高中數(shù)學(xué) 2-1-1《合情推理》同步課件 新人教A版選修1-2

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1、 課程目標(biāo)1雙基目標(biāo)(1)了解合情推理的含義，能利用歸納推理和類比推理等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用(2)掌握演繹推理的基本模式，體會(huì)它們的重要性，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理(3)了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異(4)了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程與特點(diǎn) (5)了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)2情感目標(biāo)(1)結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和日常生活中的實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科以及實(shí)際生活的聯(lián)系(2)通過合理推理與演繹推理的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)不單是現(xiàn)成結(jié)論的體系，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程也是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容

2、，從而形成對(duì)數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)合情推理有助于培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行歸納時(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)，從而形成實(shí)事求是、力戒浮夸的思維習(xí)慣 (3)通過本章的學(xué)習(xí)，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)(4)通過本章的學(xué)習(xí)，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力重點(diǎn)難點(diǎn)本章重點(diǎn)是合情推理、演繹推理以及證明方法直接證明和間接證明合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的分析過程中常用到的思維方法，具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用，有助于學(xué)生理解力的提高演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要形式、培養(yǎng)和提高學(xué)生的演繹推理或邏輯推理是高中數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)，數(shù)學(xué)結(jié)論的重要性必須通過邏輯證明來保證證明包括直接證明和間接證明 學(xué)法探究

3、學(xué)習(xí)本章時(shí)要注意基本數(shù)學(xué)思想，如歸納、類比、演繹推理以及綜合法、分析法、反證法的思想的理解和應(yīng)用學(xué)習(xí)過程中應(yīng)結(jié)合實(shí)例，運(yùn)用合情推理去探索、猜測(cè)一些數(shù)學(xué)結(jié)論，并用演繹推理確認(rèn)所得結(jié)論的正確性，或者用反例推翻錯(cuò)誤的猜想學(xué)習(xí)重點(diǎn)在于理解與掌握研究問題的思維方式，感悟到猜測(cè)一個(gè)問題有時(shí)比證明一個(gè)問題更重要，以逐步形成科學(xué)的探索精神，而不要刻意去追求對(duì)概念的抽象表述 21合情推理與演繹推理 1知識(shí)與技能了解合情推理的含義2過程與方法能利用歸納推理和類比推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在教學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 本節(jié)重點(diǎn)：合情推理的定義及歸納推理和類比推理的定義本節(jié)難點(diǎn)：歸納和類比推理的基本方法 1對(duì)歸納推理

4、的理解歸納推理是從個(gè)別事實(shí)中概括出一般結(jié)論的一種推理模式歸納推理的前提是特殊的情況，立足于觀察、試驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，歸納推理的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)2歸納推理的一般步驟(1)觀察：通過觀察個(gè)別事物發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)(2)概括、歸納：從已知的相同性質(zhì)中概括、歸納出一個(gè)明確表述的一般性命題(3)猜測(cè)一般性結(jié)論：在一般情況下，如果歸納的個(gè)別情況越多，越具有代表性，那么猜測(cè)出的一般性結(jié)論也就越可靠 3對(duì)類比推理的理解類比推理是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似之處之后，推測(cè)在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種推理模式類比推理的關(guān)鍵在于明確指出兩類對(duì)象在某些方面的相似特征4類比推理的一般步驟

5、(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(或猜想) 一般情況下，如果類比的兩類事物的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的結(jié)論就越可靠類比推理的結(jié)論既可能真，也可能假，它是一種由特殊到特殊的認(rèn)識(shí)過程，具有十分重要的實(shí)用價(jià)值 1歸納推理由某類事物的 具有某些特征，推出該類事物的 都具有這些特征的推理，或者由概括出的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱 )簡(jiǎn)言之，歸納推理是由、由 的推理2類比推理由兩類對(duì)象具有和其中一類對(duì)象的，推出另一類對(duì)象也具有 的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱 )簡(jiǎn)言之，類比推理是由的推理部分對(duì)象全部對(duì)象個(gè)別事實(shí)

