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1、專題五規(guī)律探索題 題 型 概 述 方 法 指 導規(guī)律探索型問題也是歸納猜想型問題,是指根據已知條件或題干所提供的若干特例,通過觀察、類比、歸納,發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)學對象所具有的規(guī)律性的一類問題.規(guī)律探索型問題體現(xiàn)了“由特殊到一般”的數(shù)學思想方法,規(guī)律探索型問題大致可分為數(shù)式類規(guī)律探索問題、圖形類規(guī)律探索問題和直角坐標系下的點坐標變化規(guī)律類,是中考的熱點題型,考查同學們創(chuàng)新能力.考查的題型既有選擇題、填空題,也有解答題,安徽中考連續(xù)6年都有考查,預計這類題仍然是2019年中考的熱點. 題 型 概 述 方 法 指 導解決這類問題的一般思路是通過對所給的具體的結論進行全面、細致的觀察、分析、比較,從中發(fā)
2、現(xiàn)其變化的規(guī)律,并猜想出一般性的結論,然后再給出合理的證明或加以運用.1.解決這類問題的關鍵是發(fā)現(xiàn)和把握規(guī)律.題目中呈現(xiàn)規(guī)律一般有三種主要途徑:(1)式與數(shù)的特征觀察.(2)圖形的結構觀察.(3)通過對簡單、特殊情況的觀察,再推廣到一般情況.2.規(guī)律探究的基本原則:(1)遵循類推原則,項找項的規(guī)律,和找和的規(guī)律,差找差的規(guī)律,積找積的規(guī)律.(2)遵循有序原則,從特殊開始,從簡單開始,先找3個,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,再 驗證運用規(guī)律. 類 型 一 類 型 二 類 型 一 類 型 二類 型 一數(shù) 式 的 變 化 規(guī) 律例 1(2018安徽,18)見正文P9第3題類 型 三 類 型 一 類 型 二例 2(201
3、7安徽,19)【 閱 讀 理 解 】我們知道,1+2+3+n= ,那么12+22+32+n2結果等于多少呢?在圖1所示的三角形數(shù)陣中,第1行圓圈中的數(shù)為1,即1 2;第2行兩個圓圈中數(shù)的和為2+2,即22;第n行n個圓圈中數(shù)的和為 類 型 三 類 型 一 類 型 二【 規(guī) 律 探 究 】將三角形數(shù)陣型經過兩次旋轉可得如圖2所示的三角形數(shù)陣型,觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)(如第n-1行的第1個圓圈中的數(shù)分別為n-1,2,n),發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為.由此可得,這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為:3(12+22+32+n2)=.因此12+22+32+n2=. 【 解 決
4、 問 題 】 類 型 三 類 型 一 類 型 二分 析 :【規(guī)律探究】將同一位置圓圈中的數(shù)相加即可,所有圈中的數(shù)的和應等于同一位置圓圈中的數(shù)的和乘以圓圈個數(shù),據此可得,每個三角形數(shù)陣和即為三個三角形數(shù)陣和的 ,從而得出答案;【解決問題】運用以上結論,將原式變形為類 型 三 類 型 一 類 型 二解 :【規(guī)律探究】由題意知,每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為n-1+2+n=2n+1,由此可得,這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為:3(12+22+32+n2)【解決問題】 類 型 三 類 型 一 類 型 二類 型 二圖 形 的 變 化 規(guī) 律例 3(2016安徽,18)(1)觀察下列圖形與等式的關系,
5、并填空:類 型 三 類 型 一 類 型 二(2)觀察下圖,根據(1)中結論,計算圖中黑球的個數(shù),用含n的代數(shù)式填空:1+3+5+(2n-1)+()+(2n-1)+5+3+1=.分 析 :(1)根據1+3+5+7=16可得出16=4 2;設第n幅圖中球的個數(shù)為an,列出部分an的值,根據數(shù)據的變化找出變化規(guī)律“an-1=1+3+5+(2n-1)=n2”,依此規(guī)律即可解決問題;(2)觀察(1)可將(2)圖中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,再結合(1)的規(guī)律即可得出結論. 類 型 三 類 型 一 類 型 二解 析 :(1)1+3+5+7=16=42,設第n幅圖中球的個數(shù)為
