古典概型和幾何概型.docx

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1、一、 古典概型 1）基本事件：一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果都是隨機(jī)事件，這類隨機(jī)事件稱為基本事件． 2）基本事件的特點(diǎn)： ① 任何兩個(gè)基本事件是互斥的； ② 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和． 3）我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，其特征是： ① 有限性：即在一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)． ② 等可能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的；稱這樣的試驗(yàn)為古典概型． 4）基本事件的探索方法： ① 列舉法：此法適用于較簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)． ② 樹狀圖法：這是一種常用的方法，適用于較為復(fù)雜問題中的基本事件探索． 5）在古典概型中涉及兩種不通的抽取放

2、方法，下列舉例來(lái)說(shuō)明：設(shè)袋中有個(gè)不同的球，現(xiàn)從中一次模球，每次摸一只，則有兩種摸球的方法： ① 有放回的抽樣 每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，這種模球的方法稱為有放回的抽樣，顯然對(duì)于有放回的抽樣，依次抽得球可以重復(fù)，且摸球可以無(wú)限地進(jìn)行下去． ② 無(wú)放回的抽樣 每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，這種模球方法稱為五放回抽樣，每次摸的球不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，且摸球只能進(jìn)行有限次． 二、 古典概型計(jì)算公式 1）如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是； 2）如果某個(gè)事件 包括的結(jié)果有個(gè)，那么事件 的概率． 3）事件

3、與事件是互斥事件 4）事件與事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件． 古典概型注意： ① 列舉法：適合于較簡(jiǎn)單的試驗(yàn)． ② 樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求．另外在確定基本事件時(shí)，可以看成是有序的，如與不同；有時(shí)也可以看成是無(wú)序的，如與相同． 三、幾何概型 事件理解為區(qū)域的某一子區(qū)域，的概率只與子區(qū)域的幾何度量（長(zhǎng)度、面積或體積）成正比，而與的位置和形狀無(wú)關(guān)，滿足此條件的試驗(yàn)稱為幾何概型． 四、幾何概型的計(jì)算 1）幾何概型中，事件的概率定義為，其中表示區(qū)域的幾何度量，表示區(qū)域的幾何度量． 2）兩種類型 線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)． 面

4、型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)，一般是把兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決． 五、幾何概型具備以下兩個(gè)特征： 1）無(wú)限性：即每次試驗(yàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)，且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來(lái)表示； 2）等可能性：即每次試驗(yàn)的各種結(jié)果(基本事件)發(fā)生的概率都相等． 一、古典概型 古典概型是基本事件個(gè)數(shù)有限，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等的一種概率模型，其概率等于隨機(jī)事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)與基本事件的總個(gè)數(shù)的比值． 【題干】甲、乙、丙、丁個(gè)足球隊(duì)參加比賽，假設(shè)每場(chǎng)比賽各隊(duì)取勝的概率相等，現(xiàn)任意將這個(gè)隊(duì)

5、分成兩個(gè)組（每組兩個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】甲、乙在同一組：.甲、乙不在同一組，但相遇的概率：. 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】有十張卡片，分別寫有、、、、和、、、、， （1）從中任意抽取一張，①求抽出的一張是大寫字母的概率；②求抽出的一張是或的概率； （2）若從中抽出兩張，③求抽出的兩張都是大寫字母的概率；④求抽出的兩張不是同一個(gè)字母的概率； 【答案】 【解析】 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】袋子中裝有編號(hào)為的個(gè)黑球和編號(hào)為的個(gè)紅球，從中任意摸出個(gè)球．

6、 （1）寫出所有不同的結(jié)果； （2）求恰好摸出個(gè)黑球和個(gè)紅球的概率； （3）求至少摸出個(gè)黑球的概率． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）. （2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含了上一問列舉的所有結(jié)果，記“恰好摸出1個(gè)黑球和1紅球”為事件，則事件包含的基本事件為，共6個(gè)基本事件，所以. （3）試驗(yàn)發(fā)生包含的事件共有個(gè)，記“至少摸出個(gè)黑球”為事件，則包含的基本事件為，共個(gè)基本事件，所以. 【點(diǎn)評(píng)】步驟：用列舉法求出基本事件的總數(shù)，求出具體時(shí)間包含的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型求出概率. 二、一維情形的幾何概型（長(zhǎng)度） 將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)

7、隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解． 【題干】在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，的值介于到之間的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，.當(dāng)時(shí)， .在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，的值介于到之間的概率. 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】平面上有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為cm，把一枚半徑為cm的硬幣任意投擲在這個(gè)平面上，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是(　　) A. B

