高三數(shù)學二輪復習 第2部分 必考補充專題 專題限時集訓2 專題1 突破點2 解三角形 理-人教高三數(shù)學試題

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1、專題限時集訓(二) 解三角形 建議A、B組各用時:45分鐘] A組 高考達標] 一、選擇題 1.(2016·鄭州模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若=,則cos B=(  ) A.-       B. C.- D. B 由正弦定理,得==,即sin B=cos B,∴tan B=.又0

2、n A-sin Acos B=0.∵sin A≠0,∴sin B-cos B=0,∴tan B=.又0<B<π,∴B=. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,即b2=(a+c)2-3ac. 又b2=ac,∴4b2=(a+c)2,解得=2.故選C.] 3.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,則△ABC的面積是(  ) A.3 B. C. D.3 C ∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.① ∵C=,∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.② 由①②得-ab+6=0

3、,即ab=6, ∴S△ABC=absin C=×6×=.] 4.(2016·河北武邑中學期中)在△ABC中,c=,b=1,∠B=,則△ABC的形狀為(  ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰三角形或直角三角形 D 根據(jù)余弦定理有1=a2+3-3a,解得a=1或a=2,當a=1時,三角形ABC為等腰三角形,當a=2時,三角形ABC為直角三角形,故選D.] 圖2-1 5.(2016·??谡{研)如圖2-1,在△ABC中,C=,BC=4,點D在邊AC上,AD=DB,DE⊥AB,E為垂足.若DE=2,則cos A=(  ) A.      B. C

4、. D. C ∵DE=2,∴BD=AD==.∵∠BDC=2∠A,在△BCD中,由正弦定理得=,∴=×=,∴cos A=,故選C.] 二、填空題 6.(2016·石家莊一模)已知△ABC中,AC=4,BC=2,∠BAC=60°,AD⊥BC于點D,則的值為__________. 【導學號:85952015】 6 在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC,即28=16+AB2-4AB,解得AB=6或AB=-2(舍),則cos ∠ABC==,BD=AB·cos∠ABC=6×=,CD=BC-BD=2-=,所以=6.] 圖2-2 7.(2016·湖北

5、七州聯(lián)考)如圖2-2,為了估測某塔的高度,在同一水平面的A,B兩點處進行測量,在點A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上,仰角為60°;在點B處測得塔頂C在東偏北40°的方向上,仰角為30°.若A,B兩點相距130 m,則塔的高度CD=__________m. 10 分析題意可知,設CD=h,則AD=,BD=h,在△ADB中,∠ADB=180°-20°-40°=120°,由余弦定理AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos 120°,可得1302=3h2+-2·h··,解得h=10,故塔的高度為10 m.] 8.(2016·合肥二模)如圖2-3,△ABC中,AB=4,BC=2,∠ABC=∠

6、D=60°,若△ADC是銳角三角形,則DA+DC的取值范圍是__________. 圖2-3 (6,4] 在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=12,即AC=2.設∠ACD=θ(30°<θ<90°),則在△ADC中,由正弦定理得==,則DA+DC=4sin θ+sin(120°-θ)]=4=4sin(θ+30°),而60°<θ+30°<120°,4sin 60°

7、 A+(2c+a)sin C. (1)求B的大小; (2)若b=,A=,求△ABC的面積. 解] (1)∵2bsin B=(2a+c)sin A+(2c+a)sin C. 由正弦定理得2b2=(2a+c)a+(2c+a)c,1分 化簡得a2+c2-b2+ac=0,2分 ∴cos B===-.4分 ∵0

8、)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知=. (1)求的值; (2)若角A是鈍角,且c=3,求b的取值范圍. 解] (1)由題意及正弦定理得sin Ccos B-2sin Ccos A=2sin Acos C-sin Bcos C,1分 ∴sin Ccos B+sin Bcos C=2(sin Ccos A+sin A cos C), ∴sin(B+C)=2sin(A+C).3分 ∵A+B+C=π,4分 ∴sin A=2sin B,∴=2.5分 (2)由余弦定理得cos A===<0, ∴b>.①8分 ∵b+c>a,即b+3>2b,∴b<3,②10分 由①

9、②得b的取值范圍是(,3).12分 B組 名校沖刺] 一、選擇題 1.(2016·安慶二模)設角A,B,C是△ABC的三個內角,則“A+B,故三角形ABC為鈍角三角形,反之不一定成立.故選A.] 2.(2016·全國丙卷)在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則cos A=(  ) A. B. C.- D.- C 法一:設△ABC中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, 則由題意得S△ABC=a·

