復(fù)變函數(shù)01-復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的表示方法

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,積分變換與復(fù)變函數(shù),第,1,講,-,*,復(fù)變函數(shù)與積分變換,電信系通信工程教研室 李廣柱,電話：,0731-84261483,手機(jī)：,15973120248,QQ,：,46860236,Email,：,lgz1979,11/8/2024,1,課程簡(jiǎn)介,課程性質(zhì)及特點(diǎn),課時(shí),教材及參考書(shū),教學(xué)目標(biāo),要求,考核,主要講授內(nèi)容,11/8/2024,2,課程簡(jiǎn)介,1.,課程性質(zhì)及特點(diǎn),是包括通信工程專業(yè)在內(nèi)的電子學(xué)專業(yè)的重要的基礎(chǔ)課程，所涉及的知識(shí)是從事通信工程專業(yè)的人員需要了解和掌握的。,所需的基礎(chǔ)知識(shí)：高等數(shù)學(xué)

2、。,是后繼課程，如“信號(hào)與系統(tǒng)”、“數(shù)字信號(hào)處理”、“通信原理”等課程的基礎(chǔ)課。,11/8/2024,3,課程簡(jiǎn)介,課時(shí),24,學(xué)時(shí),教材及參考書(shū),教材：,林益編：,復(fù)變函數(shù)與積分變換,，華中科技大學(xué)。,11/8/2024,4,3.,主要參考書(shū)：,1).,西安交通大學(xué),.,復(fù)變函數(shù),高等教育出版社,1996.,2).,焦紅偉,.,復(fù)變函數(shù)與積分變換，北京大學(xué)出版社,2007.,3).,高宗升,.,復(fù)變函數(shù)與積分變換，北京航空航天大學(xué)出版社,2006.,課程簡(jiǎn)介,11/8/2024,5,4.,教學(xué)目標(biāo)：,學(xué)習(xí)和掌握復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)的基本概念；,掌握解析函數(shù)，及其導(dǎo)數(shù)、積分的概念；,掌握復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)、留

3、數(shù)的概念；,掌握積分變換的定義和基本概念。,課程簡(jiǎn)介,11/8/2024,6,課程簡(jiǎn)介,考核：,作業(yè),(20%),考試,(80%),學(xué)習(xí)紀(jì)律要求：,缺課達(dá),1/3,者，不準(zhǔn)參加期末考查；,缺作業(yè),1/3,者，不準(zhǔn)參加期末考查。,要求：,上課認(rèn)真聽(tīng)講，積極回答問(wèn)題、參與討論；,有問(wèn)題及時(shí)問(wèn)，不能積累；,作業(yè)獨(dú)立按時(shí)完成。,11/8/2024,7,7.,主要講授內(nèi)容,第一章 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù),第二章 解析函數(shù),第三章 復(fù)變函數(shù)的積分,第四章 級(jí)數(shù),第五章 留數(shù)定理,第七章 傅里葉變換,課程簡(jiǎn)介,11/8/2024,8,本次課講述的內(nèi)容,復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,復(fù)數(shù)的表示方法,復(fù)平面,復(fù)數(shù)的

4、模與輻角,復(fù)數(shù)的三種表示方法,平面圖形和區(qū)域的復(fù)數(shù)表示,11/8/2024,9,復(fù)數(shù)的概念,為什么要引入復(fù)數(shù)的概念？,11/8/2024,10,虛數(shù)單位的引入,實(shí)例：,方程,x,2,=-1,在實(shí)數(shù)集中是無(wú)解的，為了解這個(gè)方程，需要引入一個(gè)新數(shù),i,，稱之為“虛數(shù)單位”。且規(guī)定：,(1).,i,2,=-1,；,(2).,i,可以與實(shí)數(shù)在一起按同樣的法則進(jìn)行四則運(yùn)算。,11/8/2024,11,虛數(shù)單位的特性,虛數(shù)單位具有以下特性：,根據(jù)定義可知，,一般地，若,n,是正整數(shù)，則：,11/8/2024,12,復(fù)數(shù)的定義,對(duì)于任意兩個(gè),實(shí)數(shù),x,和,y,，稱,z,=,x,+,y,i,或,z,=,x,+

5、,i,y,為,復(fù)數(shù),。其中,x,，,y,分別稱為復(fù)數(shù),z,的,實(shí)部,和,虛部,。,并記：,x,=,Re(,z,),；,y,=,Im(,z,),。在工程應(yīng)用中常把,Re,稱作求實(shí)部的運(yùn)算或操作；,Im,稱作求虛部的運(yùn)算或操作。,當(dāng)實(shí)部,x,=0,，,y,0,時(shí)，稱,z,=,i,y,為“純虛數(shù)”；,當(dāng)虛部,y,=0,時(shí)，,z,=,x,+0,i,則可被視作實(shí)數(shù),x,。,11/8/2024,13,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等。,設(shè),z,1,=,a,1,+,b,1,i,，,z,2,=,a,2,+,b,2,i,，則：,復(fù)數(shù),z,等于,0,，當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等

