常用數(shù)值分析方法3插值法與曲線擬合

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1、3 插值法與曲線擬合,3.1 實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理 3.2 插值法（Lagrange插值法） 3.3 曲線擬合（最小二乘法）,平行試驗數(shù)據(jù)處理，誤差分析。,根據(jù)實驗測定的離散數(shù)據(jù)，求未測的某點數(shù)據(jù)。,根據(jù)實驗測定的離散數(shù)據(jù)，擬合曲線，分析數(shù)據(jù)規(guī)律，求函數(shù)表達式。,,3.1 實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理,,系統(tǒng)誤差 偶然誤差 過失誤差,,,3.1.1誤差,3.1.2 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析,（4）剔出錯誤數(shù)據(jù),（5）用標準形式表示統(tǒng)計處理結(jié)果,（1）算術(shù)平均值,（2）標準偏差,（3）平均標準偏差,返回（1）重算,,函數(shù)常被用來描述客觀事物變化的內(nèi)在規(guī)律數(shù)量關(guān)系，如宇宙中天體的運行，地球上某地區(qū)平均氣溫的變化等等，但在生

2、產(chǎn)和科研實踐中碰到的大量的函數(shù)中，不僅僅是用解析表達式表示的函數(shù)，還經(jīng)常用數(shù)表和圖形來表示函數(shù)，其中函數(shù)的數(shù)表形式在實際問題中應(yīng)用廣泛，主要原因是有相當一部分函數(shù)是通過實驗或觀測得到的一些數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)只是某些離散點 xi 上的值（包括函數(shù)值f (xi)，導(dǎo)數(shù)值 f(xi)等,i = 1,2,,n)，雖然其函數(shù)關(guān)系是客觀存在的，但卻不知道具體的解析表達式，因此不便于分析研究這類數(shù)表函數(shù)的性質(zhì)，也不能直接得出其它未列出點的函數(shù)值，我們希望能對這樣的函數(shù)用比較簡單的表達式近似地給出整體的描述。,3.2 插值法（ Interpolation ）,3.2.1 概述,另一方面，有些函數(shù)，雖然有解析表達式

3、，但因其過于復(fù)雜，不便于計算和分析，同樣希望構(gòu)造一個既能反映函數(shù)的特性又便于計算的簡單函數(shù)，近似代替原來的函數(shù)。 如在積分 中，當f (x)很復(fù)雜，要計算積分 I 是很困難的，構(gòu)造近似函數(shù)使積分容易計算，并且使之離散化能上機計算求出積分I，都要用到插值逼近。,解決上述問題的方法有兩類：一類是對于一組離散點(xi,f (xi)) (i = 1, 2, ,n)，選定一個便于計算的函數(shù)形式(x)，如多項式，分段線性函數(shù)，有理式，三角函數(shù)等，要求(x)通過點(xi)=f (xi) (i = 1, 2,,n),由此確定函數(shù)(x)作為f (x)的近似。這就是插值法。這里的 g(x) 稱為f

4、(x) 的插值函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是 ?,另一類方法在選定近似函數(shù)的形式后，不要求近似函數(shù)過已知樣點，只要求在某種意義下它在這些點上的總偏差最小。這類方法稱為曲線（數(shù)據(jù)）擬合法，將在下一節(jié)介紹。,,,,g(x) f(x),多項式,f(x),已知：一系列離散的（互不相同的）點xi ， yi（i = 1，2，n） 求：給定點 x 對應(yīng)的函數(shù)值 y 或近似函數(shù)表達式。,思路,構(gòu)造函數(shù) y=p(x),代數(shù)多項式 ：,,,算法,拉格朗日（Lagrange）法,,兩點插值（線性插值） 一元三點插值（拋物線插值） 一元多點插值（插值公式的一般形式） 分段插值,,已知點滿足該函數(shù),其他：牛頓（Newto

5、n）插值法、 Hermite插值法、樣條函數(shù)插值法等。,歸納一下：,3.2.2 線性插值,已知：兩點( x1 , y1）、( x2, y2 ） 求：兩點間任意 x 對應(yīng)的 y 值。,插值函數(shù)：y=p1(x),近似直線,實際曲線,,,理論函數(shù)：y=f(x),直線方程：,,,（插值多項式）,,特點：,,3.2.3 拋物線插值,已知：三點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其間任意 x 對應(yīng)的 y 值,插值函數(shù)：y=p2(x),近似拋物線,實際曲線,,,理論函數(shù)：y=f(x),插值基函數(shù)：,插值多項式,,,3.2.4 Lagrange插值的一般形式,已知：n點（x1，y1）、（x2

