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1、 在 工 農(nóng) 業(yè) 生 產(chǎn) 和 科 研 活 動 中 ， 我 們 經(jīng) 常 遇 到 這樣 的 問 題 ： 影 響 產(chǎn) 品 產(chǎn) 量 、 質 量 的 因 素 很 多 ， 例 如影 響 農(nóng) 作 物 的 單 位 面 積 產(chǎn) 量 有 品 種 、 施 肥 種 類 、 施肥 量 等 許 多 因 素 。 我 們 要 了 解 這 些 因 素 中 哪 些 因 素對 產(chǎn) 量 有 顯 著 影 響 ， 就 要 先 做 試 驗 ， 然 后 對 測 試 結果 進 行 分 析 ， 作 出 判 斷 。 方 差 分 析 就 是 分 析 測 試 結果 的 一 種 方 法 。 引 言 基 本 概 念 試驗指標試驗結果。 可控因素在影響試驗
2、結果的眾多因素中，可人為 控制的因素。水平可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個 水平又稱為試驗的一個處理。單因素試驗如果在一項試驗中只有一個因素改變， 其它的可控因素不變，則該類試驗稱為 單因素試驗。 引 例 例1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每批燈泡中作隨機抽樣，測量其使用壽命（單位：小時），數(shù)據(jù)如下： 燈泡壽命燈絲1 2 3 4 5 6 7 8甲1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800乙1580 1640 1640 1700 1750丙1460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 1820 丁
3、1510 1520 1530 1570 1680 1600 燈泡的使用壽命試驗指標 燈絲的配料方案試驗因素（唯一的一個） 四種配料方案（甲乙丙丁）四個水平 因此，本例是一個四水平的單因素試驗。 引 例 用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為四個總體。假設X1，X2，X3，X4相互獨立，且服從方差相同的正態(tài)分布，即XiN（i，2）（i=1，2，3，4）本例問題歸結為檢驗假設 H 0：1= 2= 3= 4 是否成立 我們的目的是通過試驗數(shù)據(jù)來判斷因素 A 的不同水平對試驗指標是否有影響。 設 A 表示欲考察的因素，它的 個不同水平，對應的指標視作 個總體 每個水平下,我們作若干次
4、重復試驗： （可等重復也可不等重復），同一水平的 個結果，就是這個總體 的一個樣本： rr 1 2, ,. .rX X X1 2, ,. .rn n nin1 2, ,. .ii i inX X X iX 單 因 素 試 驗 的 方 差 分 析1 2, ,. ii i inX X X因此，相互獨立，且與 iX同分布。 單 因 素 試 驗 資 料 表 其中諸 可以不一樣，1r iin nin水平重復1 2 . rA A A 1. ni 1 211 21 11 2 . . . . rrn n rnX X XX X X1ini ijjT X列和1 2 . rT T Ti i iX T n列平均1r
5、ii T總和11 r iiiX n Xn 1 2 . rX X X（水平組內平均值）（總平均值）試驗結果 縱向個體間的差異稱為隨機誤差（組內差異），由試驗造成；橫向個體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。品種重復1 2 3 4 5A A A A A123 41 33 38 37 3139 37 35 39 3440 35 35 38 3431 ijj x 120 105 108 114 99ix 40 35 36 38 33 5 31 1 546iji j x 例：五個水稻品種單位產(chǎn)量的觀測值P1655 31 1 15 36.4iji j x 由于同一水平下重復試驗的個體差
6、異是隨機誤差，所以設：, 1,2,. , 1,2,.ij i ij iX j n i r 其中 為試驗誤差，相互獨立且服從正態(tài)分布ij 2 0,ij N 線性統(tǒng)計模型 單 因 素 試 驗 的 方 差 分 析 的 數(shù) 學 模 型 21. , , 1,2,.i iX N i r 具有方差齊性。1 22. , ,. rX X X相互獨立，從而各子樣也相互獨立。首先，我們作如下假設： 即 令 （其中 ）稱為一般平均值。1 11 ,r ri i ii in n nn ,i i 稱為因素A的第 個水平 的效應。 ii A, 1,2,. , 1,2,. ij i ij iX j n i r 則線性統(tǒng)計模型變
7、成于是檢驗假設： 0 1 2: . rH 等價于檢驗假設： 0 1 2: . 0rH 顯然有： 1 1 1 0r r ri i i i i ii i in n n n 整個試驗的均值 考察統(tǒng)計量 21 1inrT iji jSS X X 經(jīng)恒等變形，可分解為：T A ESS SS SS 其中 2 2A 1 1 1SS inr ri ii ii j iX X n 組間平方和（系統(tǒng)離差平方和）反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。如果H 0 成立，則SSA 較小。, 1,2,. , 1,2,.ij ij iX j n i r 若H 0成立，則總離差平方和 見書P168 1 1 11 ,i i
