橢球數(shù)學投影變換(7節(jié)

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1、1 大地測量主題解算4.7.1 大地主題解算的一般說明主題解算分為 : 短距離 (400km) 中距離 (1000km) 長距離 (1000km以上 ) 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1( , ), , ( , ),P B L S A P B L A1 2正算 : 已知求1 1 2 2 1 2 1 2 2 1( , ), ( , ) , ,P B L P B L S A A1 2反算 : 已知，求 2 1.以大地線在大地坐標系中的微分方程為基礎(chǔ) ，直接在地球橢球面

2、上進行積分運算。主要特點：解算精度與距離有關(guān) ，距離越長，收斂越慢，因此只適用于較短的距離典型解法：高斯平均引數(shù) 法 21212 1 2 12 12 1 c o ss inc o sta n s inPPPPPP AB B d SM AL L d SN BBA A A d SN c o ss i nc o st a n s i nd B Ad S Md L Ad S N Bd A B Ad S N 大地測量主題解算 3 2.以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)1)按橢

3、球面上的已知值計算球面相應(yīng) 值，即實現(xiàn) 橢球面向球面的過渡； 2)在球面上解算大地問題； 3)按球面上得到的數(shù) 值計算橢球面上的相應(yīng) 數(shù) 值，即實現(xiàn) 從圓球向橢球的過渡。典型解法：白塞爾大地主題解算特點：解算精度與距離長短無關(guān) ，它既適用于短距離解算，也適用于長距離解算。可適應(yīng) 20 000km或更長的距離，這對于國際聯(lián) 測，精密導航，

4、遠程導彈發(fā) 射等都具有重要意義。大地測量主題解算 4 4.7.2 勒讓德級數(shù) 式為了計算的級數(shù) 展開式，關(guān) 鍵問題是推求各階導數(shù) 。 2 2 3 32 1 1 1 1 12 32 3 n nnd B S dB d B S d B SB B B SdS n dS dS dS( ) ( ) ( ) ( )! ! ! L2 2 21B B S L L S A A S( ), ( ), ( ) 1 1 120 0 0B B L L A A( ) , ( ) , ( ) 2 2 3 32 1 1 1 1 12 32 3

5、 n nnd L S dL d L S d L SL L L S dS n dS dS dS( ) ( ) ( ) ( )! ! ! L 2 2 3 32 1 1 1 1 12 3180 2 3 n nnd A S dA d A S d A SA A A SdS n dS dS dS( ) ( ) ( ) ( )! ! ! o LB L A, , 大地測量主題解算 5 一階導數(shù) ： 3cos cossin sec sincostan sin tan sindB A V AdS M cdL A V B BdS N B cdA B VA B AdS N c 二階導數(shù) ：

6、2 4 2 2 22 2 3 4 190( ) ( ) ( cos sin ) ( )d B dB dB dB dA V t A A dS B dS dS A dS dS c 大地測量主題解算 6 三階導數(shù) 2 22 22( ) ( ) sec sin cos (4 192)d L dL dB dL dA V t B A A dS B dS dS A dS dS c 2 2 2 22 2 1 2 4 194( ) ( ) sin cos ( ) ( )d A dA dB dA dA V A A t dS B dS dS A dS dS c 3 5 2 2 2 2 2 2 2

7、 2 23 3 1 3 9 3 1 2 2d B V A A t t A t 5 t dS c cos sin ( ) cos ( ) 3 23 22d L V t B A A dS c sec sin cos3 3 2 2 2 2 23 32 1 3d L V B A A + t t A dS c sec sin cos ( ) sin 大地測量主題解算 7 1cosu S A 1sinv S A 大地測量主題解算 8 大地測量主題解算 9 大地測量主題解算 10 4.7.3 高斯平均引數(shù) 正算公式高斯平均引數(shù)正算公式

8、推導的基本思想：首先把勒讓德級數(shù) 在 P 點展開改在大地線長度中點 M展開，以使級數(shù) 公式項數(shù) 減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點 M 的復雜性，將 M 點用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對應(yīng) 的 m 點來代替，并借助迭代計算便可順利地實現(xiàn) 大地主題正解。大地測量主題解算 11 2 1,2 2S SMP MP 2 2 3 32 2 31 1( ) ( ) ( ) (4 200)2 2 4

9、 6 8M MdB S d B S d B SB B dS dS dS L2 2 3 31 2 31 1( ) ( ) ( ) (4 201)2 2 4 6 8M M M MdB S d B S d B SB B dS dS dS L(1)建立級數(shù) 展開式 : 3 32 1 3( ) ( ) (4 202)24 M MdB d BB B B S S dS dS 大地測量主題解算 12m M m MB B A A, 3 32 1 324 M MdL d LL L L S SdS dS( ) ( ) L3 321 12 324 M MdA d AA A A S SdS dS

