專題測試練習題 正余弦定理及其應用

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1、專題07 正余弦定理及其應用 【自主熱身,歸納總結(jié)】 1、在△ABC中,設a,b,c分別為角A,B,C的對邊,若a=5,A=,cosB=,c=________. 【答案】: 7 【解析】:因為cosB=,所以B∈(0,),從而sinB=,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,又由正弦定理得=,即=,解得c=7. 2、在△ABC中,已知AB=1,AC=,B=45°,則BC的長為________. 【答案】: 【解析】:在△ABC中,已知c=1,b=,B=45°,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得a2-a-1=0.因為a>0,

2、所以a=,即BC=. 已知兩條邊以及一個角,研究第三邊的問題的本質(zhì)是三邊一角,所以應用余弦定理是最直接的方法,它要比應用正弦定理來得方便、快捷. 3、 在△中,若,則的值為 . 【答案】 【解析】由正弦定理得,,不妨設 則由余弦定理得. 【課本探源】(必修5第26頁第10題)在三角形中,若則角等于 4、在銳角△ABC中,,.若△ABC的面積為,則的長是 . 【答案】、 【解析】: 因為,由,解得,因為是在銳角中,所以(或求出銳角,再求),在銳角中,由余弦定理得:,所以,即. 5、在△中,已知,,且的面積為,則邊長為 .

3、 【答案】:7 6、在△ABC中,已知角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若bsinAsinB+acos2B=2c,則的值為________. 【答案】:. 2 【解析】:由正弦定理得,sinBsinAsinB+sinAcos2B=2sinC,即sinA(sin2B+cos2B)=2sinC,即sinA=2sinC,再由正弦定理得,==2. 7、在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,,則 . .【答案】:4 【思路分析】本題第一步應將的條件化成正余弦的等式;第二步由于本題求是的三角形邊長,所以將三角函數(shù)值等式轉(zhuǎn)化為邊長的等式;第三步:再結(jié)合解方程組即

4、可. 【解析】:解法一:由可得:,即, 所以有,即 由正、余弦定理可得:,即,又 所以,即. 解法二:也可在, 用余弦定理可得,解得,下同解法一. 8、 在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.已知a+c=2b,sinB=sinC,則cosA=________. 【答案】 【解析】:由sinB=sinC得b=c.又因為a+c=2b,所以a=c,因此cosA=== 9、設△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知=,則cosA=________. 【答案】、 10、設△的內(nèi)角,,的對邊分別是,且滿足,則 ▲ . 【答案】;. 4

5、 解法1(正弦定理) 根據(jù)正弦定理可得, 即, 又因為 所以 又因為,所以 所以,則 解法2(射影定理) 因為及可得,,注意到,兩式相除可得,再由正弦定理可得 解后反思:解三角形問題中若等式既有三角函數(shù)又有邊,則可以考慮利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為只含有邊或只含有三角函數(shù)的等式處理.解法2則利用了三角形中的射影定理(教材必修5p17練習5)結(jié)合條件整體處理. 11、在△ABC中,BC=,AC=1,以AB為邊作等腰直角三角形ABD(B為直角頂點,C、D兩點在直線AB的兩側(cè)).當變化時,線段CD長的最大值為 . 【答案】3 思路分析 要求的長,只需將表示為的函數(shù)形式,

6、然后應用三角函數(shù)知識來求它的最大值則可,因此在中應用余弦定理可得 ,再在中分別應用正弦定理、余弦定理得 及,故 ,由此可得結(jié)果. 【解析】:在中,由正弦定理得,由余弦定理得.在中,由余弦定理得 ,故 ,即. 【問題探究,變式訓練】 例1、.如圖,在△ABC中,D是BC上的一點.已知∠B=60°,AD=2,AC=,DC=,則AB=________. 【答案】 【解析】:在△ACD中,因為AD=2,AC=,DC=,所以cos∠ADC==-,從而∠ADC=135°,所以∠ADB=45°.在△ADB中,=,所以AB== 【變式1】、

7、如圖,在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=4,點D在邊BC上,∠BAD=45°,則tan∠CAD的值為________. 【答案】 【解析】: 從構(gòu)造角的角度觀察分析,可以從差的角度(∠CAD=∠A-45°),也可以從和的角度(∠A=∠CAD+45°),所以只需從余弦定理入手求出∠A的正切值,問題就迎刃而解了. 解法1 在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=4,由余弦定理可得cosA==-,所以tanA=-,于是tan∠CAD=tan(A-45°)==. 解法2 由解法1得tanA=-.由tan(45°+∠CAD)=-得=-,即=-,解得tan∠CAD=. 【變式2】、A