8、． C． D． 【答案】B 【解析】為了確定硬幣的位置，由硬幣中心向靠的最近的平行線引垂線，垂足為；線段長(zhǎng)度的取值范圍就是，只有當(dāng)時(shí)，硬幣不與平行線相碰，所以所求事件的概率. 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】在區(qū)間中任意取一個(gè)數(shù)，則它與之和大于的概率是______． 【答案】 【解析】在區(qū)間中，任意取一個(gè)數(shù)，則它與之和大于的滿足>， 解得，所以，概率為. 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】在長(zhǎng)為的線段上任取一點(diǎn)，并以線段為邊作正方形，則這個(gè)正方形的面積介于與之間的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】由題意可得此概率是幾何概率模

9、型.因?yàn)檎叫蔚拿娣e介于與之間，座椅正方形的邊長(zhǎng)介于到之間，即線段介于到之間，所以的活動(dòng)范圍長(zhǎng)度為：.由幾何概型的概率公式可得. 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】某人向一個(gè)半徑為的圓形標(biāo)靶射擊，假設(shè)他每次射擊必定會(huì)中靶，且射中靶內(nèi)各點(diǎn)是隨機(jī)的，則此人射擊中靶點(diǎn)與靶心的距離小于的概率為（ ） A． B. C． D． 【答案】B 【解析】整個(gè)靶子是如圖所示的大圓，而距離靶心距離小于2用圖中的小圓所示： 故此人射擊中靶點(diǎn)與靶心的距離小于的概率. 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】?jī)筛嗑嗟哪緱U上系一根拉直的繩子，并在繩子上掛

10、一彩珠，則彩珠與兩端距離都大于的概率為（ ） A. B． C． D． 【答案】. 【解析】設(shè)事件為“燈與兩端距離都大于”，根據(jù)題意，事件對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度為的部分，因此，事件發(fā)生的概率. 【點(diǎn)評(píng)】 三、二維情形的幾何概型（面積） 數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件發(fā)生的區(qū)域，利用公式可求． 【題干】如圖，，，，在線段上任取一點(diǎn)，試求： （1）為鈍角三角形的概率；（2）為銳角三角形的概率． 【答案】（1）（2） 【解析】如圖，由平面幾何

11、知識(shí)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，． （1）當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段或上時(shí)，為鈍角三角形，記“為鈍角三角形”為事件，則，即為鈍角三角形的概率為． （2）當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，為銳角三角形，記“為銳角三角形”為事件，則，即為銳角三角形的概率為． 【點(diǎn)評(píng)】為直角三角形的概率等于，但直角三角形是存在的，因此概率為的事件不一定是不可能事件． 【題干】已知如圖所示的矩形，長(zhǎng)為，寬為，在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲粒黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為粒，則可以估計(jì)出陰影部分的面積約為________． 【答案】 【解析】設(shè)圖中陰影部分的面積為，由題意可得，解得. 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】小明的爸爸下班駕車經(jīng)過(guò)小明學(xué)校門口，時(shí)

12、間是下午到，小明放學(xué)后到學(xué)校門口的候車點(diǎn)候車，能乘上公交車的時(shí)間為到，如果小明的爸爸到學(xué)校門口時(shí)，小明還沒乘上車，就正好坐他爸爸的車回家，問小明能乘到他爸的車的概率． 【答案】 【解析】 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】在平面直角坐標(biāo)系中，平面區(qū)域中的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，從區(qū)域中隨機(jī)取點(diǎn)． （1）若，，求點(diǎn)位于第四象限的概率； （2）已知直線與圓相交所截得的弦長(zhǎng)為， 求的概率． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）若，，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有個(gè)，列舉如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，時(shí)，點(diǎn)位于第四象限.當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，時(shí)，點(diǎn)位于第四象限.故點(diǎn)位于第四象限的概率為. （2）由已知可知

13、區(qū)域的面積是.因?yàn)橹本€與圓的弦長(zhǎng)為，如圖，可求得扇形的圓心角為，所以扇形的面積為，則滿足的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為，所以的概率為 . 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】如圖，，，，在線段上任取一點(diǎn)，試求： （1）為鈍角三角形的概率； （2）為銳角三角形的概率． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】如圖，由平面幾何知識(shí)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，.（1）當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段或上時(shí)，為鈍角三角形，記“為鈍角三角形”為事件，則. （2）當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，為銳角三角形，記“為銳角三角形”為事件，則. 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】在區(qū)間上任取兩實(shí)數(shù)，求二次方程的兩根都為實(shí)數(shù)的概率． 【答案】 【解析】方程有實(shí)