6、于,0,，即：,11/8/2024,14,共軛復(fù)數(shù)的概念,兩個(gè)復(fù)數(shù)，若它們的實(shí)部相同而虛部互為相反數(shù)，則它們?yōu)?共軛復(fù)數(shù),。,設(shè)復(fù)數(shù),z,=,a,+,bi,共軛復(fù)數(shù)記為 ，則可知：,11/8/2024,15,復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù),z,1,=,a,1,+,b,1,i,，,z,2,=,a,2,+,b,2,i,，記：,(1).,它們的和與差,(2).,它們的積,例：,求復(fù)數(shù),z,=,a,+,bi,，與其共軛復(fù)數(shù)之積。,結(jié)論：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之積是個(gè)實(shí)數(shù)。,11/8/2024,16,復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù),z,1,=,a,1,+,b,1,i,，,z,2,=,a,2,+,b,2,i,，記：,(3)

7、.,它們的商,可見(jiàn)，復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算滿足：,加法交換律,加法結(jié)合律,乘法交換律,乘法結(jié)合律,加法對(duì)乘法的分配律,11/8/2024,17,共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì),共軛復(fù)數(shù)滿足以下性質(zhì)：,(1).,(2).,(3).,(4).,11/8/2024,18,例：將下列復(fù)數(shù)表示成,x,+,yi,的形式：,解：,11/8/2024,19,例：設(shè) ，求,Re(,z,),，,Im(,z,),和 。,解：,11/8/2024,20,復(fù)數(shù)的性質(zhì),兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小，也就是說(shuō)，,復(fù)數(shù)不能比較大小,。,觀察復(fù)數(shù),i,和,0,，由復(fù)數(shù)的定義可知,i,0,；,(1).,若,i,

8、0,，則,i,i,0,i,，即,-10,，矛盾；,(2).,若,i,0,i,，即,-10,，矛盾。,由此可見(jiàn)，復(fù)數(shù)中無(wú)法定義大小關(guān)系。,11/8/2024,21,復(fù)平面的概念,注意到：復(fù)數(shù),z,=,x,+,i,y,與有序?qū)崝?shù)對(duì),(,x,y,),成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系的平面可以用來(lái)表示復(fù)數(shù)，通常把橫軸叫做實(shí)軸或,x,軸，縱軸叫做虛軸或,y,軸。這種用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做,復(fù)平面,。,復(fù)數(shù),z,=,x,+,i,y,可以用復(fù)平面上的點(diǎn),(,x,y,),表示。,11/8/2024,22,復(fù)數(shù)的模,從復(fù)平面上的原點(diǎn),o,到點(diǎn),z,=,x,+,iy,所引的向量與復(fù)數(shù),z,構(gòu)成對(duì)應(yīng)關(guān)系，

9、復(fù)數(shù),z,在復(fù)平面上也可以用向量 來(lái)表示，向量的長(zhǎng)度稱為,z,的,模,或,絕對(duì)值,，記為：,顯然下列各式成立：,11/8/2024,23,平行四邊形法則,兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致，滿足,平行四邊形法則,和,三角形法則,：,11/8/2024,24,復(fù)數(shù)的輻角,在,z,0,的情況下，由實(shí)軸正向到向量 之間的夾角 稱為復(fù)數(shù),z,的輻角，記為 。,任何一個(gè)復(fù)數(shù),z,0,都有無(wú)窮多個(gè)輻角，假定 是其中一個(gè)輻角，則,z,的全部輻角為：,特別地，當(dāng),z,=0,時(shí)，,|,z,|=0,，此時(shí)輻角不確定。,11/8/2024,25,輻角的主值,在復(fù)數(shù),z,(,0),的輻角中，把滿足 的輻

10、角 稱為,Arg,z,的主值，記為 。,思考：,輻角主值是否唯一？,輻角怎么求？,例：,求復(fù)數(shù) 的輻角和輻角主值,。,解：,因此，輻角主值為：,輻角為：,11/8/2024,26,復(fù)數(shù)的輻角,復(fù)數(shù),z,0,時(shí)輻角的主值：,其中,：,11/8/2024,27,共軛復(fù)數(shù)的模和輻角,一對(duì)共軛復(fù)數(shù),和 在復(fù)平面上的位置關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，因此它們的模滿足：,共軛復(fù)數(shù),和 的輻角主值滿足什么關(guān)系？,(1).,若,z,=0,，則輻角無(wú)意義；,(2).,若,z,位于負(fù)實(shí)軸上，則：,(3).,其它情況下，則有：,11/8/2024,28,例：求 、。,解：,11/8/2024,29,復(fù)數(shù)的三種表示方法,前面已經(jīng)學(xué)過(guò)

