《簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用》課件(北師大版必修5).ppt

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1、 4 3 簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用 1.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性 規(guī)劃問題,并能加以解決 2.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用線性規(guī)劃的有關(guān)知識解決實際 問題的意識 . 1.對利用線性規(guī)劃解決實際問題的考查是本節(jié) 的熱點 2.本節(jié)內(nèi)容常與實際問題結(jié)合問題 3.多以選擇題、填空題形式考查,也可以解答 題形式考查 . 1線性目標函數(shù) z ax by(a 0, b 0)把直 線 l0: ax by 0向右平移時,所對應(yīng)的 z隨之 ,把 l0向左平移時,所對應(yīng)的 z隨之 在平移過程中與可行域 相交的 點和 相交的點,可使目標函數(shù) z ax by c取得最值也就是最優(yōu)解 增大

2、 減小 首先 最后 2 設(shè) z 2 x y ,其中變量 x , y 滿足條件 x 4 y 3 , 3 x 5 y 25 , x 1. z 的最大值和最小值分別為 . 12,3 線性規(guī)劃的應(yīng)用 線性規(guī)劃也是求值的一種 , 是求在某種限制范 圍之下的最大值或最小值的問題 , 其關(guān)鍵是列 出所有 , 不能有遺漏的部分 , 如有時變 量要求為正實數(shù)或自然數(shù) , 其次是準確找到 , 如果數(shù)量關(guān)系多而雜 , 可以用列表等方 法把關(guān)系理清 限制條件 目標函數(shù) 線性規(guī)劃的理論和方法經(jīng)常被應(yīng)用于兩類問題 中:一是在人力 、 物力 、 資金等資源一定

3、的條 件下 , 如何使用其完成最多的任務(wù);二是給定 一項任務(wù) , 如何合理安排和規(guī)劃 , 能用最少的 人力 、 物力 、 資金等資源來完成這項任務(wù) 在生產(chǎn)和生活中 , 常用于: 下料問題; 優(yōu) 化安排活動問題; 優(yōu)化運營問題等 利用線性規(guī)劃的方法解決實際問題的過程可分 為假設(shè)分配方案 、 確定目標函數(shù) 、 列出約束條 件 、 畫出可行域 、 確定最優(yōu)解 、 確定目標函數(shù) 最值 、 回歸實際問題 1 有 5輛載重 6噸的汽車 , 4輛載重 4噸的汽車 , 設(shè)需載重 6噸的汽車 x輛 , 載重 4噸的汽車 y輛 , 則要運送最多的貨物 , 完成這項運輸任務(wù)的線 性目標函數(shù)

4、為 ( ) A z 6x 4y B z 5x 4y C z x y D z 4x 5y 答案: A 2配制 A、 B兩種藥劑都需要甲、乙兩種原料, 用料要求如表所示 (單位:千克 ) 藥劑 A、 B至少各配一劑,且藥劑 A、 B每劑售 價分別為 100元、 200元現(xiàn)有原料甲 20千克, 原料乙 25千克,那么可獲得的最大銷售額為 ________百元 原 料 藥 劑 甲 乙 A 2 5 B 5 4 解析: 設(shè)藥劑 A 、 B 分別配 x 劑、 y 劑, 則 2 x 5 y 20 5 x 4 y 25 x 、 y N ,銷售額 z

5、 x 2 y , 作出可行域如圖 答案: 8 令 z 0 得直線 x 2 y 0 , 平移此直線過點 M 時 z 最大, 由 2 x 5 y 20 5 x 4 y 25 , 得 M 45 17 , 50 17 ,調(diào)整得最優(yōu)解 ( 2,3) , z m ax 2 2 3 8( 百元 ) 3有一化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,生 產(chǎn) 1車皮甲種肥料或 1車皮乙種肥料需要的主要 原料和產(chǎn)生的利潤分別為:磷酸鹽 2 t,硝酸鹽 9 t,利潤 8 000元或磷酸鹽 2 t,硝酸鹽 5 t,利 潤 6 000元工廠現(xiàn)有庫存磷酸鹽 20

6、 t,硝酸鹽 70 t,應(yīng)生產(chǎn)甲、乙肥料各多少車皮可獲得最 大利潤? 即當直線 8 000 x 6 000y z 0過 (5,5)點時 , z 取得最大值 即生產(chǎn)甲 、 乙兩種肥料各 5車皮時可獲得最大 利潤 解析: 設(shè) x , y 分別表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車 皮數(shù)由題意得 2 x 2 y 20 9 x 5 y 70 , x 0 , y 0 工廠利潤 z 8 000 x 6 000 y . 由 2 x 2 y 20 9 x 5 y 70 得 x 5 y 5 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品已知生產(chǎn)每 噸甲產(chǎn)