10、( ) ( ) L 2 1 21 121 1 1802 2m mB B B A A A( ), ( ) 同理可得 : M M m m B A B A, ,(2) 大地測量主題解算 13 M m m M m M mm mdB f ff B A B B A AdS B A( ) ( , ) ( )( ) ( )( ) +2 2 2 2 2 288M m MmS d AA A dSS d A dS( )( ) M M M m M m m M mdB f B A F B B B A A AdS( ) ( , ) ( , ) +M m m M m M mm mdB dBdB dS d

11、Sf B A B B A AdS B A( ) ( )( ) ( , ) ( )( ) ( )( ) + 2 2 22 2 288M m MmS d BB B dSS d B dS( )( ) 大地測量主題解算 14 大地測量主題解算3 2m m mm m mm mA V VdB A AdS M c Ncos( ) cos cos 3 23m mm m m mmVdB AdS c t AB B N( ) ( cos )( ) cos (3)由大地線微分方程依次求偏導數(shù) :3 2m m mm mmVdB A VdS c AA A N( ) (

12、 cos )( ) sin 15 2 22 2 2 2 22 2 38 8 mM m m m m m m mmS VS d BB B t A t AdS N( ) ( sin cos ) 2 2 2 2 22 2 1 28 8M m m m m m mmS d A SA A A A t dS N( ) sin cos ( ) 2 2 2 2 2 2 2 232 2 33 3 38 1 2m mM m m m m m m mm m2 2m m m m mmV VdBS S A A t A A S +dS N NV A A t + S +5 8N( ) cos cos (sin cos )sin

13、cos ( ) 次大地測量主題解算 16 23 3 2 2 2 2 23 32 2 2 2 31 3 924 243 1 5 5mM m m m m m mm 2 2m m m m m mVS d B A A t t +dS N A t + t S + ( ) cos sin ( )cos ( ) 次 2 2 2 2 22 1 2 2 2 2 2 21 2 3 2243 1 9 5m m m m mm mm m m m mV SB B B S A A tN N A t( ) cos sin ( )cos ( ) 次大地測量主題解算 17 同理可得： 2

14、2 222 2 2 21 241 9 5m m m mm mm m m mSL S B A A tN N A t sec sin sincos ( ) 次 2 2 2 2 224 2 2 21 2 7 9245 2 2 5m m m m m mm mm m m mSA S A t A tN N A t sin cos () sin ( ) 次大地測量主題解算 18 注意：從公式可知，欲求，及，必先有及。但由于 2和 21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進行公式的計

15、算。除此之外，此方法適合與 200公里以下的大地問題解算，其計算經(jīng) 緯計算精度可達到 0.0001”, 方位角計算精度可達到 0.001”。 2 12 1 1 11 1( )2 2 2m B BB B B B B B 12 12m A A A 2 1 2 1 21 12, , 180B B B L L L A A A 19 4.7.4 高斯平均引數(shù) 反算公式高斯平均引數(shù) 反算公式可以依正算公式導出 :上述兩式的主式為 : 2 2 222 2 2 2

16、 2sinsin cos sin 24cos (1 9 ) mm m m m mmm m m mS ALS A N B S t AN S A t 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2coscos sin (2 3 2 ) 243 cos ( 1 4 )m mm m m mm mm m m m m mN S ABS A S A tV N S A t t 2sin cos , cos mm m m m mNL BS A N B S A V 20 2 30 1 2 1 0 3A t L t B L t L 2 30 1 2 1 0 32 31 0 1 2 3 0mmS A r L r B

17、L r LS A s B s B L s B sincos 32 2 2 201 21 033 31 924 24m m m m mm m m m mN N B N Br B r t r tcos coscos , ( ), 2 2 2 2 2 2 210 12 302 3 32 3 324 8m m m mm m m m m mmN N B Ns s t t s tV cos, ( ), ( ) 2 4 3 201 21 032 21 13 2 2 124 12m m m m m m m m mt t B t B t t B tcos , cos ( ), cos ( ) 21已知：求

18、得： 1 47 46 52.6470B 1 35 49 36.3300L 12 44 12 13.6640A 44 797.2826S m2 48 04 09.6384B 2 36 14 45.0004L 21 224 30 .550A 53 12 211 1, 1802 2m mA A A A A A sintan cos mm mS AA S A sinsin mmS AS A 22 4.7.5 白塞爾大地主題解算方法白塞爾法解算大地主題的基本思想 : 以輔助球面為基礎(chǔ) ,將橢球面三角形轉(zhuǎn) 換為輔助球面