11、，復(fù)數(shù),z,可以表示成：,利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間的關(guān)系：,可得：，此所謂復(fù)數(shù)的,三角表示法,。,11/8/2024,30,復(fù)數(shù)的三種表示方法,在三角表示法 的基礎(chǔ)上，利用,Euler,公式：,可以將復(fù)數(shù)表示為：,此所謂復(fù)數(shù)的,指數(shù)表示法,。,11/8/2024,31,例：將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式和指數(shù)形式：,解：,11/8/2024,32,11/8/2024,33,11/8/2024,34,平面圖形的復(fù)數(shù)表示,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程,(,或不等式,),來(lái)表示；也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程,(,或不等式,),來(lái)確定平面圖形。,例：,將通過(guò)兩點(diǎn),z,1,=,x,1

12、,+,y,1,i,和,z,2,=,x,2,+,y,2,i,的直線用復(fù)數(shù)形式的方程表示。,解：通過(guò)兩點(diǎn),(,x,1,y,1,),和,(,x,2,y,2,),的直線方程為：,11/8/2024,35,平面圖形的復(fù)數(shù)表示,所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為：,因此，從,z,1,到,z,2,的直線段的方程為：,若取,t,=1/2,，則可知線段的中點(diǎn)為：,11/8/2024,36,例：求下列方程所表示的曲線。,解：方程 表示所有與復(fù)平面上的點(diǎn),-,i,距離皆為,2,的點(diǎn)的軌跡，可知該軌跡為原點(diǎn)為,-,i,，半徑為,2,的圓。若將,z,=,x,+,yi,代入可得：,由平面解析幾何可知，該軌跡是個(gè)圓。,11/8/

13、2024,37,方程 表示所有與復(fù)平面上的點(diǎn),2,i,和點(diǎn),-2,距離相等的點(diǎn)的軌跡，可知方程表示的是連接點(diǎn),2,i,和點(diǎn),-2,的線段的垂直平分線。將,z,=,x,+,yi,代入可得：,由平面解析幾何可知，該軌跡是段直線。,11/8/2024,38,方程 所表示的軌跡直接看不出，可將,z,=,x,+,yi,代入得：,由平面解析幾何可知，該軌跡也是段直線。,方程 表示與,x,軸夾角為 的一段射線，該射線不包括原點(diǎn)。,11/8/2024,39,例：指明下列不等式所確定的軌跡或所在范圍，并作圖。,解：通常在求軌跡或者畫(huà)圖時(shí)，可以先利用輻角的幾何意義直接判斷；當(dāng)該方法不適用時(shí)，可以將,z,=,x,+

14、,yi,代入，從而將復(fù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于,x,、,y,的實(shí)條件，利用平面解析幾何的知識(shí)進(jìn)行判斷。,11/8/2024,40,顯然，該表達(dá)式無(wú)法直接看出它的軌跡或者區(qū)域，因此將,z,=,x,+,yi,代入上式，可得：,11/8/2024,41,利用輻角的幾何意義可以得知，該方程表示的區(qū)域?yàn)椋?利用模的定義可知，該方程表示的區(qū)域?yàn)椋?11/8/2024,42,由于 表示到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，根據(jù)平面解析幾何可知是個(gè)橢圓，因此不等式表示的即為該橢圓的內(nèi)部區(qū)域。,可知，該不等式表示的是圓環(huán)形區(qū)域。,11/8/2024,43,擴(kuò)充復(fù)平面,包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為,擴(kuò)充復(fù)平面,。,不包括無(wú)窮

15、遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為,有限復(fù)平面,或簡(jiǎn)稱,復(fù)平面,。,對(duì)于復(fù)數(shù),來(lái)說(shuō)，實(shí)部、虛部、輻角等概念均無(wú)意義,它的模規(guī)定為正無(wú)窮大。,11/8/2024,44,無(wú)窮大的四則運(yùn)算,(1).,加法：,(2).,減法：,(3).,乘法：,(4).,除法：,(6).,復(fù)平面上的每一條直線都通過(guò),。,(5).,、皆無(wú)意義。,思考：,是否任意復(fù)數(shù)都有輻角,?,11/8/2024,45,小結(jié),復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,復(fù)數(shù)的表示方法,復(fù)平面,復(fù)數(shù)的模與輻角,復(fù)數(shù)的三種表示方法,平面圖形和區(qū)域的復(fù)數(shù)表示,11/8/2024,46,作業(yè)：,習(xí)題,1(*,表示選做,),：,1.(2),(3),(6),(8),3.,5.(1),6.*,11/8/2024,47,