數(shù)字圖象處理-第3章.ppt

《數(shù)字圖象處理-第3章.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)字圖象處理-第3章.ppt（59頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、Digital Image Processing 3.1 圖像的幾何變換 3.2 圖像的離散傅立葉變換 3.3 圖像變換的一般表示形式 3.4 圖像的離散余弦變換 3.5 圖像的離散沃爾什哈達瑪變換 3.6 K-L變換 3.7 本章小結(jié) 第 3章 圖像變換 Digital Image Processing 圖像和其它信號一樣，既能在空間域（簡稱空域）處理， 也能在頻率域（簡稱頻域）處理。把圖像信息從空域變換到頻 域，可以更好地分析、加工和處理。 圖像信息的頻域處理具有如下特點 : (1) 能量守恒，但能量重新分配； (2) 有利于提取圖像的某些特征； (3) 正交變換具有能量集中作用，可實現(xiàn)圖

2、像的高效壓縮編 碼； (4) 頻域有快速算法，可大大減少運算量，提高處理效率。 本章除介紹圖像的幾何變換外，主要介紹可分離正交變換， 包括離散傅立葉變換、離散余弦變換、離散哈達瑪 -沃爾什變 換等 。 概 述 Digital Image Processing 圖像的幾何變換包括 : 圖像的空間平移、比例縮放、旋轉(zhuǎn)、仿射變換和圖像插值。 圖像幾何變換的實質(zhì) : 改變像素的空間位置，估算新空間位置上的像素值。 3.1 圖像的幾何變換 Digital Image Processing 圖像幾何變換的一般表達式 : 其中 ， 為變換后圖像像素的笛卡爾坐標 ， 為原 始圖像中像素的笛卡爾坐標 。 這樣就

3、得到了原始圖像與變換后 圖像的像素的對應關(guān)系 。 如果 ， ， 則有 ， 即變換后圖像僅僅是原圖像的簡單拷貝 。 3.1 圖像的幾何變換 ),(),(, yxYyxXvu , vu , yx xyxX ),( yyxY ),( , yxvu Digital Image Processing 平移變換 : 若圖像像素點 平移到 ，則變換 函數(shù)為 ， 寫成矩陣表達式為： 其中 ， 和 分別為 和 的坐標平移量 。 3.1 圖像的幾何變換 ),( yx ),( 00 yyxx 0),( xxyxXu 0( , )v Y x y y y 0 0 y x y x v u 0 x 0y yx Digita

4、l Image Processing Digital Image Processing 3.1 圖像的幾何變換 比例縮放 : 若圖像坐標 縮放到（ )倍，則變換函數(shù)為： 其中 , 分別為 和 坐標的縮放因子，其大 于 1表示放大，小于 1表示縮小。 ),( yx yx ss , 0 0 x y sux svy yx ss , x y Digital Image Processing 3.1 圖像的幾何變換 旋轉(zhuǎn)變換 : 將輸入圖像繞笛卡爾坐標系的原點逆時針旋轉(zhuǎn) 角度，則 變換后圖像坐標為： y x v u c o ss i n s i nc o s 圖像 旋轉(zhuǎn) 變換 的示 例 : (a) 原始

5、圖像 (b) 逆時針旋轉(zhuǎn) 30度后的圖像 Digital Image Processing 3.1 圖像的幾何變換 仿射變換 : 仿射變換的一般表達式為 : 平移、比例縮放和旋轉(zhuǎn)變換都是一種稱為仿射變換的特殊情況。 2 1 0 210 1 x a a au y b b bv 仿射變換具有如下性質(zhì) ： （ 1）仿射變換有 6個自由度（對應變換中的 6個系數(shù)），因此， 仿射變換后互相平行直線仍然為平行直線，三角形映射后仍是 三角形。但卻不能保證將四邊形以上的多邊形映射為等邊數(shù)的 多邊形。 （ 2）仿射變換的乘積和逆變換仍是仿射變換。 （ 3）仿射變換能夠?qū)崿F(xiàn)平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等幾何變換。 Digit

