《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題12 選修系列 第82練 矩陣與變換練習(xí) 理-人教版高三選修數(shù)學(xué)試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題12 選修系列 第82練 矩陣與變換練習(xí) 理-人教版高三選修數(shù)學(xué)試題(3頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、訓(xùn)練目標(biāo)
了解簡單矩陣與變換的思想與應(yīng)用.
訓(xùn)練題型
(1)矩陣運(yùn)算及逆矩陣的應(yīng)用;(2)變換的應(yīng)用;(3)特征值與特征向量的應(yīng)用.
解題策略
根據(jù)教材上相關(guān)內(nèi)容,理解記憶,無需追求難度,掌握基本概念即可.
1.(2016·蘇北四市一模)已知矩陣A=,求矩陣A的特征值和特征向量.
2.(2016·南通、揚(yáng)州、淮安、連云港二模)已知是矩陣M=的一個特征向量,求實數(shù)a的值.
3.(2016·南通二模)已知二階矩陣M有特征值λ=1及對應(yīng)的一個特征向量e1=,且M=.求矩陣M.
4.(2016·南京三模)已知矩陣A=(k≠0)的一個特征向量α=,A的逆矩陣A-1對應(yīng)的變換
2、將點(3,1)變?yōu)辄c(1,1).求實數(shù)a,k的值.
5.(2016·宿遷三校調(diào)研)已知矩陣A=屬于特征值λ的一個特征向量為a=.
(1)求實數(shù)b的值;
(2)若曲線C在矩陣A對應(yīng)的變換作用下,得到的曲線為C′:x2+2y2=2,求曲線C的方程.
6.(2016·南京、鹽城一模)設(shè)矩陣M=的一個特征值為2,若曲線C在矩陣M變換下的方程為x2+y2=1,求曲線C的方程.
答案精析
1.解 矩陣A的特征多項式
f(λ)==λ2-5λ+6,
由f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3.
當(dāng)λ=2時,特征方程組為
故屬于特征值2的一個特征向量
α1=;
當(dāng)
3、λ=3時,特征方程組為
故屬于特征值3的一個特征向量
α2=.
2.解 設(shè)是矩陣M屬于特征值λ的一個特征向量,
則=λ,
故解得
3.解 設(shè)M=,
則由=,
得
再由=,得
聯(lián)立以上方程解得
a=2,b=1,c=0,d=1,
故M=.
4.解 設(shè)特征向量α=對應(yīng)的特征值為λ,
則=λ,
即
因為k≠0,所以a=2.
因為A-1=,
所以A=,
即=,
所以2+k=3,解得k=1.
綜上,a=2,k=1.
5.解 (1)因為矩陣A=屬于特征值λ的一個特征向量為a=,
所以=λ,
即=.
從而解得b=0,λ=2.
(2)由(1)知,A=.
設(shè)曲
4、線C上任一點M(x,y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍€C′上一點P(x0,y0),
則==,
從而
因為點P在曲線C′上,所以x+2y=2,
即(2x)2+2(x+3y)2=2,
從而3x2+6xy+9y2=1.
所以曲線C的方程為3x2+6xy+9y2=1.
6.解 由題意,知矩陣M的特征多項式為f(λ)=(λ-a)(λ-1),因為矩陣M有一個特征值為2,所以f(2)=0,所以a=2.設(shè)曲線C上任一點的坐標(biāo)為(x,y),其在矩陣M的變換下的對應(yīng)點的坐標(biāo)為
(x′,y′).
所以M==,
即
因為曲線C在矩陣M變換下的方程為
x2+y2=1,
所以(2x)2+(2x+y)2=1,
即曲線C的方程為8x2+4xy+y2=1.