19、的相應(yīng) 三角形 ,由三角形對應(yīng) 元素關(guān) 系 ,將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進行大地主題解算，最后再將球面上的計算結(jié) 果換算到橢球面上。這種方法的關(guān) 鍵問題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應(yīng) 元素之間的關(guān) 系式 ,同時也要解決在球面上進行大地主題解算的方法。 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,

20、, , ,B B A A L S 23 在球面上進行大地主題解算球面上大地主題正算 : 已知求解球面上大地主題反算 : 已知求解 2 2 , , 1 1 , , 1 2 , , 1 2 , , 24 1、球面三角元素間的相互關(guān) 系1 22 11 1 2 1 22 1 2 1 2 a b c sin sin sin cos ( )sin sin sin cos ( )sin cos cos sin sin cos cos ( )sin cos sin cos cos sin c 1 2 1 2 2 1 1

21、 12 2 1 1 12 2 1 1 d e f g os ( )cos sin sin cos cos cos ( )cos cos cos cos sin sin cos ( )cos cos sin sin cos cos cos ( )cos sin cos sin 2 1 1 1 h i( )sin sin cos cos sin cos ( ) 25 球面上大地主題正解1 1 2, , , , 2已知求 ,2 1 1 1sin sin cos cos sin cos ( ) i 11 1 1sin sintan ( ) ( )cos cos sin sin co

22、s a f 1 12 1 1 1cos sintan ( ) ( )cos cos cos sin sin h g 26 球面上大地主題反解方法 1 2 1 2, , 已知，求 , , 12 1 2 1 2sin costan ( ) ( )cos cos cos sin cosu b du u u u 21 1 2 1 2sin costan ( ) ( )cos sin sin cos cos p a cq 1 11 2 1 2sin costan ( )sin sin cos cos cosp q p 27 2 、橢球面和球面上坐標關(guān) 系式

23、 28 在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為 :AdB dSM AdL dSN BBdA AdSNcossincostan sin d dd d dA dcossincostan sin 4 2384 2394 240dB B dS d M ddL A dS d N B ddA B A dS d N dcos ( )coscos sin ( )cos sintan sin ( )tan sin 29 白塞爾提出如下三個投影條件： 1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧 2.大地線和大圓弧

24、上相應(yīng) 點的方位角相等；3.球面上任意一點緯度等于橢球面上相應(yīng) 點的歸化緯度。 12 1 21 2,A a A a 21 1 1 1 1 1tan 1 tan tan (1 )tanu e B u B u 22 2 2 1 2 2tan 1 tan tan (1 ) tanu e B u B u 30 , ?S L 2 21 1dS N N u c aN e ed B A B V Vtan sin tantan sin tan 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 211 1 1 11eV e B W u eV u e ue

25、Vcos cos cos cos 4 2384 2394 240dB B dS d M ddL A dS d N B ddA B A dS d N dcos ( )coscos sin ( )cos sintan sin ( )tan sin 31 21 2 22 1 1PPL L L e udcos 2 21dL e ud cos 212 2 2 21 1ppdS a e u S a e udd cos cos 1dL u dS ud N B d B Vcos sincos sin 以上為白塞爾微分方程 . 32 3 、白塞爾微分方程的積分21 2 21

26、ppS a e udcos 1 0 190 90u Acos( ) sin( )sin 2 2 2 1 0 11u Acos cos sin 21 21 2 2 202 2 2 201 11 1pp ppS a e A d =a e e A d( cos sin )cos sin 33 2 20 1S b k d( sin ) k k kk 2 4 62 2 1 2 2 4 6(1 sin ) 1 sin sin sin2 8 16 2 46 1 1 22 23 1 12 48 2 85 15 3 12 4 616 32 16 32x xx x xx x x xsin cossin cos c

27、ossin cos cos cos k e A2 2 2 0cos 34 積分得到下式：sin 2 sin 2 cos2 4 264i i i i iS A B C L （）1 1 2 22 2 2 2 4 268S A B C B C （）sin ( cos ) sin ( cos ) - 2 4 62 4 64 63 51 4 64 256158 32 10243128 516k k kA b k kB b kkC b k( )( )( ) LLL1 1 1 1 12 2 2 2 2sin 2 sin 2 cos 2sin 2 sin 2 cos 2S A B CS A B