14、根的條件為，即．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的取值范圍為如圖所示，的正方形的區(qū)域，隨機(jī)事件“方程有實(shí)根”的所圍成的區(qū)域如圖所示的陰影部分．易求得． 【點(diǎn)評(píng)】 四、三維情形的幾何概型（體積） 【題干】在中，，過(guò)直角頂點(diǎn)作射線交線段于，求使的概率． 【答案】. 【解析】設(shè)事件為“作射線，使”．在上取點(diǎn)使，因?yàn)槭堑妊切?，所以，，，所? 【點(diǎn)評(píng)】幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測(cè)度”，如本例以角度為“測(cè)度”．因?yàn)樯渚€落在內(nèi)的任意位置是等可能的．若以長(zhǎng)度為“測(cè)度”，就是錯(cuò)誤的，因在 上的落點(diǎn)不是等可能的． 【題干】設(shè)正四面體的體積為，是正四面體的內(nèi)部的點(diǎn)． （1）設(shè)“”的事件為，求概率； （

15、2）設(shè)“且”的事件為，求概率． 【答案】 【解析】 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行．若蜜蜂在飛行過(guò)程中與正方體玻璃容器個(gè)表面中至少有一個(gè)的距離不大于，則就有可能撞到玻璃上而不安全；若始終保持與正方體玻璃容器個(gè)表面的距離均大于，則飛行是安全的，假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】容易知道，當(dāng)蜜蜂在邊長(zhǎng)為，各棱平行于玻璃容器的棱的正方體內(nèi)飛行時(shí)是安全的．于是安全飛行的概率為． 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】在棱長(zhǎng)為的正方體中，

16、點(diǎn)為底面的中心，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于的概率為________． 【答案】 【解析】點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于的點(diǎn)位于以為球心，以為半徑的半球外．記點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于為事件，則. 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】在棱長(zhǎng)為的正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于等于的概率為（ ） A. B． C. D． 【答案】C 【解析】本題是幾何概型問題，與點(diǎn)距離等于的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)八分之一個(gè)球面， 其體積為：，“點(diǎn)與點(diǎn)距離大于1的概率”事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域體積為：，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于等于的概率為：. 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】設(shè)正四面

17、體的體積為，是正四面體的內(nèi)部的點(diǎn)． ①設(shè)“”的事件為，求概率； ②設(shè)“且”的事件為，求概率． 【答案】①② 【解析】①分別取上的點(diǎn)，并，連結(jié)，則平面平面．當(dāng)在正四面體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖），滿足，故． ②在上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使，在正四面體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足．結(jié)合①，當(dāng)在正四面體的內(nèi)部及正四面體的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，亦即在正四面體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)（是與的交點(diǎn)，是與的交點(diǎn)），同時(shí)滿足且，于是． 【點(diǎn)評(píng)】 五、高考匯編 【題干】（2010年江蘇理科 3）盒子中有大小相同的只白球，只黑球，若從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率________. 【答案】 【解析】 【點(diǎn)評(píng)

18、】 【題干】（2010年江蘇理科4）某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間 中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的根中，有________根在棉花纖維的長(zhǎng)度小于. 【答案】 【解析】 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】（2011江蘇5）從，，，這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率是________. 【答案】 【解析】 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】（2011江蘇6）某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是，，，，，則該組數(shù)據(jù)的方差________. 【答案】 【解析】可以先把這組數(shù)都減去再求方差

19、， 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】（2012年江蘇省5分）某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為的樣本，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取________名學(xué)生． 【答案】. 【解析】分層抽樣又稱分類抽樣或類型抽樣.將總體劃分為若干個(gè)同質(zhì)層，再在各層內(nèi)隨機(jī)抽樣或機(jī)械抽樣，分層抽樣的特點(diǎn)是將科學(xué)分組法與抽樣法結(jié)合在一起，分組減小了各抽樣層變異性的影響，抽樣保證了所抽取的樣本具有足夠的代表性.因此，由知應(yīng)從高二年級(jí)抽取名學(xué)生. 【點(diǎn)評(píng)】 【題干】（2012年江蘇省5分）現(xiàn)有個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于的概率是________． 【答案】. 【解析】∵以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為，，，，其中有個(gè)負(fù)數(shù)，個(gè)正數(shù)計(jì)個(gè)數(shù)小于， ∴從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，它小于的概率是. 【點(diǎn)評(píng)】