8、 B C D (第15題) 如圖,在中,已知點在邊上,,,,. (1)求的值; (2)求的長. 【解析】:(1)在中,,, 所以. 同理可得,. 所以 . 【變式3】、如圖,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AD=1,BD=2,∠CAD=,tan∠ADC=-2. (1) 求CD的長; (2) 求△BCD的面積. 【解析】: (1)因為tan∠ADC=-2,且∠ADC∈(0,π),所以sin∠ADC=,cos∠ADC=-. 所以sin∠ACD=sin =sin =sin∠ADC·cos+cos∠

9、ADC·sin =,(6分) 在△ADC中,由正弦定理得CD== (2) 因為AD∥BC, 所以cos∠BCD=-cos∠ADC=,sin∠BCD=sin∠ADC= 在△BDC中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD, 得BC2-2BC-35=0,解得BC=7, (12分) 所以S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×7××=7. 【變式4】、如圖,在四邊形ABCD中,已知AB=13,AC=10,AD=5,CD=,·=50. (1) 求cos∠BAC的值; (2) 求sin∠CAD的值; (3) 求△BAD的面積. 【解析】: (1

10、) 因為·=cos∠BAC, 所以cos∠BAC===. (2) 在△ADC中,AC=10,AD=5,CD=. 由余弦定理,得cos∠CAD===. 因為∠CAD∈(0,π),所以sin∠CAD===. (3) 由(1)知,cos∠BAC=. 因為∠BAC∈(0,π), 所以sin∠BAC===. 從而sin∠BAD=sin(∠BAC+∠CAD) =sin∠BACcos∠CAD+cos∠BACsin∠CAD =×+×=. 所以S△BAD=AB·AD·sin∠BAD=×13×5× =28. 【關聯(lián)1】、中,點在邊上,且,::=:k:,則實數(shù)k的取值范圍為

11、 . 【答案】:(,) 【解析】:解法一:因為DC=2BD,所以有,即,所以有 ,又AB∶AD∶AC=3∶k∶1,可設, 所以,即,所以. 【關聯(lián)2】、 在△ABC中,已知AC=3,∠A=45°,點D滿足=2,且AD=,則BC的長為________. 【答案】3 【解析】: 由=2可得點D為線段CB上靠近點B的一個三等分點,作CE⊥AB,DF⊥AB,在Rt△ACE中先求出AE=CE=,再在Rt△BCE中根據(jù)=求出DF=,進而求出AF=,EF=,FB=,然后根據(jù)勾股定理或余弦定理求BC的長度即可. 如圖,過點C作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分別為E,F.在Rt△AC

12、E中,因為AC=3,∠A=45°,所以AE=CE=.因為=2,所以==,從而DF=CE=.在Rt△ADF中,AD=,所以AF== =,EF=AF-AE=-=.因為=2,所以==,從而BF=EF=,BE=BF+EF=. 解法1 在Rt△BCE中,BC===3. 解法2 所以AB=+=3,所以在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC,所以BC2=9+18-2×3×3×=9,所以BC=3. 【關聯(lián)3】、. 在△ABC中,D為邊AC上一點,AB=AC=6,AD=4,若△ABC的外心恰在線段BD上,則BC=________. 【答案】3 【解析】: 本題

13、要求BC的長,關鍵是要求出∠BAC,找出線段的比例關系,建立方程,從而求出BC的長. 解法2 如圖2,設∠BAC=2α,外接圓的半徑為R,由S△ABO+S△ADO=S△ABD,得·6Rsinα+·4Rsinα=·6·4sin2α,化簡得24cosα=5R.在Rt△AFO中,Rcosα=3,聯(lián)立解得R=,cosα=,所以sinα=,所以BC=2BE=2ABsinα=12×=3. 圖1 圖2 圖3 解法3 如圖3,延長AO交BC于點E,過點D作BC的垂線,垂足為F,則==,==.又DF∥AE,則==,所以=.設OE=x,則AE=5x,所以OB=OA=4x,所以BE=x.又因為25x2+1

14、5x2=36,所以x=3,所以BC=2BE=3. 例2、 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2=3b2+3c2-2bcsinA,則C=________. 【答案】. 【解析】:因為a2=3b2+3c2-2bcsinA=b2+c2-2bccosA,所以=sinA-cosA=2sin. 又=+≥2=2(當且僅當b=c時取等號),2sin≤2當且僅當A=時取等號,故=2sin=2,所以b=c,A=,故C=. 解后反思 本題中對所得條件“=sinA-cosA”出現(xiàn)無法轉(zhuǎn)化的現(xiàn)象.這里需要借助三角函數(shù)有界性以及基本不等式得到兩個方程求出b,c,A. 【變式1】、 在△A