6、，y2）（xn，yn） 求：其間任意 x 對應(yīng)的 y 值,（1）構(gòu)造插值基函數(shù),（2）插值多項式,,3.2.5 分段插值（分段拋物線插值）,各區(qū)段函數(shù)規(guī)律明顯不同,適用條件,處理方法,插值公式,分段基點,分段,3.3 曲線擬合,插值法的不足,曲線擬合,對逼近函數(shù)P(x)不必要求過給定的點， 而用一條近似的曲線來接近這些測量數(shù)據(jù)點。,問題：在大量的實驗數(shù)據(jù)(xi , yi) (i =1,2,,n) 中尋找其函數(shù)關(guān)系y =f (x) 的近似函數(shù)P (x)，是在實踐中常遇到的。,3.3.1 概述,,求經(jīng)驗公式,求模型參數(shù),已知：試驗數(shù)據(jù)和相應(yīng)函數(shù)關(guān)系（或稱：數(shù)學(xué)模型） 求：其中的參數(shù)值,已知：試

7、驗數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1，2，，n 求：函數(shù)關(guān)系式 y = f(x),3.3.2 求經(jīng)驗公式多項式擬合,擬合多項式,已知：n組試驗數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1，2，，n 求：函數(shù)關(guān)系式 y=f(x),,偏差 Ri =,盡可能最小,盡可能最小,,,3.3.2.1 概述,盡可能最小,3.3.2.2 最小二乘技術(shù),最小,多元函數(shù)的極值問題,=,,( k = 0 , 1 , 2 , , m ),解多元線性方程組,m 的確定,,略,3.3.2.3 多項式的次數(shù)（m）的確定,初設(shè) m=1,,為預(yù)先選定的一個足夠小的正數(shù),3.3.2.4 多項式擬合舉例,例1 設(shè)在某材料的熱膨脹系數(shù)試驗中，測得一批數(shù)據(jù)

8、如表3.1所示，希望用一簡單公式表示這些數(shù)據(jù)的關(guān)系。,表3.1 熱膨脹系數(shù)試驗數(shù)據(jù),解：由數(shù)據(jù)之間的關(guān)系和我們已知的材料熱膨脹規(guī)律可知，這些點大體上分布在一條直線上，因此可用線性式表示為：,,如果我們將上述六組數(shù)據(jù)代入上式，可得：,顯然，上述方程組中只有兩個未知參數(shù)，任取兩個方程即可解出a, b。其幾何意義就是任選兩點，連成一線，故該法又稱“選點法”。然而，由于試驗誤差的存在，這些點并不會在同一條直線上，因此隨著選點不同，得到的a, b的值也有差異，如：,選1、2點得：,選4、5點得：,解之得：,解之得：,造成上述不同結(jié)果的原因是當試驗觀測點數(shù)大于待定參數(shù)的個數(shù)時，代入所有點數(shù)據(jù)將出現(xiàn)一個矛盾

9、方程組，選點法并未充分利用所有試驗數(shù)據(jù)，故結(jié)果不可靠；而用曲線擬合法，則可避免該問題。,仍設(shè)試驗數(shù)據(jù)滿足直線關(guān)系：,用前面介紹的最小二乘法進行曲線擬合，此處是最簡單的一元線性擬合。,（1）用最小二乘法（偏導(dǎo)）分析或直接用前面介紹的公式寫出最小二乘法得到的線性方程組的系數(shù)表達式：,,（2）代入試驗數(shù)據(jù)得：,（3）進而得到線性方程組：,解之得：,說明：假如我們事前并不能從試驗數(shù)據(jù)中看出其近似滿足線性關(guān)系，則可用一般的多項式擬合程序進行擬合（即：設(shè)定一定的誤差限，先設(shè)多項式次數(shù)m=1，進行擬合，得到一線性表達式，判斷誤差，若滿足誤差要求，則停止，否則m=m+1，重新擬合得二次多項式，再判誤差，直到滿