28、 C LL 35 適合于反算 : 適合于正算 : 迭代法 : 直接法 : 1 1 2 2sin 2 ( cos2 ) sin 2 ( cos2 )S A B C B C 1 1 1 11 2 2 2 2S B C B CA sin ( cos ) sin ( )( cos ( ) 0 1 11 2 2S B CA sin ( cos ) 0 0 1 1 01 5 2 2 4 275B C A cos ( )sin ( ) ( - ) 36 21 2 22 1 1PPL L L e udcos 21 21 2 4 62 4 62 1 2 4 62 4 21 2 8 162

29、 8 16PP PP e e eL L L u u ude e e u u udLL( cos cos cos( cos cos )cos 2 2 201u Acos cos sin 090 90A A ucos( ) sin sin( ) Ad dN usincos 2 0ud Adcos sin 37 將三角函數(shù) 冪級數(shù) 用倍角函數(shù) 代替，合并同類項，積分。截去 4倍角項，其值小于 0.0001秒。 21 2 4 6 4 6 2 20 06 4 402 8 16 8 1616 PP e e e e eL A Ae + + A d

30、L LL Lsin ( ) ( )cos sin( )cos sin 其緯差計算公式 38 正算：反算： 11 1 1Au u Asin sintan cos cos sin sin cos 2 1 0 2 12 2L L L Asin (sin sin ) 0 2 12 2L Asin (sin sin ) 2 4 6 4 6 62 40 04 6 62 40 0 32 8 16 16 16 12832 32 64e e e e e eA Ae e eA A( ) ( )cos ( )cos( )cos ( )cos L L L LL L 39 4 白塞爾法大

31、地主題正算步驟 1.計算起點的歸化緯度2.計算輔助函數(shù) 值，解球面三角形可得 :3. 按公式計算相關(guān) 系數(shù) A,B,C以及 , 1 1 1 12 2 2 2 21B L A A S B L A A, , ( ), , , ( )2 21 11W e Bsin 21 111 eu BWsin sin 1 111u BWcos cos 0 1 1 1 1 1A u A tg tgu Asin cos sin sec 40 4.計算球面長度迭代法 : 直接法 : 1 1 1 11 2 2 2 2S B C B

32、 CA sin ( cos ) sin ( )( cos ( ) 0 1 1 1 2 2S B CA sin ( cos ) 1 0 1 0 1 02 2 2 2 2sin ( ) sin sin cos cos 1 0 1 0 1 02 2 2 2 2cos ( ) cos cos sin sin 0 0 1 1 01 5 2 2B CA cos ( )sin ( ) 41 5.計算經(jīng) 度差改正數(shù) 6.計算終點大地坐標及大地方位角 0 1 0 12 2L Asin (sin ( ) sin ) 2 1 1 1u u u Asin sin cos cos

33、cos sin 22 2 2 2 2 22 22 22 2 22 22 2 2 22 21 11 1 11 1 1 1eu B W u e B u BW u u B B arctane u e usin sin tan tancos cos sin sintan sin - sin 42 1 12 1 1 1u AA arctan u A ucos sincos cos cos sin sin 11 1 1Aarctan u u Asin sin cos cos sin sin cos 2 1L L 注意：上述相關(guān) 元素的計算要進行象限的判斷與確定。

34、 43 5 白塞爾法大地主題反算步驟 1.輔助計算 1 1 2 1 1 2B L B L A A S, , , , , 2 1L L L 2 21 11W e Bsin 2 22 21W e Bsin 211 1 1Bu eWsinsin 222 2 1Bu eWsinsin 11 1Bu Wcoscos 22 2Bu Wcoscos 1 1 2a u usin sin 2 1 2a u ucos cos1 1 2b u ucos sin 2 1 2b u usin cos 44 2.用逐次趨近法同時計算起點大地方位角、球面長

35、度及經(jīng) 差，第一次趨近時，取。21 1 2 1 2u pA u u u u qsin costan cos sin sin cos cos 2 1 2 1 pp u q b b A arctanqsin cos cos sintan cos 1 1p A q Asin sin cos 1 2a acos cos arctan sincos L L 45 計算下式 ,重復上述計算過程 2.3. 計算大地線長度 S 4. 計算反方位角 2 1+ 1 1 1u Atan tan sec 0 1 1A u Asin cos sin 0 2 12 2L Asin (sin sin ) L 1 1 2 22 2 2 2S A B C B Csin ( cos ) sin ( cos ) 12 1 2uA b bc o s s i na r c t a n c o s 46 47 48 大地主題計算程序

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