10、a=acsin B,∴c=a. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+a2-2×a×a×=a2,∴b=a. ∴cos A===-.故選C. 法二:同法一得c=a. 由正弦定理得sin C=sin A, 又B=,∴sin C=sin=sin A,即cos A+sin A=sin A,∴tan A=-3,∴A為鈍角. 又∵1+tan2A=,∴cos2A=, ∴cos A=-.故選C.] 3.設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù),且A>B>C,3b=20acos A,則sin A∶sin B∶sin C=(  ) A.4∶3

11、∶2     B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 D ∵A>B>C,∴a>b>c. 又∵a,b,c為連續(xù)的三個正整數(shù), ∴設a=n+1,b=n,c=n-1(n≥2,n∈N*). ∵3b=20acos A,∴=cos A, ∴=, =, 即=, 化簡得7n2-27n-40=0,(n-5)(7n+8)=0, ∴n=5. 又∵==, ∴sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=6∶5∶4. 故選D.] 4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且滿足csin A=acos C,則sin A+sin B的最大值是(  ) A.1 B.

12、 C.3 D. D ∵csin A=acos C,∴sin Csin A=sin Acos C. ∵sin A≠0,∴tan C=, ∵0<C<π,∴C=, ∴sin A+sin B=sin A+sin=sin A+cos A=sin. ∵0<A<,∴<A+<, ∴<sin≤, ∴sin A+sin B的最大值為.故選D.] 二、填空題 5.(2016·忻州一中聯(lián)考)已知在△ABC中,B=2A,∠ACB的平分線CD把三角形分成面積比為4∶3的兩部分,則cos A=__________.  由題意可知S△ACD∶S△BCD=4∶3, ∴AD∶DB=4∶3,AC∶BC=4

13、∶3,在△ABC中,由正弦定理得 sin B=sin A, 又B=2A,∴sin 2A=sin A,∴cos A=.] 6.(2016·太原二模)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若∠B=∠C,且7a2+b2+c2=4,則△ABC面積的最大值為__________. 【導學號:85952016】  法一:由∠B=∠C得b=c,代入7a2+b2+c2=4,得7a2+2b2=4,則2b2=4-7a2,由余弦定理得cos C==,所以sin C===,則△ABC的面積為S=absin C=ab×==≤×=×4=,當且僅當a2=時取等號,則△ABC的面積的最大值為. 法二:由

14、∠B=∠C得b=c,所以7a2+b2+c2=4,即為7a2+2c2=4,則△ABC面積為a =≤×=,所以最大值為.] 三、解答題 7.已知a,b,c為△ABC的內角A,B,C的對邊,滿足=,函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減. (1)證明:b+c=2a; (2)若f=cos A,證明:△ABC為等邊三角形. 證明] (1)∵ =, ∴sin Bcos A+sin Ccos A=2sin A-cos Bsin A-cos Csin A,2分 ∴sin Bcos A+cos Bsin A+sin Ccos A+cos Csin A=2sin A

15、,4分 sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A, sin C+sin B=2sin A, ∴b+c=2a.6分 (2)由題意知,=,解得ω=,7分 ∵f=sin ==cos A,A∈(0,π), ∴A=,8分 由余弦定理知,cos A==, ∴b2+c2-a2=bc.∵b+c=2a, ∴b2+c2-2=bc, 即b2+c2-2bc=0,∴b=c.10分 又A=,∴△ABC為等邊三角形.12分 8.(2016·福州模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足(2b-c)cos A=acos C. (1)求角A的大?。? (2)若a=3,求△AB

16、C周長的最大值. 解] (1)由(2b-c)cos A=acos C及正弦定理, 得(2sin B-sin C)cos A=sin Acos C,3分 ∴2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C, ∴2sin Bcos A=sin(C+A)=sin B. ∵B∈(0,π),∴sin B≠0. ∵A∈(0,π),cos A=,∴A=.6分 (2)由(1)得A=,由正弦定理得====2, ∴b=2sin B,c=2sin C. △ABC的周長l=3+2sinB+2sin9分 =3+2sinB+2 =3+3sin B+3cos B =3+6sin. ∵B∈,∴當B=時,△ABC的周長取得最大值為9.12分

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