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1、第十章,曲線回歸,,本章介紹可以直線化的曲線回歸的類(lèi)型，以生長(zhǎng)型曲線為例說(shuō)明曲線的直線化配合，曲線回歸方程的擬合度,,第一節(jié) 曲線回歸的意義,,直線回歸的局限 1、兩變量之間的關(guān)系不完全是直線關(guān)系 2、簡(jiǎn)單相關(guān)不顯著并不表示兩變量間無(wú)相關(guān) 3、兩變量間更普遍的關(guān)系是曲線關(guān)系 4、直線回歸僅是曲線回歸的一種特殊形式 5、直線回歸是曲線回歸中的一部分,,曲線配合的一般步驟： 1、確定回歸關(guān)系的類(lèi)型：線性 非線性（曲線形狀） 2、確定回歸關(guān)系的參數(shù)、相關(guān)指數(shù)、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤 3、對(duì)所得回歸方程作顯著性檢驗(yàn) 曲線方程可分為兩種： 可直線化的曲線方程 不可直線化的曲線方程（多項(xiàng)式）
2、因此，首先應(yīng)確定兩變量的曲線關(guān)系是哪一種,,第二節(jié) 曲線類(lèi)型及其方程,,本章僅討論可以直線化的曲線方程 函數(shù)型曲線方程 （一）冪函數(shù) 直線化：兩邊取對(duì)數(shù)： 令： 則有： 對(duì) 求 A 和 b， 并得 即可得：a、b，建立方程 （雙對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，即對(duì) x、y 均求對(duì)數(shù)后輸入）,,,,,,,,,,（二）指數(shù)函數(shù) 或 直線化：兩邊取對(duì)數(shù)： 令： 則有 對(duì) 求A 并得 即可得 a、b，建立方程 （單對(duì)數(shù)變換，即對(duì) y 求對(duì)數(shù)后與 x 一起輸入）,,,,,,,,,,（三）雙曲線函數(shù) 令： 則 對(duì) x 求 X 即可得 中的 a、b （倒數(shù)變換，即取 x 的倒數(shù)，與
3、y 一起輸入） 此外還有一些曲線方程： 下面是幾種可以轉(zhuǎn)換為直線方程的曲線函數(shù)圖形：,,,,,,,,,,曲線回歸的計(jì)算器計(jì)算方法： 計(jì)算器將出現(xiàn)如下畫(huà)面：,mode,3,Lin Log Exp 1 2 3,,<,Pwr Inv Quad 1 2 3,,,,,（Lin） 線性回歸： （Log）對(duì)數(shù)回歸： （Exp）指數(shù)回歸： （Pwr）冪函數(shù)回歸： （inv） 雙曲線回歸： （Quad）拋物線回歸：,1,2,3,1,,,2,,3,,（四）S型曲線 陸生、水生動(dòng)物的種群增長(zhǎng)、微生物種群增長(zhǎng)、細(xì)胞的生（增）長(zhǎng)等都是這一模式 因此，S型曲線又稱(chēng)為生長(zhǎng)型曲線、logisti
4、c曲線，其變換形式有以下幾種：,,,,,,,,,,,類(lèi)似的生長(zhǎng)型曲線還有 Gompertz 曲線： 其變換形式： Bertalanffy 曲線：,,在這些曲線方程中，無(wú)一例外的都有3個(gè)需要計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量：k、a、b K 是當(dāng) x 趨向于 +時(shí) y 所能達(dá)到的最大值，往往是未知的，因此也是需要進(jìn)行計(jì)算的 這是生長(zhǎng)曲線與其他可以直線化的曲線方程不同的地方 這些曲線方程中的 x 往往是時(shí)間單位，因此一般可用 t 表示，而 y 往往是群體的增長(zhǎng)量，或群體增長(zhǎng)倍數(shù)，所以也可以用 N 表示 我們這里僅對(duì)典型的 S 型曲線方程進(jìn)行直線化，其他變換類(lèi)型的方程直線化可以仿此進(jìn)行,,測(cè)得某微生物在一定溫度下隨時(shí)間變
5、化的平均增長(zhǎng)量 數(shù)據(jù)如下： 時(shí) 間t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 增長(zhǎng)倍數(shù)N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 從下面的散點(diǎn)圖我們可以看出，可配合S型曲線： 10 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9,,,,,,,,,,,,,,,,,我們采用生長(zhǎng)曲線的一般形式 進(jìn)行配合 變換，兩邊取對(duì)數(shù)，得： 并令： 從數(shù)據(jù)表中取三個(gè)等距的點(diǎn)代入上式（一般總?cè)∈键c(diǎn)、中點(diǎn)、末點(diǎn)）：（1，1.3）、（5，6.8）、（9，9.5）,,,,,,,解這一三元一次方程組，消去a、b，得： 則 這