6、一般結(jié)論部分到整體個(gè)別到一般某些類似特征某些已知特征這些特征類比特殊到特殊歸納 3合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)，經(jīng)過，再進(jìn)行 ，然后提出 的推理我們把它們稱為合情推理通俗地說，合情推理是指“”的推理已有的事實(shí)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比猜想合乎情理 例1下面各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：(1)1,5,9,13,17，()； 解析要在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，必須正確地判斷出每列數(shù)所具有的規(guī)律，為此必須進(jìn)行仔細(xì)的觀察和揣摩(1)考察相鄰兩數(shù)的差：514,954，1394,17134可見，相鄰兩數(shù)之差都是4.按此規(guī)律，括號(hào)里的數(shù)減去17等于4，所以應(yīng)填入括號(hào)里的數(shù)是17421

7、. (4)分成兩列數(shù)：奇數(shù)位的數(shù)為32,16，(),4,2.可見前面括號(hào)中應(yīng)填入8；偶數(shù)位的數(shù)為31,26，(),16,11.括號(hào)中的數(shù)應(yīng)填入21.所以兩括號(hào)內(nèi)依次填入8,21.點(diǎn)評(píng)從上面例子可以看到，觀察時(shí)不可把眼光停留在某一點(diǎn)上固定不變，而要注意根據(jù)問題特點(diǎn)不斷調(diào)整自己觀察的角度，以利于觀察出有一定隱蔽性的內(nèi)在規(guī)律 若an12an1(n1,2,3，)且a11(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項(xiàng)公式an.解析(1)由已知a11，an12an1，得a23221，a37231，a415241，a 531251.(2)歸納猜想，得an2n1(n N*). 例2如圖，在圓內(nèi)畫一條線段，

8、將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，同時(shí)將圓分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分 那么：(1)在圓內(nèi)畫5條線段，它們彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？(2)猜想：圓內(nèi)兩兩相交的n(n2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？分析由題目可獲取以下主要信息：在圓內(nèi)畫線段；所畫線段彼此分割線段的條數(shù)和將圓分割的部分的個(gè)數(shù)解答本題可先從幾個(gè)特殊的數(shù)值入手，再根據(jù)給出的數(shù)值特點(diǎn)進(jìn)行歸納猜想 點(diǎn)評(píng)在幾何中隨著點(diǎn)、線、面等元素的增加，探究相應(yīng)的線段、交點(diǎn)、區(qū)域部

9、分等的增加情況常用歸納推理解決，分析時(shí)遞推關(guān)系的尋找是重點(diǎn) (1)如圖(a)、(b)、(c)、(d)所示為四個(gè)平面圖形，數(shù)一數(shù)，每個(gè)平面圖形各有多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？它們將平面圍成了多少個(gè)區(qū)域？ (2)觀察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系？頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a)(b)(c)(d) 解析各平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為(2)觀察：3232；86122；6592；107152通過觀察發(fā)現(xiàn)，它們的頂點(diǎn)數(shù)V，邊數(shù)E，區(qū)域數(shù)F之間的關(guān)系為VFE2.頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a) 3 3 2(b) 8 12 6(c) 6 9 5(d) 10 15 7 請(qǐng)運(yùn)用類比思想，對(duì)于空間中的四

10、面體VBCD，存在什么類似的結(jié)論？并用體積法證明解析考慮到用“面積法”證明結(jié)論時(shí)，把O點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，把三角形分成三個(gè)三角形，利用面積相等來證明相應(yīng)結(jié)論在證明四面體中類似結(jié)論時(shí)，可考慮利用體積的方法相應(yīng)結(jié)論 點(diǎn)評(píng)在類比推理中，找出兩類事物之間的相似性或一致性，特別是由平面向空間類比中，注意研究空間和平面的根本區(qū)別 找出三角形與四面體的相似性質(zhì)，并用三角形的下列性質(zhì)類比四面體的有關(guān)性質(zhì)：(1)三角形任意兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心；(3)三角形的中位線等于第三邊的一半，且平行于第三邊 解析三角形與四面體有下列相似的性質(zhì)：三角形是