15、BC中,已知AB=,C=,則·的最大值為________. 【答案】:. 【解析】:因為AB=,C=,設角A,B,C所對的邊為a,b,c,所以由余弦定理得3=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab≥ab,當且僅當a=b=時等號成立,又·=abcosC=ab,所以當a=b=時,(·)max=. 【變式2】、 在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a2+b2+2c2=8,則△ABC面積的最大值為________. 【答案】: 【解析】:思路分析1 注意到a2+b2+2c2=8中a,b是對稱的,因此,將三角形的面積表示為S=absinC,利用余弦定理將ab表示為C的形

16、式,進而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來求它的最值. 思路分析2 將c看作定值,這樣,滿足條件的三角形就有無數(shù)個,從而來研究點C所滿足的條件,為此,建立直角坐標系,從而根據(jù)條件a2+b2+2c2=8得到點C的軌跡方程,進而來求出邊AB上的高的所滿足的條件. 解法1 因為cosC===≥,所以ab≤,從而S=absinC≤.設t=,則3t=2sinC+2tcosC=2·sin(C+φ),其中tanφ=t,故3t≤2,解得t≤,所以Smax=,當且僅當a=b=且tanC=時,等號成立. 解法2 以AB所在的直線為x軸,它的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的直角坐標系,則A,B,C(x,y),則由a2+b2+2

17、c2=8得2+y2+2+y2+2c2=8,即x2+y2=4-,即點C在圓x2+y2=4-上,所以S≤r==·≤,當且僅當c2=時取等號,故Smax=. 解法3 設AD=m,BD=n,CD=h,由a2+b2+2c2=8,得m2+h2+n2+h2+2(m+n)2=8≥(m+n)2+2h2+2(m+n)2=(m+n)2+2h2≥2(m+n)h,當且僅當h=m=n時取等號,所以S=(m+n)h≤×=,所以面積的最大值為. 解法4 由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC,結(jié)合a2+b2+2c2=8,得8-3c2=2abcosC,由三角形面積公式得4S=2absinC,兩式平方相加得,(8-3c2

18、)2+16S2=4a2b2≤(a2+b2)2=(8-2c2)2,即16S2≤c2(16-5c2)≤,所以S2≤,所以S≤,當且僅當a=b,c2=時取等號,所以面積的最大值為. 解后反思 解法1是從將面積表示為角C的形式來加以思考的,而解法2則是將面積表示為邊c的形式來加以思考的.這兩種解法都基于一點,即等式a2+b2+2c2=8中的a,b是對稱關系.解法2則是從運動變化的角度來加以思考的,這體現(xiàn)了三角函數(shù)與【解析】幾何之間的千絲萬鏤的關系.解法1是一種常規(guī)的想法,是必須要認真體會的,而解法2就需要學生能充分地認識知識與知識之間的聯(lián)系.本題對學生的知識的應用要求、思考問題、分析問題、解決問題的

19、能力要求都比較高. 【關聯(lián)】、如圖,某生態(tài)園將三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹,已知角A為120°,AB,AC的長度均大于200 m,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆. (1) 若圍墻AP,AQ的總長度為200 m,如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大? (2) 已知AP段圍墻高1 m,AQ段圍墻高1.5 m,造價均為每平方米100元.若圍圍墻用了20 000元,問如何圍可使竹籬笆用料最??? 【解析】:(1) 設AP=x m,AQ=y(tǒng) m,則x+y=200,x>0,y>0. △APQ的面積S=xysin120°=xy. 因為xy≤2=10 000,

20、當且僅當x=y(tǒng)=100時取等號. 所以當AP=AQ=100 m時,可使三角形地塊APQ的面積最大. (2) 由題意得100×(1·x+1.5·y)=20 000,即x+1.5y=200 在△APQ中,PQ2=x2+y2-2xycos120°=x2+y2+xy. 即PQ2=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=y(tǒng)2-400y+40 000,其中0

21、1) 求C的大小; (2) 若b=2a,且△ABC的面積為2,求c. 【解析】: (1) 由正弦定理==,且bcosA+acosB=-2ccosC得,(2分) sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosC,所以sin(B+A)=-2sinCcosC.(3分) 又A,B,C為三角形內(nèi)角,所以B+A=π-C, 所以sinC=-2sinCcosC.(4分) 因為C∈(0,π),所以sinC>0.(5分) 所以cosC=-,(6分) 所以C=π.(7分) (2) 因為△ABC的面積為2,所以absinC=2,所以ab=.(8分) 由(1)知C=π,所以sinC=,所以a

