數(shù)學(xué)分析課件一致收斂

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1、返回,后頁(yè),前頁(yè),1,一致收斂性,三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法,返回,對(duì)于一般項(xiàng)是函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，其收斂性,要比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)雜得多，特別是有關(guān)一致收,斂的內(nèi)容就更為豐富，它在理論和應(yīng)用上有,著重要的地位.,一、函數(shù)列及其一致收斂性,二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性,一、函數(shù)列及其一致收斂性,設(shè),是一列定義在同一數(shù)集,E,上的函數(shù),稱為定義在,E,上的函數(shù)列.,(1),也可記為,以,代入(1),可得數(shù)列,如果數(shù)列,(2),收斂,則稱函數(shù)列,(1),在點(diǎn),收斂,稱,為函數(shù)列(1)的收斂點(diǎn).如果數(shù)列(2)發(fā)散,則稱函數(shù),列,(1),在點(diǎn),發(fā)散,.,當(dāng)函數(shù)列,(1),在數(shù)集,上每一,點(diǎn)都收斂時(shí),就稱(1)

2、在數(shù)集,D,上收斂.這時(shí),D,上每,一點(diǎn),都有數(shù)列,的一個(gè)極限值與之相對(duì)應(yīng),根據(jù)這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的,D,上的函數(shù),稱為函數(shù),列(1)的極限函數(shù).若將此極限函數(shù)記作,f,則有,或,函數(shù)列極限的,定義,:,對(duì)每一固定的,任,總存在正數(shù),N,(,注意,:,一般說(shuō)來(lái),N,值與,給正數(shù),和,x,),表示三者之間,的值都有關(guān),所以有時(shí)也用,N,(,的依賴關(guān)系,),使當(dāng),時(shí),總有,使函數(shù)列,收斂的全體收斂點(diǎn)集合,稱為函數(shù)列,的,收斂域,.,例,1,上的,函數(shù)列,證明它的收斂域是,且有極限函數(shù),證,式所表示的函數(shù).,又,顯然是發(fā)散的,.,所以,函數(shù)列,在區(qū)間,外都是發(fā)散的,.,故所討論,的,函數(shù)列的收斂域是

3、,這就證明了 在(,1 上收斂,且極限就是(3),例2,所以函數(shù)列,注,對(duì)于函數(shù)列,僅停留在討論在哪些點(diǎn)上收斂是遠(yuǎn),遠(yuǎn)不夠的，重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具,有的解析性質(zhì)的關(guān)系.例如,能否由函數(shù)列每項(xiàng)的,連續(xù)性、可導(dǎo)性來(lái)判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo),性;或極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分,是否分別是函數(shù)列,每項(xiàng)導(dǎo)數(shù)或積分的極限.對(duì)這些更深刻問(wèn)題的討論,必須對(duì)它在,D,上的收斂性提出更高的要求才行.,定義,1,數(shù)集,上，,使當(dāng),時(shí)，,由定義看到,一致收斂就是對(duì),D,上,任何一點(diǎn),函數(shù)列,趨于極限函數(shù)的速度是,“,一致,”的.這種一致性體現(xiàn),顯然,若函數(shù)列,在,D,上一致收斂,則,必在,D,上,每一點(diǎn),都

4、收斂,.,反之,在,D,上每一點(diǎn)都收斂的函數(shù)列,它在,D,上不一定一致收斂.,為:與 相對(duì)應(yīng)的,N,僅與 有關(guān),而與,x,在,D,上的,取值無(wú)關(guān),因而把這個(gè)對(duì)所有,x,都適用的,N,寫作,例,2,中的函數(shù)列,是一致收斂的,因?yàn)閷?duì)任意,給定的,取,上什么值,都有,所以函數(shù)列,在,D,上不一致收斂于,f,的正面陳述是:,存在某正數(shù),對(duì)任,何正數(shù),N,都有某一點(diǎn),的取值與,N,有關(guān),),(,注意:,使得,由例,1,中知道,下面來(lái)證明這個(gè)結(jié)論.,事實(shí)上,若取,就有,號(hào)大于,與,狀區(qū)域之內(nèi).,圖,13-1,從幾何意義上,看,就是存在某個(gè)預(yù)先給定,的,(,0,存在正數(shù),N,使得當(dāng),時(shí),對(duì)一切,都有,充分性