8、n nr iij iji j jn 其中 2 2E 1 1 1 1SS i in nr ri iij iji j i jX X 組內平方和誤差平方和 1 1 11 ,i in nr iij iji j jn 這里反映的是重復試驗種隨機誤差的大小。i表示水平Ai的隨機誤差； 表示整個試驗的隨機誤差 2 ,ijX N 0 1 2: . 0rH a a a 若假設 成立，則 由P106定理5.1可推得： 2 2 22 2 2 1 , 1 , T A ESS SS SSn r n r 2 2 2, ,T A ESS SS SS 將 的自由度分別記作, ,T A Edf df df則 1,A AE ES
9、S dfF F r n rSS df （記 ，稱作均方和）,A A A E E ESS df MS SS df MS （各子樣同分布） 則 1,A AE ESS dfF F r n rSS df （記 ，稱作均方和）,A A A E E ESS df MS SS df MS 對給定的檢驗水平 ，由 1,P F F r n r 得H0 的拒絕域為： 1,F F r n r F 單側檢驗 結論：方差分析實質上是假設檢驗，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計量，對同方差的多個正態(tài)總體的均值是否相等進行假設檢驗。單因素試驗中兩個水平的均值檢驗可用第七章的T檢驗法。AEMSMS思考：為什么此處只做單側檢驗？
10、 （1）若 ，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時作標記 ；0.01F F *約 定 *0.05 0.01F F F （2）若 ，則稱因素的差異顯著（差異有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響顯著，作標記 ； 0.1 0.05F F F *（3）若 ，則稱因素A有一定影響，作標記（ ）；0.10F F（4）若 ，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計意義）。 注意：在方差分析表中，習慣于作如下規(guī)定： 單因素試驗方差分析表方差來源組間組內總和平方和ASSESS TSS自由度AdfEdfTdf均方和AA ASSMS df EE ESSMS df F 值AEMSF MS F 值臨介
11、值 1,F r n r 簡便計算公式：2 2A 1SS r ii iT Tn n 22E 1 1 1SS inr r iiji j i iTX n 1 ,ini ijjT X 1r iiT T其中同一水平下觀測值之和 所以觀測值之和 例2 P195 2 以 A、B、C 三種飼料喂豬，得一個月后每豬所增體重（單位：500g）于下表，試作方差分析。飼料ABC增重51 40 43 4823 25 2623 28解： 123 51 40 43 48 182,23 25 26 74,23 28 51TTT 182 74 51 307T 1 2, 9 3 6,1 8A ETdf r df n rdf n
12、解：1 2 3182, 74, 51, 307T T T T 2 2 2 2 2 2A 1 182 74 51 307SS 4 3 2 9r ii iT Tn n 11406.83 10472.11 934.72 2 2E 1 1 1SS inr r iiji j i iTX n 2 2 251 40 . 28 11406.83 11497 11406.83 2, 6, 8A E Tdf df df 11497 10472.11 1024.89T A ESS SS SS 934.73 2 467.3690.17 6 15.03A EMSMS 467.36 31.1015.03AEMSF MS
13、0.01 0.052,6 10.92 2,6 5.14F F * 不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。列方差分析表方差來源組間組內總和平方和934.7390.171024.89自由度268均方和467.3615.03 F 值31.10* F 值臨介值 0.05 2,6 5.14F 0.01 2,6 10.92F 例2的上機實現(xiàn)步驟1、輸入原始數(shù)據(jù)列，并存到A，B，C列； 各水平數(shù)據(jù)放同一列各水平數(shù)據(jù)放在不同列2、選擇StatANOVAone-way(unstacked) 0.010.05不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。 定理 在單因素方差分析模型中，有 2 21( ) ( 1) rA i iiE SS r n 2( ) ( )EE SS n r 如果H 0不成立，則 2 1 0r i ii n 所以， 1A ESS SSE Er n r 即H 0不成立時， 1AESS rSS n r有大于1的趨勢。 所以H 0為真時的小概率事件應取在F值較大的一側。
單因素試驗的方差分析