6、是一個(gè)通式，任何配置 S 型曲線的數(shù)據(jù)資料均可使用這一公式求得 k 值 將上式中的 代入 式，得 即為 k 的解 將k=9.78代入 可得和t相對(duì)應(yīng)的各個(gè)Y值,,,,,,,,將這些 Y 值寫(xiě)在數(shù)據(jù)表下方對(duì)應(yīng)處，用最小二乘配置法配置直線 時(shí) 間t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 增長(zhǎng)倍數(shù)N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 1.88 1.71 1.02 0.54 -0.82 -1.81 -1.89 -2.59 -3.52,,,,,,,得一級(jí)數(shù)據(jù)： 或?qū)r(shí)間 t 和 Y 值輸入計(jì)算器
7、直接進(jìn)行計(jì)算,,則 將k、a、b代入方程，即得： 或：,,,,,,,在這一類(lèi)例子中，時(shí)間往往是有效單位時(shí)間，如一周、一月、一年、一個(gè)時(shí)間段等，如需換算成具體時(shí)間如天、小時(shí)、分等，則需將其換算值代入 t 值即可 另外，在一般的通式中，我們往往以 x、y 作為自變量和依變量的符號(hào)，但在具體問(wèn)題中，有時(shí)為了更形象、更直觀地說(shuō)明問(wèn)題，可以用其他不同的字母（往往是相應(yīng)的英文名詞的首寫(xiě)字母）來(lái)代替,,如長(zhǎng)度用 L、時(shí)間用 t、增重倍數(shù)用 N、體重用 W 等 用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可直接將原始數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)庫(kù)，調(diào)用相應(yīng)的程序運(yùn)算即可,,第三節(jié) 曲線配合的擬合度,,曲線配合完成，其方程是否理想，同
8、一批數(shù)據(jù)采用不同的曲線方程進(jìn)行擬合，其效果如何，哪一種方程更好，可以用曲線方程的擬合度來(lái)衡量 曲線方程的擬合度就是相關(guān)指數(shù) R2 離回歸平方和 Q（實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值之差的平方和，即剩余回歸平方和）在總平方和中所占的比例越小，說(shuō)明方程的效果越好，因此可以用剩余回歸平方和在總平方和中的比例來(lái)表示曲線配合的好壞：,,,在曲線回歸方程中，我們必須實(shí)際求得每一個(gè) ，然 后求出 ，而不能象簡(jiǎn)單回歸一樣可以用有關(guān) 公式求出 在上例中： t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1
9、9.5 0.9445 1.7481 3.0030 4.6386 6.3326 7.7167 8.6448 9.1874 9.4797 0.1264 0.0615 0.1624 1.0788 0.2184 0.4669 0.0210 0.0076 0.0004,,,,,,,,,,,,,,,,R2 的平方根 R 稱(chēng)為相關(guān)系數(shù)，為了和簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)r 有所區(qū)別，曲線回歸方程和多元回歸方程的相關(guān)系數(shù)稱(chēng)為復(fù)相關(guān)系數(shù)，寫(xiě)為 R 擬合度得到后，同樣需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的方法還是查 r 表 本例中，變量個(gè)數(shù)為 m = 2，自由度 df = 7，因此,,,同一批數(shù)據(jù)如果擬合了多條曲線回歸方程，應(yīng)當(dāng)將每一條曲線方程的相關(guān)系數(shù)相比較，原則上哪一個(gè)曲線方程的相關(guān)系數(shù)大，哪一個(gè)曲線方程就是最好的，當(dāng)然還應(yīng)當(dāng)結(jié)合專(zhuān)業(yè)知識(shí)來(lái)進(jìn)行判斷 （*）,,end,
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