6、al Image Processing 3.1 圖像的幾何變換 上式可以表示成如下的線性表達式 : 設定加權(quán)因子 和 的值，可以得到不同的變換。例如， 當選定 該情況是圖像剪切 的一種列剪切。 （ a）原始圖像 （ b）仿射變換后圖像 0 0 12 12 b a y x bb aa v u ia ib 112 ba 1.02 b 0001 baa Digital Image Processing 3.1 圖像的幾何變換 透視變換 : 把物體的三維圖像表示轉(zhuǎn)變?yōu)槎S表示的過程，稱為透視 變換，也稱為投影映射，其表達式為 : 透視變換也是一種平面映射 ，并且可以保證任意方向上的 直線經(jīng)過透視變換后

7、仍然保持是直線。 透視變換具有 9個自由度（其變換系數(shù)為 9個），故可以實 現(xiàn)平面四邊形到四邊形的映射。 1 333231 232221 131211 y x aaa aaa aaa w v u Digital Image Processing 3.1 圖像的幾何變換 灰度插值 : (1) 最近鄰插值法： 也稱作零階插值，就是令變換后像素的灰 度值等于距它最近的輸入像素的灰度值。 特點：造成的空間偏移誤差為 像素單位，計算簡單。 但當圖像中的像素灰度級有細微變化時，該方法會在圖像中產(chǎn)生 人工的痕跡。 (2)雙線性插值 : 也稱作一階插值 ,該方法通常是沿圖像矩陣的 每一列（行）進行插值，然后對

8、插值后所得到的矩陣再沿著行 （列）方向進行線性插值。 特點 :當對相鄰四個像素點采用雙線性插值時，所得表面 在鄰域處是吻合的，但斜率不吻合。并且雙線性灰度插值的平滑 作用可能使得圖像的細節(jié)產(chǎn)生退化，這種現(xiàn)象在進行圖像放大時 尤其明顯。 2/1 Digital Image Processing 3.1 圖像的幾何變換 灰度插值 : (3)卷積插值法 :當圖像放大時，圖像像素的灰度值插值可以通 過卷積來實現(xiàn)，即將輸入圖像兩行兩列中間插零值，然后通過低 通模板濾波。 輸入圖像鄰域 插零的鄰域 一般低通模板有： 柱形 棱錐形 鐘形 三次 B樣條 2221 1211 xx xx 2221 1211 0

9、000 0 xx xx 11 11 121 242 121 4 1 1331 3993 3993 1331 16 1 14641 41624164 62436246 41624164 14641 64 1 Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 一維離散傅立葉變換（ 1D-DFT） : 1D-DFT的定義 ： 對于有限長序列 ,其 DFT定義為： ， 1D-DFT的矩陣表示 ： )1,2,1,0)( Nnnf 1 0 1 0 1 ( ) ( ) , 0 1 1 ( ) ( ) , 0 1 N nu N n N nu N u F u f n W u N N

10、 f n F u W n N N )1( )2( )1( )0( )1( )2( )1( )0( )1)(1(1)1(0)1( )1(22120 )1(11110 )1(00100 Nf f f f WWW WWW WWW WWW NF F F F NN N N N N N N NNN N NNN N NNN UfF e x p 2 /NW j N Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 其中： ， ， 其中的 稱為變換矩陣。從 的構(gòu)成形式可知， 是對稱的，即 又由 ，則 稱為酉矩陣，且 ， 而 1D-DFT就稱為正交變換。 同理可得到反變換的矩陣表示：

11、 TNFFFFF )1()2()1()0( 0 0 0 1 0 ( 1 ) 1 0 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) 0 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) N N N N N N N N N N N N N N N W W W W W W U W W W TNfffff )1()2()1()0( U U U UU T NT IUU *)( U *)(1 UUU T FUFUf *1 Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 二維離散傅立葉變換（ 2D-DFT） 1、 2D-DFT的定義 : 其中， 都是整數(shù)， 它們的取值范圍 : 1 0 1 0 )

12、( 1 0 1 0 ),( 1 ),( ),( 1 ),( N u N v nvmu N N m N n nvmu N WvuF N nmf Wnmf N vuF vun , 1,0 Nvunm 2、幾個相關(guān)參數(shù) : 傅立葉變換表示為復數(shù)形式 : 上式也可表示成指數(shù)形式： 通常稱 為 的頻譜或幅度譜， 為相位。 ， 頻譜的平方稱為功率譜，即 : ),(),(),( vujIvuRvuF ),(),(),( vujevuFvuF ),( nmf ),( vu ),(),(),( 22 vuIvuRvuF ),( ),(a r c t a n),( vuR vuIvu ),(),(),( 22 v