10、足誤差要求為止）。 對該例，在誤差要求不是太高的情況下，經(jīng)m=1線性擬合即可達到要求，得到線性表達式。如果誤差限非常低，則將擬合出高次，但可以發(fā)現(xiàn)，該例的高次系數(shù)非常非常小，相比a, b值，完全可忽略。,,求經(jīng)驗公式,求模型參數(shù),已知：試驗數(shù)據(jù)和相應(yīng)函數(shù)關(guān)系（或稱：數(shù)學(xué)模型） 求：其中的參數(shù)值,已知：試驗數(shù)據(jù)（xi，yi），i=0，1，2，，n 求：函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),曲 線 擬 合,,3.3.3 模型參數(shù)的確定,已知：實驗數(shù)據(jù)及相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系（或稱數(shù)學(xué)模型），含未知參數(shù)。 求：其中的未知參數(shù)值。,3.3.3.1 線性模型的參數(shù)確定,函數(shù)關(guān)系通式,為方便起見，可令x01使上式變?yōu)椋?/p>

11、,（多元線性回歸）,利用最小二乘技術(shù)求出模型中的各待定參數(shù)aj（j = 0, 1, 2, , m）,例如：已知n組實驗數(shù)據(jù)：x1i、x2 i、、xmi yi （i = 1, 2, , n），且函數(shù)關(guān)系式可用式（6.33）表示，求模型中各參數(shù)值。,1、計算偏差的平方和,2、由最小二乘技術(shù)的限制條件,可得到一個由m+1個含有m+1個未知數(shù)（aj j = 0, 1, 2, , m）的線性方程構(gòu)成的多元線性方程組（見下頁）,m+1元線性方程組,具體展開為：,3、解線性方程組（全主元消去法 ） 即得：要求的已知線性模型中的未知參數(shù)。,3.3.3.2 簡單非線性模型的參數(shù)確定,簡單非線性模型能通過簡單

12、的數(shù)學(xué)變換（變量代換等） 轉(zhuǎn)化為線性模型的非線性模型。,參數(shù)確定的關(guān)鍵：就在于變量代換，即：通過適當?shù)淖兞看鷵Q，使之轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性模型，然后就可運用線性模型的求解方法解之 。,例1. 用非線性經(jīng)驗公式 擬合實驗數(shù)據(jù)xi、yi （i = 1, 2, , n），求模型參數(shù)a、b。,令：,則有：,解：公式兩邊同時取對數(shù)得：,例2. 已知一活化極化體系的陽極極化過程符合如下規(guī)律： 現(xiàn)通過實驗測得其n組陽極極化數(shù)據(jù)為：Ei、iai（i = 1, 2, , n），求該體系腐蝕速度icor和Tafel斜率ba。,則式（6.36）變?yōu)椋?作變量代換：,,3.3.3.3 一般非線性模型的

13、參數(shù)確定,例1活化極化控制的腐蝕體系的基本動力學(xué)方程式,例2充電曲線方程式,迭代的最小二乘技術(shù)（以充電曲線方程式的擬合為例 ）,a) 數(shù)學(xué)變換,,,移項變形,兩邊求對數(shù),變量代換,所以：,b) 近似處理變超越方程為線性方程,,c) 用最小二乘法擬合線性模型，求出其中的參數(shù)u、v、z,,,,,迭代的最小二乘技術(shù) 高斯牛頓曲線擬合法。,一般非線性模型的參數(shù)確定 兩種最常用的擬合方法,,,自學(xué),作 業(yè),1、編制最小二乘曲線擬合法（多項式擬合）的通用程序，上機調(diào)試，并對以下試驗數(shù)據(jù)進行高次擬合（誤差限自定）。,表3.2 低碳鋼屈服點與晶粒直徑試驗數(shù)據(jù) （說明：將 d 換算成 后進行擬合）？？？？,表3.3 某材料熱膨脹系數(shù)試驗數(shù)據(jù),2、編制最小二乘多元線性回歸的通用程序，上機調(diào)試，并對以下試驗數(shù)據(jù)進行回歸分析（誤差限自定）。,3、分別編制Lagrange分段拋物線插值和Lagrange一般多點插值的通用程序。 已知CO2熱容試驗數(shù)據(jù)如表3.4所示，試用上述程序求出在1708K時之熱容。,表3.4 CO2熱容試驗數(shù)據(jù),