《（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)9 三角函數(shù)與解三角形（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)9 三角函數(shù)與解三角形（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題限時(shí)集訓(xùn)(九) 三角函數(shù)與解三角形
1．(2019·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.設(shè)(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C．
[解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因?yàn)?°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由題設(shè)及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(
2、C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°
＝.
2．(2016·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．
[解] (1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin
3、 C．
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5(負(fù)值舍去)．
所以△ABC的周長為5＋.
3．(2020·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，證明：△ABC是直角三角形．
[解] (1)由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0.所以＝0，cos A＝.
由于0
4、件可得sin B－sin C＝sin A．
由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin .
即sin B－cos B＝，sin＝.
由于0
5、B＝sin C，所以tan B＝，
所以∠B＝30°.
1．(2020·安慶二模)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且＝.
(1)求角B的大?。?
(2)若△ABC的周長等于15，面積等于，求a，b，c的值．
[解] (1)由＝，
根據(jù)正弦定理得
＝?b2－c2＝a2＋ac?a2＋c2－b2＝－ac，
根據(jù)余弦定理得cos B＝＝－，
由0
6、得a＝3，c＝5，或者a＝5，c＝3.
所以a＝3，b＝7，c＝5，或者a＝5，b＝7，c＝3.
2．(2020·昆明模擬)在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，AD⊥AC，AB＝，BD＝，AD＝2.
(1)求∠ADB；
(2)求△ABC的面積．
[解] (1)因?yàn)锳B＝，BD＝，AD＝2，
所以在△ABD中，由余弦定理可得：
cos∠ADB＝＝－，
又因?yàn)椤螦DB∈(0，π)，
所以∠ADB＝.
(2)因?yàn)椤螦DB＋∠ADC＝π，
所以∠ADC＝.
因?yàn)锳D⊥AC，
所以△ADC為等腰直角三角形，可得AC＝2，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝××2×＋×2×2
7、＝3.
3．(2020·寶雞二模)已知函數(shù)f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－1，x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f＝1且A為銳角，a＝3，sin C＝2sin B，求△ABC的面積．
[解] (1)由于函數(shù)f(x)＝2sin2 x＋2sin xcosx －1＝1－cos 2x＋sin 2x－1＝2sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.
(2)∵f＝1且A為銳角，可得
2sin＝1，解得sin＝，
∴由A－∈，
8、可得A－＝，
可得A＝.
∵sin C＝2sin B, ∴由正弦定理可得c＝2b，
又∵a＝3，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得9＝b2＋c2－bc＝b2＋4b2－2b2＝3b2，
∴b＝，c＝2，
∴S△ABC＝bcsin A＝××2×＝.
4．(2020·南開區(qū)模擬)在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若△ABC的面積為，a－b＝1，acos C－csin A＝0.
(1)求c及cos A；
(2)求cos(2A－C)的值．
[解] (1)在△ABC中，∵acos C－csin A＝0，
∴sin Acos C－sin Csin
9、 A＝0，
∵sin A≠0, ∴cos C－sin C＝0，即tan C＝，
∵C∈(0，π), ∴C＝，
∴S△ABC＝ab＝，解得ab＝6，
又a－b＝1，解得a＝3，b＝2，
又由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝7，
解得c＝，
∴cos A＝＝.
(2)由(1)可得sin A＝，
∴sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝2cos2 A－1＝－，
∴cos(2A－C)＝cos 2Acos C＋sin 2Asin C
＝×＋×＝－.
1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)bsin A＝a(2＋cos B)．
10、
(1)求B；
(2)若△ABC的面積等于，求△ABC的周長的最小值．
[解] (1)因?yàn)閎sin A＝a(2＋cos B)，
由正弦定理得sin Bsin A＝sin A(2＋cos B)．
顯然sin A>0，所以sin B－cos B＝2.
所以2sin＝2，∵B∈(0，π)．
所以B－＝，所以B＝.
(2)依題意得＝，所以ac＝4.
所以a＋c≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)取等號(hào)．
又由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac≥3ac＝12.
∴b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)取等號(hào)．
所以△ABC的周長最小值為4＋2.
2．[結(jié)構(gòu)不良試題
11、]已知銳角△ABC，同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：
①A＝；②a＝13；③c＝15；④sin C＝.
(1)請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說明理由；
(2)求△ABC的面積．
[解] (1)△ABC同時(shí)滿足①②③.
理由：若△ABC同時(shí)滿足①④，
因?yàn)槭卿J角三角形，所以sin C＝<＝sin ，∴C<，結(jié)合A＝，∴B>.
與題設(shè)矛盾．故△ABC同時(shí)滿足①④不成立．
所以△ABC同時(shí)滿足②③.
因?yàn)閏>a，所以C>A．若滿足④，則A，與題設(shè)矛盾，故此時(shí)不滿足④.
∴△ABC同時(shí)滿足①②③.
(2)因?yàn)閍2＝b2＋c2－2bccosA，
所以132＝b2＋152－2×b
12、×15×.
解得b＝8或7.
當(dāng)b＝7時(shí)，cos C＝<0，C為鈍角，與題設(shè)矛盾．所以b＝8，S△ABC＝bcsin A＝30.
3.如圖，在△ABC中，C＝，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，且tan∠CBD＝.
(1)求sin A；
(2)若·＝28，求AB的長．
[解] (1)設(shè)∠CBD＝θ，因?yàn)閠an θ＝，又θ∈，故sin θ＝，cos θ＝.
則sin∠ABC＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，
cos∠ABC＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝，
故sin A＝sin＝sin
＝(sin 2θ＋cos 2θ)＝×＝.
(2)由正弦定
13、理＝，即＝，
所以BC＝AC．
又·＝||||＝28，
所以||||＝28，
所以AC＝4，又由＝，得＝，
所以AB＝5.
4．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且＝.
(1)若a＝2，b＝2，求c的大?。?
(2)若b＝2，且C是鈍角，求△ABC面積的取值范圍．
[解] (1)在△ABC中，＝，
由正弦定理，得sin Asin B＝sin Bcos A．
∵04，
∴S△ABC＞2.
即△ABC面積的取值范圍是(2，＋∞)．
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