13、uIvuRvuP ),( vuF Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 3、 2D-DFT的性質(zhì) : （ 1）變換核的可分離性 ： 在離散傅立葉變換中， 稱為變換核， 將 代入 2D-DFT定義式的正變換中，得 nvmuNWNnvmuj /)(2e x p m u nv m u nvN N NW W W 11 00 11 00 1 0 1 ( , ) ( , ) 11 ( , ) 1 ( , ) ( , ) NN m u n v N mn NN n v m u NN mn N mu N m F u v f m n W N f m n W W NN F

14、m v W N F u v 該性質(zhì)說明 2D-DFT可通過 兩次 1D-DFT完成，即按如下 兩種方法來實現(xiàn) 2D-DFT ： ),(),(),( 11 vuFvmFnmf D F TDD F TD 沿行沿列 ),(),(),( 11 vuFnuFnmf D F TDD F TD 沿列沿行 或 Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 （ 2）移位特性： 若 ，則： a.空間移位 : b.頻域移位 : c.移位時幅度不變 : ， d.頻譜中心化 :令 ，則 即使 的頻譜從原點 移到中心 。 ( , ) ( , )f m n F u v )(00 00),(

15、),( vnumNWvuFnnmmf ),(),( 00)( 00 vvuuFWnmf nvmuN ),(),( 00 vuFnnmmf ),(),( 00 vvuuFnmf 200 Nvu 221 ( , ) ,mn NNf m n F u v )0,0( 22,NN),( nmf （ a）原圖像 （ b） |F(u, v)|的示意圖 （ c） |F(u-N/2, v-N/2)|的示意圖 Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 （ 3）周期性和共軛對稱性： a.周期性 : 其中 和 為整數(shù) 。 b.共軛對稱性 : 圖像 為實函數(shù)，則 具有共軛對稱性，即

16、 : （ 4）旋轉(zhuǎn)不變性 : 若用極坐標 ,則 以及其傅立葉變換 就可以轉(zhuǎn)化為 和 ， 這樣 ， 則 ),(),( bNnaNmfnmf ),(),( bNvaNuFvuF a b ),( nmf ),( vuF ),(),(* vuFvuF ( , ) | ( , ) |F u v F u v s i n,c o s,s i n,c o s vurnrm nmf , vuF , ,rf ,F ),(),( Frf ),(),( 00 Frf Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 從上式可見，空域中函數(shù) 旋轉(zhuǎn) 角度， 它的傅立葉變換 也旋轉(zhuǎn)同樣大小的角

17、度，反之亦然。 （ a）原始圖像 （ b）頻譜 （ c）圖像旋轉(zhuǎn) 45o （ d）圖 c的頻譜 （ 5）實偶函數(shù)的 DFT: 若 , 則 nmf , 0 vuF , N nv N munmfvuF N m N n ee 2c os2c os),(),( 1 0 1 0 ),(),( nmfnmf ee ， 僅有余弦項的實部。 Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 （ 6）實奇函數(shù)的 DFT: 若 , 則 ，僅有正弦項的虛部。 （ 7）線性性 : 若 和 是常數(shù)，傅立葉的正反變換都是線性變換，即 （ 8）比例性（尺度變換） : 若 和 是標量， ，則 N

18、 nv N munmfjvuF N m N n oo 2s i n2s i n),(),( 1 0 1 0 ),(),( nmfnmf oo a b ),(),(),(),( 2121 nmfD F TbnmfD F TanmbfnmafD F T ),(),(),(),( 2121 vuFI D F TbvuFI D F TavubFvuaFI D F T a b ),(),( vuFnmf ),(),( 1 bvauab Fbnamf Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 （ 9）平均值 : 數(shù)字圖像的平均值可以定義為 : 將 代入 公式，有 :

19、故 。 （ 10）卷積定理 : 1 0 1 0 1 ),(),( 2 N m N nN nmfnmf 0 vu ),( vuF 1 0 1 0 1 ),()0,0( N m N n N nmfF )0,0(),( 1 Fnmf N ),(),(),(),( ),(),(),(),( vuHvuFnmhnmf vuHvuFnmhnmf ee ee Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 其中： 0 1 , 0 1,;( , ) 1 , 10;e m A n Bf m nf m n A m M B n N 0 1 , 0 1,;( , ) 1 , 10;e