5、,若條件(4)成立,由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則,在,D,上任一點(diǎn)都收斂,記其極限函數(shù)為,由定義,1,知,根據(jù)一致收斂定義可推出下述定理:,定理,13.2,（余項(xiàng)準(zhǔn)則）,上一致,收斂于,的充分必要條件是,:,當(dāng),存在不依賴于,任給的正數(shù),的正整數(shù),證,必要性,則對(duì),由上確界的定義,對(duì)所有,也有,這就得到了(6)式.,充分性,由假設(shè),對(duì)任給,0,存在正整數(shù),N,使得,有,注,柯西準(zhǔn)則的特點(diǎn)是不需要知道極限函數(shù)是什么,只是根據(jù)函數(shù)列本身的特性來(lái)判斷函數(shù)列是否一致,收斂,而使用余項(xiàng)準(zhǔn)則需要知道極限函數(shù),但使用,較為方便.如例2,由于,故由(7)式得,例3,定義在0,1上的函數(shù)列,的圖,像如圖13-3 所示.

6、,所以函數(shù)列(8)在,上不一致收斂.,例,4,討論函數(shù)例,的一致,收斂性.,解,為了使用余項(xiàng)準(zhǔn)則,首先求出函數(shù)列的極限函數(shù).,易見(jiàn),于是,容易驗(yàn)證,在,上只有惟一的極大值點(diǎn),因此為最大值點(diǎn),.,于是,根據(jù)余項(xiàng)準(zhǔn)則知該函數(shù)列在,上不一致收斂.,注,不一致收斂是因?yàn)楹瘮?shù)列余,的增大一致趨于零,項(xiàng)的數(shù)值在,附近不能隨,(,見(jiàn)圖,13-4),因此對(duì)任何不含原點(diǎn)的區(qū)間,在該區(qū)間上一致收斂于零,.,圖13 4,二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性,稱為定義在,E,上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)的部分和函數(shù)列.,收斂,即部分和,當(dāng),時(shí)極限,存在,則稱級(jí)數(shù),(9),在點(diǎn),收斂,稱為級(jí)數(shù),(9),的收,斂點(diǎn),.,若

7、級(jí)數(shù),(11),發(fā)散,則稱級(jí)數(shù),(9),在點(diǎn),發(fā)散,.,若,級(jí)數(shù)(9)在,E,的某個(gè)子集,D,上每點(diǎn)都收斂,則稱級(jí)數(shù),(9)在,D,上收斂.若,D,為級(jí)數(shù)(9)全體收斂點(diǎn)的集合,這時(shí)就稱,D,為級(jí)數(shù)(9)的收斂域.級(jí)數(shù)(9)在,D,上每一,點(diǎn),x,與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),(11),的和,構(gòu)成一個(gè),定義在,D,上的函數(shù),稱為級(jí)數(shù)(9)的和函數(shù),并記作,即,也就是說(shuō),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)的收斂性就是指它的部分,和函數(shù)列(10)的收斂性.,例5,定義2,則稱,由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù),列來(lái)確定,所以得到的有關(guān)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定理.,定理 13.3,(一致收斂的柯西準(zhǔn)則),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在數(shù)集

8、,D,上一致收斂的充要條件為,:,對(duì)任,存在正整數(shù),給的正數(shù),，使當(dāng),對(duì)一切,和,或,此定理中當(dāng),p,=1 時(shí),得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的一,個(gè)必要條件.,推論,(,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的必要條件),函數(shù)項(xiàng)級(jí),數(shù),要條件是函數(shù),列,在,上一致收斂于零,.,定理,13.4,(余項(xiàng)法則),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在數(shù)集,D,一致收,上討論,則由,上討論這個(gè)級(jí)數(shù),則由,例,6,討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在,上一致,收斂性.,所以,于是,由,解得最大值點(diǎn),故,解,當(dāng),時(shí),;當(dāng),時(shí),因此,在,上一致收斂.,注,當(dāng)和函數(shù)容易求出時(shí),余項(xiàng)準(zhǔn)則是比較好用的一種判別方法.,0.5,1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,圖 13-5,三