7、品要用 A原料 3噸、 B原料 2噸;生產(chǎn)每 噸乙產(chǎn)品要用 A原料 1噸、 B原料 3噸銷售每 噸甲產(chǎn)品可獲得利潤 5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲 得利潤 3萬元該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗 A 原料不超過 13噸、 B原料不超過 18噸,那么該 企業(yè)可獲得最大利潤是多少? 本題解答可先設(shè)出企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩產(chǎn)品 的噸數(shù),再根據(jù)原料限制條件列出約束條 件,建立目標函數(shù)求解 解題過程 設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品為 x 噸,乙產(chǎn)品為 y 噸,則該企業(yè)可獲得利潤為 z 5 x 3 y ,且 x 0 , y 0 , 3 x y 13 , 2 x 3 y 18 聯(lián)立

8、3 x y 13 , 2 x 3 y 18 ,解得 x 3 , y 4. 由圖可知,最優(yōu)解為 P ( 3,4) , z 的最大值為 z 5 3 3 4 27( 萬元 ) 答: 企業(yè)可獲得的最大利潤為 27萬元 題后感悟 線性規(guī)劃的應(yīng)用問題,關(guān)鍵是 根據(jù)題目正確的列出變量的約束條件與目 標函數(shù),準確地畫出可行域,確定其最優(yōu) 解 1.某工廠制造甲、乙兩種產(chǎn)品,已知制造甲產(chǎn) 品 1 kg要用煤 9 t,電力 4 KW,勞動力 (按工作 日計算 )3個;制造乙產(chǎn)品 1 kg要用煤 4 t,電力 5 KW,勞動力 10個又知制成甲產(chǎn)品 1 kg

9、可獲 利 7萬元,制成乙產(chǎn)品 1 kg可獲利 12萬元,現(xiàn) 在此工廠只有煤 360 t,電力 200 KW,勞動力 300個,在這種條件下應(yīng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品 各多少千克獲得最大經(jīng)濟效益? 解析: 設(shè)此工廠應(yīng)分別生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品 x kg、 y kg,利潤 z萬元,則依題意可得約束 條件: 作出可行域,作直線 l: 7x 12y 0,把直線 l 向右上方平移至 l1位置,直線經(jīng)過可行域上的 點 M,且與原點距離最大,此時 z 7x 12y取 最大值 9 x 4 y 360 4 x 5 y 200 3 x 10 y 300 x 0 y 0

10、 利潤目標函數(shù)為: z 7 x 12 y . 解方程組 3 x 10 y 300 , 4 x 5 y 200 , 得 M 點坐標為 ( 20,24) 即應(yīng)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品 20 t ,乙種產(chǎn)品 24 t ,才能使此工廠 獲得最大利潤 某公司的倉庫 A存有貨物 12噸,倉庫 B存有 貨物 8噸,現(xiàn)按 7噸、 8噸和 5噸把貨物分別調(diào)運 給甲、乙、丙三個商店,從倉庫 A運貨物到商 店甲、乙、丙,每噸貨物的運費分別為 8元、 6 元、 9元;從倉庫 B運貨物到商店甲、乙、丙, 每噸貨物的運費分別為 3元、 4元、 5元,問應(yīng) 如何安排調(diào)運方案,才能使得從兩個倉庫

11、運貨 物到三個商店的總運費最少? 先設(shè)倉庫 A運給甲、乙商店的貨物噸數(shù),利 用題設(shè)等量關(guān)系表示出其他運物噸數(shù),從而 表示出目標函數(shù) 總運費,列出線性約束條 件,建立線性規(guī)劃模型 解題過程 將實際問題的一般語言翻譯成數(shù) 學(xué)語言可得下表 (即運費表,單位:元 ) 設(shè)倉庫 A運給甲、乙商店的貨物分別為 x噸、 y 噸,則倉庫 A運給丙商店的貨物為 (12 x y) 噸;從而倉庫 B運給甲、乙、丙商店的貨物應(yīng) 分別為 (7 x)噸, (8 y)噸, 5 (12 x y)噸, 即 (x y 7)噸,于是總運費為 商店 每噸運費 倉庫 甲 乙 丙 A 8 6 9 B 3 4

12、5 z 8x 6y 9(12 x y) 3(7 x) 4(8 y) 5(x y 7) x 2y 126. 則問題轉(zhuǎn)化為求總運費 z x 2 y 126 在約束條件 12 x y 0 7 x 0 8 y 0 x y 7 0 x 0 y 0 即在 0 x 7 0 y 8 x y 7 x y 12 下的最小值 答: 倉庫 A運給甲、乙、丙商店的貨物分別為 0 噸、 8噸、 4噸;倉庫 B運給甲、乙、丙商店的 貨物分別為 7噸、 0噸、 1噸,此時,可使得從 兩個倉庫運貨物到三個商店的總運費最少 作出上述不