20、m C n Dh m nh m n C m M D n N 1 0 1 0 ),(),( M m N n nv N mu Me WWnmfvuF , 0 1 , 0 1u M v N 1 0 1 0 ),(),( M m N n nv N mu Me WWnmhvuH , 0 1 , 0 1u M v N 1,1 DBNCAM 1 0 1 0 ),(),(),(),( M i N j eeee jnimhjifnmhnmf Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 （ 11）相關(guān)定理： 其中： ),(*),(),(),( vuHvuFnmhnmf ee )

21、,(*),(),(),( vuHvuFnmhnmf ee 1 0 1 0 ),(),(),(),( M i N j eeee jnimhjifnmhnmf 相關(guān)主要應用于模板和原型匹配 給定一個未知圖像和已知圖像集之間求最緊密的匹配。 其基本途徑是求相關(guān)，然后取相關(guān)函數(shù)最大值。 Digital Image Processing 3.2 圖像的離散傅立葉變換 4. 2D-DFT的計算 根據(jù)傅立葉變換核的可分離性， 2D-DFT可用兩步 1D-DFT 來實現(xiàn)，而 1D-DFT有快速算法 FFT，這也就說明 2D-DFT就可用 FFT來完成，即 ),( ),(),( nmfFFTFFT nmfFFT

22、FFTvuF mn nm Digital Image Processing 3.3 圖像變換的一般表示形式 前面介紹的 2D-DFT只是可用于圖像變換的一種可分離的、正交變換， 根據(jù)它的計算方法及特性，我們總結(jié)出圖像變換的一般表達形式。 1. 圖像變換的一般表達式 其中 和 分別稱為正、反變換核。 2. 正交變換 將圖像變換公式中的正變換寫成矩陣表達式，為 其中的 稱為變換矩陣 。 1 0 1 0 1 0 1 0 1,0;),(),(),( 1,0;),(),(),( N u N v N m N n NnmvunmhvuFnmf NvuvunmgnmfvuF ),( vunmg ),( vun

23、mh GfF G Digital Image Processing 3.3 圖像變換的一般表示形式 (1) 正交變換矩陣及其主要性質(zhì) a.定義 : 定義 1若 階實數(shù)矩陣 滿足 ,則 稱為正交矩陣； 定義 2若 階復數(shù)矩陣 滿足 ,則 稱為酉矩陣。 其中， 表示 的轉(zhuǎn)置， 表示 的共軛， 表示單位矩陣。 b.幾個性質(zhì) : 性質(zhì) 1 若 為正交矩陣，則 若 為酉矩陣，則 性質(zhì) 2（正交歸一）若 為正交（或酉）矩陣，則在 中各行 （或列）向量的模為 1，任意不同行（或不同列）向量之間正交 。 N NNG NT IGG G N NNG NT IGG *)( G TG G *G G NI G TGG

24、1 G TGG *)(1 G G Digital Image Processing 3.3 圖像變換的一般表示形式 性質(zhì) 3 若 是正交（或酉）矩陣，則其行列式的模 。 性質(zhì) 4 若 是正交（或酉）矩陣，則 和 也是正交（或酉） 矩陣。 性質(zhì) 5 若 和 是正交（或酉）矩陣，則 也是正交（或 酉）矩陣。 (2) 正交變換 : 變換矩陣是正交（或酉）矩陣的變換稱為正交變換。如前面介 紹的 2D-DFT就是正交變換。 (3) 二維正交變換下的能量守恒 : 即 G 1G G TG 1G 1G 2G 1G 2G 1 0 1 0 1 0 1 0 22 ),(),(N m N n N u N v vuFn

25、mf Digital Image Processing 3.3 圖像變換的一般表示形式 3. 可分離變換 （ 1） 可分離變換核 : 若 ，則稱正變換核是可分離的。 若 ，則稱反變換核是可分離的。 （ 2） 可分離變換 : 變換核可分離的變換稱為可分離變換。二維可分離變換可由兩 步一維變換來完成，即 或 ),(),(),( 21 vngumgvunmg ),(),(),( 21 vnhumhvunmh 1 0 11 1 0 1 0 2 ),(),(),(),(),(),( N m N m N n umgvmFumgvngnmfvuF 1 1 1 1 2 20 0 0( , ) ( , ) (