22、b=8.(9分) 又因為b=2a,解得a=2,b=4, 所以c2=a2+b2-2abcosC=22+42-2×2×4×=28,(13分) 所以c=2.(14分) 對于三角函數(shù)問題,在解題中要注意解題的規(guī)范性、嚴謹性,否則,就會因為解題不規(guī)范而導致失分.一般地,要注意以下幾個方面:一是在應用三角公式時,要注意展示公式的過程;二是在等式兩邊同除以一個代數(shù)式時,要注意判斷它是否為0;三是在研究角的關系時,要注意角的范圍. 【變式1】、在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cosA=,tan(B-A)=. (1) 求tanB的值; (2) 若c=13,求△ABC的面積.

23、 【解析】:(1) 在△ABC中,由cosA=,得A為銳角,所以sinA==, 所以tanA==, 所以tanB=tan[(B-A)+A]= ==3. (2) 在△ABC中,由tanB=3, 得sinB=,cosB=.(8分) 所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=. 由正弦定理=,得b===15, 所以△ABC的面積S=bcsinA=×15×13×=78. 【變式2】、在△ABC中,已知角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且tanB=2,tanC=3. (1) 求角A的大??; (2) 若c=3,求b的長. 【解析】: (1) 因為ta

24、nB=2,tanC=3,A+B+C=π, 所以tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C) =-=-=1. 又A∈(0,π),所以A=. (2) 因為tanB==2,且sin2B+cos2B=1, 又B∈(0,π),所以sinB=. 同理可得sinC=. 由正弦定理,得b===2. 【變式3】、在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,(a+b-c)(a+b+c)=ab. (1) 求角C的大??; (2) 若c=2acosB,b=2,求△ABC的面積. 【解析】(1) 在△ABC中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得=-,即cosC=-因為0

25、<π,所以C=. (2) 解法1 因為c=2acosB,由正弦定理,得 sinC=2sinAcosB 因為A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B), 所以sin(A+B)=2sinAcosB,即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0, 又-

26、余弦定理得到C的大小后,考慮到將c=2acosB單純化為邊或角時,需要注意三角公式的靈活應用以減少計算量. 【關聯(lián)1】、在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足=2cosC. (1) 求角C的大小; (2) 若△ABC的面積為2,a+b=6,求邊c的長. 【解析】思路分析 對于等式=2cosC的化簡,有兩條思路: (1) (用余弦定理)角化邊,得三邊的關系式,再用余弦定理求角C; (2) (用正弦定理)邊化角,得三角的關系式,再用三角恒等變形,得C的某三角函數(shù)值,求角C. 思路1重點是代數(shù)變形;思路2重點是三角公式的運用. 另外,因為最終是求角C的大小,

27、可考慮先不動2cosC. 規(guī)范解答 (1) 解法1 在△ABC中,由余弦定理,得 acosB+bcosA=+=c,(3分) 所以cosC=.(5分) 解法2 在△ABC中,由正弦定理,得 ====1, 所以cosC=. 因為C∈(0,π),所以C= (2) 由(1)知,S△ABC=absinC=ab=2,所以ab=8. 由余弦定理,得c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=36-24=12. 因為c>0,所以c=2. 解后反思 在△ABC中,結(jié)論c=acosB+bcosA稱為“一般三角形射影定理”.其幾何意義(也是記憶方法)是:三角形一邊的長度等于另兩邊在這條邊上的

28、射影之和. 【關聯(lián)2】、在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知c=2,C=. (1) 若△ABC的面積等于,求a,b; (2) 若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面積. 【解析】 (1) 由余弦定理及已知條件得a2+b2-ab=4 又因為△ABC的面積等于,所以absinC=,得ab=4. 聯(lián)立方程組解得a=2,b=2. 【關聯(lián)3】、在斜三角形ABC中,tanA+tanB+tanAtanB=1. (1) 求C的值; (2) 若A=15°,AB=,求△ABC的周長. 【解析】 (1) 解法1 因為tanA+tanB+tan

29、AtanB=1,即tanA+tanB=1-tanAtanB, 因為在斜三角形ABC中,1-tanAtanB≠0, 所以tan(A+B)==1, 即tan(180°-C)=1,即tanC=-1, 因為0°

30、得 ===2, 故BC=2sin15°=2sin(45°-30°)=2(sin45°cos30°-cos45°sin30°)=, CA=2sin30°=1. 所以△ABC的周長為AB+BC+CA=+1+=. 易錯警示 第1問中容易在兩個地方不規(guī)范而導致失分,一是不說明1-tanAtanB≠0而扣分;二是由tanC=-1,不說明角度范圍而扣分. 例4、已知△ABC的面積為S,且·=S. (1) 求sinA; (2) 若||=3,|-|=2,求sinB. 【解析】: (1) 設△ABC中角A,B,C的對邊分別為a,b,c. 因為△ABC的面積為S,且·=S,所以bccosA=