9、、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法,判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性除了根據(jù)定義、柯西,準(zhǔn)則或余項(xiàng)準(zhǔn)則外,有些級(jí)數(shù)還可以根據(jù)級(jí)數(shù)一般,項(xiàng)的某些特性來(lái)判別.,定理13.5,(魏爾斯特拉斯判別法，或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法),設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),為收,斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，,證,存在某正整數(shù),N,使得當(dāng),n,N,西準(zhǔn)則,任給正數(shù),及任何正整數(shù),p,有,根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則,級(jí)數(shù),在,D,上一致收斂.,例7,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),當(dāng)級(jí)數(shù),上成立關(guān),系式(,13),時(shí),則稱級(jí)數(shù),在區(qū)間,上優(yōu)于級(jí),數(shù),或稱,的,優(yōu)級(jí)數(shù),.,優(yōu)級(jí),數(shù)判別法也稱為,M,判別法,.,利用阿貝爾分部求和公式(第十二章3的引理),可,以得到與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相似的判別函數(shù)

10、項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂,的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法.,設(shè)有定義在區(qū)間,I,上形如,的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).對(duì)級(jí)數(shù)(14)有:,定理13.6,(,阿貝耳判別法,),設(shè),和正整,數(shù) ,存在正數(shù),M,使得,則級(jí)數(shù)(14)在,I,上一致收斂.,又由(ii),(iii)及阿貝耳引理(第十二章3的引理的推,論)得到,由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的柯西準(zhǔn)則,得級(jí)數(shù)(14),在,I,上一致收斂.,證,定理13.7,(狄利克雷判別法),設(shè),在,I,上一致有界;,則級(jí)數(shù)(14)在,I,上一致收斂.,證,由,(i),存在正數(shù),M,對(duì)一切,x,I,有,因此當(dāng),n,p,為任何正整數(shù)時(shí),對(duì)任何一個(gè),x,I,再由(ii)及阿貝耳引理得到,0,

11、存在正數(shù),N,當(dāng),n,N,時(shí),對(duì),再由,(iii),對(duì)任給的,一切,x,I,有,所以,于是由一致收斂性的柯西準(zhǔn)則,級(jí)數(shù)(14)在,I,上一致,收斂.,例8,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在0,1上一致收斂.,于是,在,0,1,上一致收斂，,在,0,1,上單調(diào)增且一致有界,由,阿貝耳判別法就能得到結(jié)果.,證,由第十二章3(21)式,在,2,-,上有,例9,若數(shù)列 單調(diào)且收斂于零,則級(jí)數(shù),致有界,于是令,一致收斂.,則由狄利克雷判別法可得級(jí)數(shù)(15)在,上,注,對(duì)于例7中的級(jí)數(shù)(15),只要 單調(diào)且收斂于零,閉區(qū),間上一致收斂.,例10,設(shè),在,上可積,證明 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在,上一致收斂.,證,因?yàn)?在,上可積,所以存在,使,得,于是有,級(jí)數(shù)(15)就在不包含,的任何,由數(shù)學(xué)歸納法容易得到,因?yàn)閿?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),收斂,所以根據(jù)優(yōu)級(jí)數(shù),判別法知原級(jí)數(shù)在,上一致收斂.,復(fù)習(xí)思考題,1.,總結(jié)函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法,(不局限于書上現(xiàn)成的判別法);判別不一致收斂通,?？梢允褂媚男┓椒?？,2,給出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在,D,上不一致收斂的柯西準(zhǔn)則,(即柯西收斂準(zhǔn)則的否定形式).,