26、, ) ( , ) ( , ) ( , ) N N N n m n F u v f m n g m u g n v F u n g n v Digital Image Processing 3.3 圖像變換的一般表示形式 4. 可分離正交變換 其中 是數(shù)字圖像矩陣， 是經(jīng)正變換后得到的變換域的結(jié)果： 和 是正變換核 分離后所得的變換矩陣 ： 如果 和 都有逆矩陣存在，則可得到反變換核為 : 12TF G f G f F )1,1()1,1()0,1( )1,1()1,1()0,1( )1,0()1,0()0,0( ),( NNfNfNf Nfff Nfff nmff )1,1()1,1()0,

27、1( )1,1()1,1()0,1( )1,0()1,0()0,0( ),( NNFNFNF NFFF NFFF vuFF 1G 2G g )1,1()1,1()0,1( )1,1()1,1()0,1( )1,0()1,0()0,0( 111 111 111 1 NNgNgNg Nggg Nggg G )1,1()1,1()0,1( )1,1()1,1()0,1( )1,0()1,0()0,0( 222 222 222 2 NNgNgNg Nggg Nggg G 1G 2G 1211 FGGf T Digital Image Processing 3.3 圖像變換的一般表示形式 變換核可分離的

28、正交變換，稱為可分離正交變換。分離后的變 換矩陣 和 都是正交矩陣（或酉矩陣）。 根據(jù)正交變換矩陣的性質(zhì) ,得到可分離正交變換的反變換為 : , 和 為酉矩陣。 或 ， 和 為正交矩陣。 因此，可分離正交變換的矩陣表示式為 上節(jié)介紹的 2D-DFT就是可分離的正交變換，其變換核也是對稱的。 1G 2G *12() Tf G F G 1G 2G TFGGf 21 )( )( 21 21 * 2 * 1 21 21 為酉矩陣和 為正交矩陣和 或 GG GG GFGf FGGf fGGF T T T 1G 2G Digital Image Processing 3.4 圖像的離散沃爾什哈達瑪變換 沃

29、爾什 -哈達瑪變換的變換矩陣僅由 1和 1組成，與數(shù)值邏輯的兩個 狀態(tài)相對應，故更適用于計算機實現(xiàn)，同時占用空間少，且計算簡單，在圖 像的正交變換中得到了廣泛應用。 離散哈達瑪變換（ DHT） 1. Hadamard變換核 : 當 時，函數(shù)的 DHT記作 ，其變換核為： 其中 是非負整數(shù) 的二進制表示的第 位 因此， 1-D離散哈達瑪變換為 : 將變換核寫成矩陣形式，則哈達瑪變換矩陣為： 最低階： nN 2 )(uF 1 0 ( ) ( ) 1( , ) ( 1 ) n ii i b m b u Nh m u mbk m k 1 0 ),()()( N m umhmfuF 11 11212H

30、Digital Image Processing 圖像的離散沃爾什哈達瑪變換 遞推階： ,(N= , =1,2， ) 變號次數(shù) 如： 2. Hadamard變換核特點 : （ 1）遞推性： 可以由 遞推得到 ; （ 2）變換矩陣 為實的正交對稱矩陣 ; （ 3）行（或列）變號次數(shù)亂序。 NN NN N HH HHH 2 1 2 l2 l 22 1 4 2 22 1 1 1 1 0 1 1 1 1 31 1 1 1 1 12 1 1 1 1 2 HH H HH k NH2 NH NH Digital Image Processing 圖像的離散沃爾什哈達瑪變換 3. 2D-DHT 2D哈達瑪正變

31、換核由下式給出 上式也可寫為： 寫成矩陣形式，即為 : 反變換與正變換形式相同 : 1 0 )()()()( )1(1),( n i iiii vbnbubmb Nvunmh ),(),()1(1)1(1),( 1 0 1 0 )()()()( vnhumhNNvunmh n i ii n i ii vbnbubmb 1 0 1 0 1 0 1 0 ),(),(),( ),(),(),( N m N n N m N n umhvnhnmf vunmhnmfvuF NN fHHF NN FHHf Digital Image Processing 圖像的離散沃爾什哈達瑪變換 離散沃爾什變換（ DW