6、an,觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42,故an-1=1+3+5+(2n-1)=n2.(2)觀察圖形發(fā)現(xiàn):圖中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,即1+3+5+(2n-1)+2(n+1)-1+(2n-1)+5+3+1=1+3+5+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+5+3+1=a n-1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.答 案 :(1)4n2(2)2n+12n2+2n+1 類 型 三 類 型 一 類 型 二例 4(2012安徽,17)在由mn(mn1)個小正方形組成的矩形網格中,研
7、究它的一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)f,(1)當m,n互質(m,n除1外無其他公因數(shù))時,觀察下列圖形并完成下表: 類 型 三 類 型 一 類 型 二猜想:當m,n互質時,在mn的矩形網格中,一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m,n的關系式是(不需要證明);(2)當m,n不互質時,請畫圖驗證你猜想的關系式是否依然成立.分 析 :(1)通過題中所給網格圖形,先計算出25,34,對角線所穿過的小正方形個數(shù)f,再對照表中數(shù)值歸納f與m,n的關系式. (2)根據題意,畫出當m,n不互質時,結論不成立的反例即可. 類 型 三 類 型 一 類 型 二解 :(1)如表:f=m+n-1(2)當m,n不互質時
8、,上述結論不成立,如圖.類 型 三 類 型 一 類 型 二 類 型 三類 型 三直 角 坐 標 系 下 點 的 坐 標 變 化 規(guī) 律例 5(2013安徽,18)我們把正六邊形的頂點及其對稱中心稱作如圖1所示基本圖的特征點,顯然這樣的基本圖共有7個特征點,將此基本圖不斷復制并平移,使得相鄰兩個基本圖的一邊重合,這樣得到圖2,圖3, 類 型 一 類 型 二 類 型 三(1)觀察以上圖形并完成下表:猜想:在圖(n)中,特征點的個數(shù)為(用n表示);(2)如圖,將圖(n)放在直角坐標系中,設其中第一個基本圖的對稱中心O 1的坐標為(x1,2),則x1=;圖2013的對稱中心的橫坐標為. 類 型 一 類
9、 型 二 類 型 三分 析 :(1)觀察圖形,結合已知條件,得出將基本圖每復制并平移一次,特征點增加5個,由此得出圖4中特征點的個數(shù)為17+5=22個,進一步猜想出:在圖n中,特征點的個數(shù)為:7+5(n-1)=5n+2. 類 型 一 類 型 二 類 型 三解 析 :(1)由題意,可知圖1中特征點有7個;圖2中特征點有12個,12=7+51;圖3中特征點有17個,17=7+52;所以圖4中特征點有7+53=22個;由以上猜想:在圖n中,特征點的個數(shù)為:7+5(n-1)=5n+2.(2)如圖,過點O1作O1M y軸于點M, 類 型 一 類 型 二 類 型 三 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2
10、 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 82.(2018湖北武漢)將正整數(shù)1至2 018按一定規(guī)律排列如下表:平移表中帶陰影的方框,方框中三個數(shù)的和可能是 ( D)A.2 019 B.2 018C.2 016 D.2 013 1 2 3 4 5 6 7 8解 析 :相鄰三個整數(shù)的和是3的倍數(shù),所給出的選項不是3的倍數(shù)的不符合題意;表格中每一行8個數(shù),用所給選項除以3,再除以8,根據余數(shù)判斷平移后的三個數(shù)是否在一行,在一行的符合題意,得出答案.設中間的數(shù)為x,則這三個數(shù)分別為x-1,x,x+1.這三個數(shù)的和為3x,所以和是3的倍數(shù),又2 0193=673,673除以8的余數(shù)為1,
11、x在第1列(舍去);2 1083=672且余2,故排除;2 0163=672,672除以8的余數(shù)為0, x在第8列(舍去);2 0133=671,671除以8的余數(shù)為7, x在第7列,所以這三數(shù)的和是2 013,故選答案D. 1 2 3 4 5 6 7 83.(2018重慶B卷)下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成,其中第個圖形中有3張黑色正方形紙片,第個圖形中有5張黑色正方形紙片,第個圖形中有7張黑色正方形紙片,按此規(guī)律排列下去,第個圖形中黑色正方形紙片的張數(shù)為( B)A.11 B.13 C.15 D.17解 析 :根據第個圖形中小正方形的個數(shù)為21+1,第個圖形中小正方形的個數(shù)為22
