所以f(-x)dx=(x2-x)dx=(x3-x2)=.故選A. 3.如果1 N的力能拉長彈簧1 cm,為了將彈簧拉長6 cm,所耗費(fèi)的功為(　A　) (A)0.18 J (B)0.26 J (C)0.12 J (D)0.28 J 解析:由物理知識F=kx知,1=0.01k, ∴k=100 N/m, 則W=100xdx=50x2=0.18(J).故選A. 4.(2014合肥模擬) 如圖,由函數(shù)f(x)=ex

3、-e的圖象,直線x=2及x軸所圍成的陰影部分的面積等于(　B　) (A)e2-2e-1 (B)e2-2e (C) (D)e2-2e+1 解析:由已知得S=f(x)dx=(ex-e)dx=(ex-ex)=(e2-2e)-(e-e)=e2-2e.故選B. 5.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時速度與時間的關(guān)系式為v(t)=t2-t+2,質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動,則此質(zhì)點(diǎn)在時間[1,2]內(nèi)的位移為(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:∵v(t)>0, ∴質(zhì)點(diǎn)在[1,2]內(nèi)的位移s即為v(t)在[1,2]上的定積分, ∴s=v(t)dt =(t2-t+2)dt = =. 故選A. 6.(

4、2014中山模擬)已知t>0,若(2x-1)dx=6,則t的值等于(　B　) (A)2 (B)3 (C)6 (D)8 解析:(2x-1)dx=2xdx-1dx=x2-x=t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).故選B. 二、填空題 7.(2014昆明模擬)(+)2dx=　　　　.? 解析:(+)2dx=(x++2)dx=(x2+ln x+2x)=+ln . 答案:+ln 8.(2014南寧模擬)在同一坐標(biāo)系中作出曲線xy=1和直線y=x以及直線y=3的圖象如圖所示,曲線xy=1與直線y=x和y=3所圍成的平面圖形的面積為　　　　.? 解析:所求區(qū)域面積為S=(3-)dx+

5、(3-x)dx=4-ln 3. 答案:4-ln 3 9.已知曲線y=x2與直線y=kx(k>0)所圍成的曲邊圖形的面積為,則k=　　　　.? 解析:由得或 則曲線y=x2與直線y=kx(k>0)所圍成的曲邊圖形的面積為(kx-x2)dx=(x2-x3)=-k3=, 即k3=8, ∴k=2. 答案:2 10.(2014成都模擬)函數(shù)y=(sin t+cos tsin t)dt的最大值是　　　　.? 解析:y=(sin t+cos tsin t)dt =(sin t+sin 2t)dt =(-cos t-cos 2t) =-cos x-cos 2x+ =-cos x-(2

6、cos2x-1)+ =-cos2x-cos x+ =-(cos x+1)2+2≤2, 當(dāng)cos x=-1時取等號. 答案:2 三、解答題 11.已知f(x)為二次函數(shù),且f(-1)=2,f′(0)=0, f(x)dx=-2, (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值. 解:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 則f′(x)=2ax+b. 由f(-1)=2,f′(0)=0, 得即 ∴f(x)=ax2+2-a. 又f(x)dx=(ax2+2-a)dx =[ax3+(2-a)x]=2-a=-2, ∴a=6,從而f(x)=

7、6x2-4. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1]. ∴當(dāng)x=0時,[f(x)]min=-4; 當(dāng)x=±1時,[f(x)]max=2. 12.做變速直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的速度方程是v(t)=(單位:m/s). (1)求該質(zhì)點(diǎn)從t=10 s到t=30 s時所走過的路程; (2)求該質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動到運(yùn)動結(jié)束共走過的路程. 解:(1)s1=v(t)dt=tdt+20dt=350(m). (2)該質(zhì)點(diǎn)從開始到結(jié)束需100 s,走過的路程為 s2=v(t)dt =tdt+20dt+(100-t)dt =1600(m). 能力提升 13.(2014珠海模擬)由曲線y=x2和直

8、線x=0,x=1,y=t2(t為常數(shù)且t∈(0,1))所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值為(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:由得交點(diǎn)(t,t2). 故S=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx =(t2x-x3)+(x3-t2x) =t3-t2+, 令S′=4t2-2t=0, 因為0

9、 解析:∵y=ax2過點(diǎn)B(2,4), ∴a=1, ∴所求概率為1-=1-×x3=. 答案: 15.(2014重慶模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,直線l1:x=2,直線l2:y= -t2+8t(其中0≤t≤2,t為常數(shù)).若直線l1,l2與函數(shù)f(x)的圖象以及l(fā)2,y軸與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如圖陰影所示. (1)求a,b,c的值; (2)求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S(t)的解析式. 解:(1)由題圖可知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值為16, 則解得 (2)由(1)得f(x)=-x2+8x, 由 得x2-

10、8x-t(t-8)=0,所以x1=t,x2=8-t. 因為0≤t≤2, 所以直線l2與f(x)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(t,-t2+8t). 由定積分的幾何意義知 S(t)=[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+ [(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx =[(-t2+8t)x-(-+4x2)]+ [(-+4x2)-(-t2+8t)x] =-t3+10t2-16t+. 所以S(t)=-t3+10t2-16t+(0≤t≤2). 探究創(chuàng)新 16.(2014武漢模擬)曲線y=x2,直線y=x,y=3x圍成的圖形的面積是　　　　.? 解析:作出曲線y=x2,直線y=x,y=3x的圖象,所求面積為圖中陰影部分的面積. 解方程組得交點(diǎn)(1,1),(0,0). 解方程組得交點(diǎn)(3,9),(0,0), 因此,所求圖形的面積為 S=(3x-x)dx+(3x-x2)dx =2xdx+(3x-x2)dx =x2+(x2-x3) =1+(×32-×33)-(×12-×13) =. 答案: 9