32、T） 1. 變換核 當 時，函數(shù) 的 DWT記為 ，其變換核為： 其中 是非負整數(shù) 的二進制表示的第 位 ,因此， 1-D離散 沃爾什變換為： 例如，當 N 4時 : nN 2 )(mf )(uF ubmbn i ini N umw 11 0 11, mbk m k 1,1,0),(1 0 NuumwmfuF N m 1111 1111 1111 1111 2 1 4w Digital Image Processing 舉例， Walsh變換核的值求解過程： 設 N=8（ n=3），則 求 w（ 0,0），即 m=0=0002； u=0=0002， 顯然， b2（ 0） =0， b1（ 0）

33、=0， b0（ 0） =0 ， 所以， w（ 0,0） = (-1)0*0 (- 1)0*0 (- 1)0*0 = 。 8/1 8/1 Digital Image Processing N=8時 1-D的沃爾什變換核的值 (常數(shù) 略去 ） 。 例如 x=6(110)， u=1(001)， 則 bi(x)bn-1-i(u)=1+0+0=1， 所以系數(shù)為 -1。 Digital Image Processing 2-D沃爾什正變換和反變換： 沃爾什正變換核和反變換核都是可分離的和對稱的 ， g(x, y, u, v) = g1 (x, u)g1 (y, v) = h1 (x, u)h1 (y, v

34、) 2-D的沃爾什正反變換都可分成兩個步驟計算 ， 每個 步驟用一個 1-D變換實現(xiàn) 。 1 0 )()()()( 1 0 1 0 11)1(),(1),( n i vbybubxb N x N y iniiniyxf N vuW 1 0 )(1)()(1)(1 0 1 0 )1(),(),( n i vinbyibuinbxibN u N v vuWyxf Digital Image Processing 圖象變換可以通過對核進行恰當?shù)募墧?shù)展開 來得到 由于正向變換核和反向變換核只依賴于 x， y ， u, v而與 f(x, y)或 F(u, v)的值無關(guān) 。 這些核 可看作一組基本函數(shù) ，

35、 一旦圖象尺寸確定這 些函數(shù)也完全確定 。 例如對沃爾什變換 ： W=UFV = (uo t uN-1 t ) F ui t vj即為基本函數(shù) 。 1N 0 v v i j j t iij vuf Digital Image Processing 例如對 N=4， l-D沃爾什變換核的值： Digital Image Processing 則 ： uo = (1 1 1 1), vo = (1 1 1 1), u1 = (1 1 1 1 ), v1 = (1 1 1 1 ), u2 = (1 1 1 1 ), v2 = (1 1 1 1 ), u3 = (1 1 1 1)， v3 = (1 1

36、 1 1) 每個大方塊對應固定的 U和 V，內(nèi)部的小方塊對應的 x,y 從 0變到 3，若計算 W(0,0),將圖像與對應的 U=V=0的方 塊進行點點相乘，再將結(jié)果相加最后除以 4即可 Digital Image Processing 圖像的離散沃爾什哈達瑪變換 2. Walsh變換核特點 : （ 1）變換核可由哈達瑪變換核間接得到（間接遞推）； （ 2）變換矩陣為實的正交對稱矩陣； （ 3）行（或列）變號次數(shù)按自然定序 （由小到大） 排列。 3. 2D-DWT: 2D-DWT的矩陣形式為： 反變換為： NN fWWF NN FWWf Digital Image Processing 圖像的

37、離散沃爾什哈達瑪變換 2D-DHT和 2D-DWT的特點及舉例 1. 2D-DHT-DWT特點 : （ 1）都是可分離的正交變換。 （ 2）都是實函數(shù)變換。 （ 3）正反變換形式完全相同。 （ 4）變換核中不存在正、余弦函數(shù)，所以用計算機計算 時，不會因字長有限而產(chǎn)生附加噪聲。 （ 5）由于是正交變換，具有很好的能量集中作用。 Digital Image Processing 圖像的離散沃爾什哈達瑪變換 2. 2D-DHT和 2D-DWT舉例 例 1 已知： 則 1331 1331 1331 1331 1f NN 22 NN 4 HH1111 H - H1 - 122 1 1 1 1 1 -