13、等式組所表示的平面區(qū) 域,即可行域, 作出直線 l: x 2 y 0 ,把直線 l 作 平行移動,顯然當直線 l移動到過點 A ( 0,8) 時,在可行域內(nèi), z x 2 y 126 取得最小值 z m in 0 2 8 126 1 10. 即 x 0 , y 8 時,總運費最少 題后感悟 (1)線性規(guī)劃問題中條件往往較多 , 需注意借助表格或圖形梳理題目中的條件 (2)在切實認真審題的基礎(chǔ)上 , 將約束條件全 部羅列出來 , 最后要檢查能否取等號 , 未知量 是否為正整數(shù)或有其他范圍的限制 2.某工廠要制造 A種電子裝置 45臺 , B種電

14、子裝 置 55臺 , 需用薄鋼板給每臺裝置配一個外殼 , 已知薄鋼板的面積有兩種規(guī)格:甲種薄鋼板每 張面積 2 m2, 可做 A, B外殼分別為 3個和 5個 , 乙種薄鋼板每張面積 3 m2, 可做 A, B外殼各 6 個 , 求兩種薄鋼板各用多少張 , 才能使總的用 料面積最小 解析: 設(shè)用甲種薄鋼板 x 張,乙種薄鋼板 y 張,則 3 x 6 y 45 , 5 x 6 y 55 , x 0 , y 0 , 所以總面積為 z 2 x 3 y . 作出可行域如圖所示當直線經(jīng)過交點 A 時, z 取得最 小值 由 3 x 6 y 45 ,

15、 5 x 6 y 55 , 得 x 5 , y 5. 所以 zmin 2 5 3 5 25. 即甲 、 乙兩種鋼板各用 5張時 , 能保證制造 A, B兩種外殼的數(shù)量 , 同時又能使總的用 料面積最小 某運輸公司接受了向抗洪搶險地方每天至少 運送 180噸支援物資的任務(wù),該公司有 8輛載重 為 6噸的 A型卡車與 4輛載重為 10噸的 B型卡車, 有 10名駕駛員,每輛卡車每天往返的次數(shù)是: A型卡車為 4次, B型卡車為 3次每輛卡車每 天往返的成本費為: A型卡車為 320元, B型卡 車為 504元,請你為該公司調(diào)配車輛,使公司 所花成本費最低 解

16、答本題可先轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,再利用 線性規(guī)劃問題的知識求解,注意車輛數(shù)應(yīng)為 整數(shù) 解題過程 設(shè)每天從該公司調(diào)出 A 型卡車 x 輛, B 型卡 車 y 輛,公司每天所花成本為 z 元,則 z 320 x 504 y ,其中 x , y 滿足約束條件 0 x 8 0 y 4 x y 10 24 x 30 y 180 x , y N ,即 0 x 8 0 y 4 x y 10 4 x 5 y 30 x , y N , 作可行域如圖 ( 陰影內(nèi)的整點 ) 所示 作直線 l: 320 x 504y 0,

17、 作一組與 l平行的直線 l: 320 x 504y t(t R), 由題設(shè) x, y是可行域內(nèi)的整點的橫 、 縱坐標 在可行域內(nèi)的整點中 , 點 (8,0)使 t取最小值 , 即當 l過點 (8,0)時 , t最小 , 即 zmin 8 320 2 560(元 ) 答:每天從公司調(diào) A型卡車 8輛就能完成任務(wù) , 且公司所花成本費最低 題后感悟 對于線性規(guī)劃中的最優(yōu)整數(shù)解的 問題 , 當解方程組得到的解不是整數(shù)解時 , 可 用下面的方法求解: (1)平移直線法:先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格 , 再描 整點 , 平移直線 l, 最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整 點坐標是整點最

18、優(yōu)解 (2)檢驗優(yōu)值法:當可行域內(nèi)整點個數(shù)較少時 , 也可將整點坐標逐一代入目標函數(shù)求值 , 經(jīng)比 較得最優(yōu)解 3.有糧食和石油兩種物資,可用輪船與飛機兩 種方式運輸,每天每艘輪船和每架飛機的運輸 效果見下表: 現(xiàn)在要在一天內(nèi)運輸 2 000t糧食和 1 500t石油需 至少安排多少艘輪船和多少架飛機? 方式 效果 種類 輪船運 輸量 (t) 飛機運 輸量 (t) 糧食 300 150 石油 250 100 解析: 設(shè)需要安排 x 艘輪船和 y 架飛機, 則有 300 x 150 y 2 000 250 x 100 y 1 500

