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1、二次根式
1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。
2.最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：
⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式； ⑵被開方數(shù)中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同類二次根式：
二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。
（＞0）
（＜0）
0 （=0）；
4.二次根式的性質：
（1）（）2= （≥0）； （2）
5.二次根式的運算：
（1）因式的外移和內移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變
2、形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．
（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運算結果化為最簡二次根式．
=（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理數(shù)的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算．
【典型例題】
（2）、平方法
當時，①如果，則；②如果，則。
例1、比較與的大小。 例2、比較與的大
3、小。
（3）、分母有理化法通過分母有理化，利用分子的大小來比較。
例3、比較與的大小。
一. 利用二次根式的雙重非負性來解題（（a≥0），即一個非負數(shù)的算術平方根是一個非負數(shù)。）
1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A、； B、； C、； D、
2.x取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義。
（1） （2） （3） (6)（7）若，則x的取值范圍是
3.若有意義，則m能取的最小整數(shù)值是 ；若是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是________．
4.當x為何整數(shù)時，有最小整數(shù)值，這個最小整數(shù)值為
4、 。
5. 若，則=_____________；若，則
6．設m、n滿足，則= 。
8. 若三角形的三邊a、b、c滿足=0，則第三邊c的取值范圍是
二．利用二次根式的性質=|a|=(即一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值)來解題
1.已知＝－x，則（ ?。? A.x≤0 B.x≤－3 ?。?x≥－3 D.－3≤x≤0
2.．已知a
5、 C、x≥1 D、x≤4
4.已知a，b，c為三角形的三邊，則=
5. 當-3
6、
5． ＋＋＋…＋
（二）先化簡，后求值：
1. 直接代入法：已知 求(1) (2)
2.變形代入法：
（1）變條件：已知：，求的值。
（2）變結論：
已知，，（1）求的值 （2）求的值
五．關于求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問題
1.估算－2的值在哪兩個數(shù)之間（ ?。〢．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5
2．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則
六．二次根式的比較大小
（1） （2）－5 （3）
七．實數(shù)范圍內因式分解： 1. 9x2－5y2 2. 4x4－4x2＋1 3. x4+x2－6
19. 已知：，求的值。
20. 已知：為實數(shù)，且，化簡：。
21. 已知的值。
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八年級數(shù)學 二次根式知識點總結及練習題大全