38、1 1 - 11 H 1 1 - 1 - 12 1 - 1 - 1 1 N HH 由 和 得 0000 0000 0000 4008 441 fHHF Digital Image Processing 圖像的離散沃爾什哈達瑪變換 則 : 例 2已知： 則 : 從上面兩個例子中可看出， DHT和 DWT都滿足變換前后能量守恒， 即 ，但相比于原圖像數(shù)據(jù)，變換后的系數(shù)矩陣具有 能量集中的作用，且數(shù)據(jù)越均勻能量越集中 ,這個特性可用于圖像壓縮中。 0000 0000 0000 0408 442 fWWF 10 10 10 10 22 ),(),(Nm Nn Nu Nv vuFnmf 1111 111

39、1 1111 1111 2f 0000 0000 0000 0004 442441 fWWFfHHF 1111 1111 1111 1111 2 1 4w Digital Image Processing 離散余弦變換 1-D離散余弦變換 (DCT) 和其反變換由以下 2式定義： 其中 a(u)由下式定義： 1 0 2 )12(c os)()()( N x N uxxfuauC 1 0 2 )12(c os)()()( N u N uxuCuaxf 1,2,1u /2 0u /1 )( NN N ua 圖像的離散余弦變換 Digital Image Processing 其矩陣形式為： f (

40、 x )GC ( u ) NNN NN N N N N N N NN N 2 )1)(12( c os 2 )1(3 c os 2 )1( c os 2 )12( c os 2 3 c os 2 c os 2 1 2 1 2 1 2 G Digital Image Processing 2-D的 DCT對由下面兩式定義： 經(jīng) DCT變換后信號的能量將向左上角集中， 因而有利于圖象數(shù)據(jù)的壓縮。 N vy N uxyxfvauavuC N x N y 2 )12(c o s 2 )12(c o s),()()(),( 1 0 1 0 N vy N uxvuCvauayxf N u N v 2 )1

41、2(c os 2 )12(c os),()()(),( 1 0 1 0 Digital Image Processing 第四節(jié) 其它可分離圖象變換 Digital Image Processing 3.6 K-L變換 3.6.1 圖像的向量表示和統(tǒng)計參數(shù) 若一幅 的圖像 在信道中傳送了 次，或一物 體形成了 個波段的多光譜圖像，則會得到 幅（幀）圖像 組成的圖像集合為 由于成像或傳輸過程中受到噪聲或干擾的影響，圖像中不可避免地包含 有一些隨機的成份，因此對圖像可計算其統(tǒng)計特性。 1. 圖像的向量表示 對圖像集合中的每一個樣本 可以用 堆疊方式表示成 維向量： 其中的元素 : 式中 為圖像集合

42、中的第 個樣本， 為第 幀第 行元素形成的列向量。 NN ),( nmf L L L ),(,),(),(),( 21 nmfnmfnmfnmf L ),( nmfi 2Nif 1, 1, 0, Ni i i i f f f f )1,( )1,( )0,( , Njf jf jf f i i i ji if i jif, i j Digital Image Processing 3.6 K-L變換 2. 圖像的統(tǒng)計參數(shù) 圖像 向量的協(xié)方差陣定義為 式中 是 的均值向量， 表示求統(tǒng)計平均。 在 幀圖像樣本組成的集合中，可用如下兩式近似，求得 和 ： 其中，均值向量 是 維的列向量，方差向量是

43、維的矩陣。 f T fff mfmfEC fEm f f E L fm fC L i if fLm 1 1 TffL i T ii T fi L i fif mmffLmfmfLC 11 11 fm 2N 22 NN Digital Image Processing 3.6 K-L變換 3.6.2 Cf的特征值和特征向量 1 Cf的特征值 對于 的矩陣 ，有 個標量 ， 能使 其中， 稱作矩陣 的特征值。 2 Cf的特征向量 重新排列特征值，使得 若設 是 的 維特征向量，則有 ， 因此 是一實對稱方陣，則一定存在有 個互為正交的實 特征向量 ，構(gòu)成一個 維的完備正交向量集。 22 NN fC