19、x 0 y 0 x , y N ,即 6 x 3 y 40 5 x 2 y 30 x 0 y 0 x , y N , 目標函數(shù)為: z x y . 作出可行域,如圖所示, 作出直線 l 0 : x y 0 ,平移直線經(jīng)過直線 6 x 3 y 40 0 和 y 0 的交點 A 20 3 , 0 得直線 l 1 的方程為 x y 20 3 . 由于 20 3 不 是整數(shù),而最優(yōu)解 ( x , y ) 中 x , y 必須都是整數(shù),所以,可行 域內(nèi)點 20 3 , 0 不是最優(yōu)解經(jīng)過可行域內(nèi)的整點 ( 橫、縱坐 標都

20、是整數(shù)的點 ) 且與原點距離最近的直線經(jīng)過的整點是 ( 7,0) ,即為最優(yōu)解 答: 至 少安排 7 艘輪船和 0 架飛機 1 解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟: (1)審題 仔細閱讀 , 對關(guān)鍵部分進行 “ 精 讀 ” , 準確理解題意 , 明確有哪些限制條件 , 起關(guān)鍵作用的變量有哪些 , 由于線性規(guī)劃應(yīng)用 題中的量較多 , 為了理順題目中量與量之間的 關(guān)系 , 有時可借助表格來理順 (2)轉(zhuǎn)化 設(shè)元 寫出約束條件和目標函數(shù) , 從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問 題 (3)求解 解這個純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題 (4)作答 就應(yīng)用題提出的問題作出回答 2

21、解答線性規(guī)劃應(yīng)用題應(yīng)注意的問題 (1)在線性規(guī)劃問題的應(yīng)用中 , 常常是題中的 條件較多 , 因此認真審題非常重要; (2)線性約束條件中有無等號要依據(jù)條件加以 判斷; (3)結(jié)合實際問題 , 分析未知數(shù) x、 y等是否有限 制 , 如 x、 y為正整數(shù) 、 非負數(shù)等; (4)分清線性約束條件和線性目標函數(shù) , 線性 約束條件一般是不等式 , 而線性目標函數(shù)卻是 一個等式; (5)圖對解決線性規(guī)劃問題至關(guān)重要 , 關(guān)鍵步 驟基本上都是在圖上完成的 , 所以作圖應(yīng)盡可 能地準確 , 圖上操作盡可能規(guī)范 但作圖中必 然會有誤差 , 假如圖上的最優(yōu)點不容易看出時 , 需將幾個有

22、可能是最優(yōu)點的坐標都求出來 , 然 后逐一檢查 , 以確定最優(yōu)解 有一批鋼管,長度都是 4 000 mm ,要截成 5 00 mm 和 600 mm 兩種毛坯,且這兩種毛坯數(shù)量比大于 1 3 ,要使鋼管截 得的毛坯最多,有幾種合理的截法? 解析: 設(shè)截 500 mm 的 x 根, 600 mm 的 y 根,則 x 、 y 滿 足的約束條件為 500 x 600 y 4 000 , x y 1 3 , x N , y N , 即 5 x 6 y 40 , 3 x y 0 , x N , y N , 【錯解一】 作出可行域如

23、圖陰影部分,目標函數(shù) z x y ,作一組平行線 y x z ,由圖知,當直線過 A 時 z 最大 由 y 3 x , 5 x 6 y 40 , 解得 x 1 17 23 , y 5 5 23 , A 1 17 23 , 5 5 23 . 此時 x y 6 22 23 . x , y N , x y 的最大值為 6 , 【錯因】 此解法主要是由作平行線不準確造成 的直線 5 x 6 y 40 的斜率為 5 6 ,直線 y x z 的斜率為 1 , 5 6 1 , 直線 5 x 6 y

24、40 的傾斜角應(yīng)大于 y x z 的傾斜角 【錯解二】 作出可行域,如圖陰影部分,由圖知當直線 y x z 過點 B ( 8,0) 時 z 最大,所以 x y 的最大值為 8 , 【 錯因 】 此解法由于忽視了實際背景而致 錯 題目要求截兩種毛坯 , 而非一種 事實上 點 B(8,0)也并不在可行域內(nèi) 【 正解 】 作可行域如圖所示 , 由圖知當直線 y x z過點 B(8,0)時 z最大 , 此時 x y 8. x, y N , (8,0)不是最優(yōu)解 在可行域 內(nèi)找整點 (x, y), 使得 x y 7.經(jīng)檢驗 , 可知 點 (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)均為最優(yōu) 解 故有 5種合理的截法

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