31、×bcsinA, 所以sinA=cosA, 所以A為銳角,且sin2A+cos2A=sin2A+sin2A=sin2A=1, 所以sinA=. (2) 因為||=c=3,|-|==a=2, 由正弦定理得=,即=, 所以sinC=. 又因為c

32、△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且sinA+cos2=1,D為BC上一點,且=+. (1) 求sinA的值; (2) 若a=4,b=5,求AD的長. 【解析】 (1) 因為sinA+cos2=1, 所以sinA+=1,即2sinA-cosA=1, 所以(2sinA-1)2=cos2A,即5sin2A-4sinA=0. 因為A∈(0,π),所以sinA>0, 所以sinA=,cosA=. (2) 在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA, 所以32=25+c2-2×5c×,即c2-6c-7=0,解得c=7 因為=+, 所以2=c2+b2+bccos

33、A=+×25+×7×5×=25, 所以AD=5 【變式2】、在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bcosC+ccosB=2acosA. (1) 求角A的大小; (2) 若·=,求△ABC的面積. 【解析】1) 解法1 在△ABC中,由正弦定理及bcosC+ccosB=2acosA, 得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA, 即sinA=2sinAcosA, 因為A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosA=, 所以A=. 解法2 在△ABC中,由余弦定理及bcosC+ccosB=2acosA,得 b·+c·=2a·, 所以a2=b2

34、+c2-bc, 所以cosA==, 因為A∈(0,π),所以A=. (2) 由·=cbcosA=,得bc=2, 所以△ABC的面積為 S=bcsinA=×2sin60°=. 【變式3】、已知向量m=(cosA,-sinA),n=(cosB,sinB),m·n=cos2C,其中A,B,C為△ABC的內(nèi)角. (1) 求角C的大??; (2) 若AB=6,且·=18,求AC,BC的長. 【解析】(1) 因為m·n=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC, 所以-cosC=cos2C,即2cos2C+cosC-1=0 故cosC=或cosC=-1(舍).

35、 又0

36、),所以2A=2C或2A+2C=π,從而A=C(舍去)或A+C=,所以B=.(4分) 在Rt△ABC中,tanA==,A=.(6分) (2) 因為m·n=3bsinB,所以acosC+ccosA=3bsinB. 由正弦定理,得sinAcosC+sinCcosA=3sin2B,從而sin(A+C)=3sin2B. 因為A+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB.從而sinB=.(8分) 因為cosA=>0,A∈(0,π),所以A∈,sinA=.(10分) 因為sinA>sinB,所以a>b,從而A>B,B為銳角,cosB=.(12分) 所以cosC=-cos(A+B)=-cos

37、AcosB+sinAsinB= -×+×=.(14分) 【關聯(lián)1】、已知△ABC的面積為S,且||2=·+2S. (1) 求B的大小; (2) 若S=,且|-|=1,試求△ABC最長邊的長度. 設角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.因為||2=·+2S,所以a2=ba·cosC+ab·sinC,(2分) 所以a=b·cosC+b·sinC. 由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinBsinC.(4分) 在△ABC中,sinA=sin(B+C),sinC≠0,B∈(0,π),(6分) 所以sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinbsinC, 所以c

38、osBsinC=sinBsinC, 所以cosB=sinB,tanB=1,(8分) 所以B=.(9分) (2) 因為b=1,B=,S=, 所以=ac·sinB.(10分) 由余弦定理得1=a2+c2-2ac·.(11分) 解得a=1,c=或a=,c=1.(13分) 所以最長邊的長度為.(14分) 【關聯(lián)2】、在△ABC中,已知·=9,·=-16.求: (1) AB的值; (2) 的值. 【解析】(1) 解法1 因為·=9,·=-16,所以·-·=9+16=25,即·(+)=25,亦即2=25,故AB=5.解法2 設A,B,C的對邊依次為a,b,c. 則由條件得bccosA=9,accosB=16. 兩式相加得c(bcosA+acosB)=9+16=25,即c2=25,故AB=c=5. (7分) 解法3 設A,B,C的對邊依次為a,b,c. 則由條件得bccosA=9,accosB=16. 由余弦定理得(b2+c2-a2)=9,(c2+a2-b2)=16. 兩式相加得c2=25,故AB=c=5. (2) =. 由正弦定理得== ==.

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