44、 2N i 2,2,1 Ni 0 IC if i fC 221 N ib fC 2N iiif bbC 2,2,1 Ni fC 2N ib 2N Digital Image Processing 3.6 K-L變換 3.6.3 離散 K-L變換及其性質(zhì) 1. 離散 K-L變換 對各特征向量 進行歸一化處理后，就得到了 K-L變換的變 換矩陣 。 （ 階的正交矩陣） 其中，特征向量 歸一化的過程為： ， 且有 到此，離散 K-L變換可以表示為： ib A 2222 2 2 2 21 22221 11211 2 1 NNNN N N T N T T aaa aaa aaa a a a A ib 2

45、 0 2N j ijijij bba ji jiaa jTi 當， 當0 ,1 fmfAg 2N Digital Image Processing 3.6 K-L變換 2. 離散 K-L變換的性質(zhì) （ 1） 的均值向量 為 0； （ 2） 的方差向量為： （ 3） 為對角陣： 是對角陣，其元素等于 的特征值，即： （ 4）因為 A 是正交矩陣，所以離散 K-L變換是正交變換。 （ 5）由于二維 K-L變換核是不可分離的，所以離散 K-L變換不是可分離變換。 3. 離散 K-L反變換： g gm g T f TT ff TT ff T ff T ggg AAC AmfmfAE AmfmfAE A

46、mAfAmAfE mgmgEC gC fC 200 0 000 000 2 1 N gC fT mgAf gC Digital Image Processing 3.6 K-L變換 3.6.4 圖像的主分量表示和降維重建 離散 K-L變換矩陣 是按特征值 大小排列的相應特征向量 組成的 變換核矩陣，由于能量主要集中于特征值大的系數(shù)中，如果只用特征值較大 的前 個分量來近似表示 ，即丟掉對應于特征值較小的系數(shù)，則對圖像 質(zhì)量不會有大的影響。 用前 個最大的特征值對應的 個特征向量構(gòu)成新的變換矩陣 。 作一新的變換 ： 則可由 維向量 （稱為主分量）代替原來的 維向量 。上式稱為圖 像的主分量表示

47、。 A a k f kk kA 2 1 2 T T k T k kN a a A a fkk mfAg k kg 2N g Digital Image Processing 3.6 K-L變換 相對于 其維數(shù)減少了 維，再作反變換，就得到了原圖像 的降維重建值 ： 可以證明， 和 之間的均方誤差是： 上式表明，如果 （即如果所有的特征向量都用于變換），則誤差為零。 而如果選用 個具有最大特征值的特征向量組成變換矩陣 ，則從圖像的降 維重建和均方誤差降至最小來說，離散 K-L變換是最佳的。由于這種使用特征向 量對應的最大特征值的思想， K-L變換也稱為主分量變換。 下圖給出了利用不同的 個最大特

48、征值對應的特征向量進行降維重建后的估 值圖像，從中看出，當 時，重建圖像的效果已經(jīng)很好。 kg g kN 2 f f fkTk mgAf f f 22 1 1 1 N k N m s i i i i i i k e 2Nk k kA （ a）前 8個特征向量 （ b）前 16個特征向量 （ c）前 32個特征向量 （ d）前 64個特征向量 k 64k Digital Image Processing 3.7 本章小結(jié) 變換作為信號處理的一種基本方法，已廣泛應用于許多領(lǐng)域， 在圖像處理中的許多方法和技術(shù)，包括圖像增強、圖像恢復、壓 縮編碼等都是以變換為基礎的。 本章主要介紹了圖像的幾何變換，離

49、散傅立葉變換、離散 余弦變換、離散沃爾什 -哈達瑪變換等可分離正交變換，以及不 滿足可分離但是正交變換的 K-L變換。當前廣泛使用的小波變換 放在第 6章介紹。 Digital Image Processing 本章要求及作業(yè) 本章要求 1. 了解圖像的幾何變換； 2. 了解圖像的離散傅立葉變換，掌握其主要性質(zhì)； 3. 了解圖像變換的一般表示形式； 4. 掌握圖像離散余弦變換的原理 ； 5. 掌握圖像的離散沃爾什哈達瑪變換； 6. 了解 K-L變換的原理。 本章作業(yè) 1. 思考： 3.1， 3.2， 3.5， 3.8， 3.17 。 2. 作業(yè)： 3.4， 3.10（ 1） ， 3.11（ 2） ， 3.13 。