12、+1,第個圖形中小正方形的個數(shù)為23+1,第n個圖形中小正方形的個數(shù)為2n+1,故第個圖形中 小正方形的個數(shù)為26+1=13,故選B. 1 2 3 4 5 6 7 84.(2015安徽)按一定規(guī)律排列的一列數(shù):21,22,23,25,28,213,若x,y,z表示這列數(shù)中的連續(xù)三個數(shù),猜測x,y,z滿足的關系式是xy=z.解 析 :首項判斷出這列數(shù)中,2的指數(shù)各項依次為1,2,3,5,8,13,從第三個數(shù)起,每個數(shù)都是前兩數(shù)之和;然后根據同底數(shù)的冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加,可得這列數(shù)中的連續(xù)三個數(shù),滿足xy=z,據此解答即可. 2 122=23,2223=25,2325=28,2528=213
13、, x、y、z滿足的關系式是:xy=z.故答案為xy=z. 1 2 3 4 5 6 7 85.(2018遼寧撫順)如圖,正方形AOBO2的頂點A的坐標為A(0,2),O1為正方形AOBO2的中心;以正方形AOBO2的對角線AB為邊,在AB的右側作正方形ABO3A1,O2為正方形ABO3A1的中心;再以正方形ABO3A1的對角線A1B為邊,在A1B的右側作正方形A1BB1O4,O3為正方形A1BB1O4的中心;再以正方形A1BB1O4的對角線A1B1為邊,在A1B1的右側作正方形A1B1O5A2,O4為正方形A1B1O5A2的中心;按照此規(guī)律繼續(xù)下去,則點O2 018的坐標為(21 010-2,
14、21 009). 1 2 3 4 5 6 7 8解 析 :由題圖可知,A1B上有點O2,A2B1上有點O4,A3B2上有點O6,可得點O2 018在A1 009B1 008上,即點O6的縱坐標為點A1 009縱坐標的一半,橫坐標與點A1 009,B1 008的橫坐標相同.設直線AA1交x軸于點C, RtCOA RtCBA1 RtCB1A2 RtCB2A3并且這些直角三角形均為等腰直角三角形,且后一個三角形和前一個三角形的相似比為2 1,已知A(0,2),OC=OA, A n的縱坐標為2n+1,橫坐標為2n+1-2,點O2 018為(21 010-2,21 009). 1 2 3 4 5 6 7
15、 86.(2018黑龍江龍東區(qū))如圖,已知等邊ABC的邊長是2,以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形,得到第一個等邊AB1C1;再以等邊AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形,得到第二個等邊AB2C2;再以等邊AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形,得到第三個等邊AB3C3;,記B1CB2面積為S1,B2C1B3面積為 1 2 3 4 5 6 7 8解 析 :首先要明確,圖中所有的陰影直角三角形都是含30的直角三角形,它們都是相似的,對于每一個含30角的直角三角形,其三邊 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 87.(2018合肥廬陽區(qū)一模)觀察下
16、面的點陣圖和相應的等式,探究其中的規(guī)律:(1)認真觀察,并在后面的橫線上寫出相應的等式. 1 2 3 4 5 6 7 8(2)結合(1)觀察下列點陣圖,并在后面的橫線上寫出相應的等式.1=12;1+3=22;3+6=32;6+10=42;10+15=52;(3)通過猜想,寫出(2)中與第n個點陣相對應的等式 (2)由圖示可知點的總數(shù)是55=25,所以10+15=5 2. 1 2 3 4 5 6 7 88.(2018合肥包河區(qū)質檢一)如圖,每個圖形可以看成由上下左右4個等腰梯形組成或者是外圍大正方形減去正中間的正方形(陰影部分),而每個等腰梯形又由若干個更小的全等正方形和全等等腰直角三角形組成,且等腰直角三角形的面積正好是小正方形面積的一 1 2 3 4 5 6 7 8根據上述規(guī)律,解答下列問題: (2)第n個圖形的面積為:(用含n的式子填空);(3)上面的圖形還可看成一個大正方形再減去中間1個小正方形組再根據這個規(guī)律,完成下列問題:按此規(guī)律,第n個圖形的面積為:() 2-2(用含n的式子填空);比較兩個猜想,寫出你發(fā)現(xiàn)的結論并驗證. 1 2 3 4 5 6 7 8證明:右邊=2n 2+8n+6,左邊=2(1+2+3+n)+(n+n-1+n-2+1)+2n+2(n+3)=2n(n+1)+2n+2(n+3)=2n2+8n+6,左邊=右邊.
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