11、平面內(nèi)由直線段所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由平面所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形三角形可以看作平面上一條線段外一點(diǎn)與這條線段上各點(diǎn)連線所形成的圖形；四面體可以看作空間中一個(gè)三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形上各點(diǎn)連線所形成的圖形根據(jù)三角形的性質(zhì)，可以推測(cè)空間四面體的性質(zhì)如下： 三角形四面體三角形任意兩邊之和大于第三邊四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體內(nèi)切球的球心三角形的中位線等于第三邊的一半，且平行于第三邊四面體的中截面(以任意三條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)的面積等于第四個(gè)

12、面的面積的 ，且平行于第四個(gè)面 點(diǎn)評(píng)雖然由類比所得到的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的由特殊到特殊的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實(shí)卻是十分有用的 例4在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1a2ana1a2a19n(n19，n N)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式_成立答案b1b2bnb1b2b17n(n17，n N*)解析本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比一種較本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是：等差數(shù)列用減法定義性質(zhì)用加法表述(若m、n、p、q N ，且mnpq，則amanapaq)； 等比數(shù)列用除法定義性質(zhì)用乘法表述(若m、n、p、q N，且mnpq，則amanapaq)由此，猜

13、想本題的答案為：b1b2bnb1b2b17n(n17，n N*)事實(shí)上，對(duì)等差數(shù)列an，如果ak0，則an1a2k1nan2a2k2nakak0.所以有：a1a2ana1a2an(an1an2a2k2na2k1 n)(n2k1，n N)從而對(duì)等比數(shù)列bn，如果bk1，則有等式：b1b2bnb1b2b2k1n(n2k1，n N)成立 點(diǎn)評(píng)本題是一道小巧而富于思考的妙題，主要考查觀察分析能力，抽象概括能力，考查運(yùn)用類比思想方法由等差數(shù)列an而得到等比數(shù)列bn的新的一般性的結(jié)論 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，利用類比方法試寫出等比數(shù)列的一些性質(zhì).等差數(shù)列性質(zhì)an，公差d等比數(shù)列性質(zhì)bn，公比q若mnpq則am

14、anapaq若mn2p，則aman2apak，akm，ak2m，構(gòu)成公差為md的等差數(shù)列S n為前n項(xiàng)和，則Sn，S2nSn，S3nS2n成公差為n2d的等差數(shù)列aman(mn)d 點(diǎn)評(píng)類比推理又稱類比法它是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同，從而推出它們的其它屬性也相同的推理簡(jiǎn)單地說，類比推理是由特殊到特殊的推理 例5請(qǐng)用類比推理完成下表 一、選擇題1數(shù)列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28B32C33D27答案B解析由以上各數(shù)可得每?jī)蓚€(gè)數(shù)之間依次差3,6,9,12故x201232 2下列說法正確的是()A由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B合情推理必須有前提有結(jié)論C合情推理不能猜

15、想D合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤答案B解析合情推理的結(jié)論不一定正確，是否正確需進(jìn)一步證明且合情推理有前提，故A、D錯(cuò)，合情推理能猜想，故C錯(cuò) 3若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，是從2010到2012的箭頭方向依次為() 1458912 2367 1011A B C D答案D解析根據(jù)箭頭方向找規(guī)律，每相鄰四個(gè)數(shù)字，箭頭方向相同，20104502余2，故同數(shù)字2處的方向，故選D. 4下列說法中正確的是()A合情推理就是正確的推理B合情推理就是類比推理C歸納推理是從一般到特殊的推理過程D類比推理是從特殊到特殊的推理過程答案D 二、填空題5由數(shù)列1,10,100,1000，猜想，數(shù)列的第n項(xiàng)可能是_答案10n1.解析 1100,10101,100102,1000103，可猜想第n項(xiàng)是10n1 6正方形的面積為邊長(zhǎng)的平方，則在立體幾何中，與之類比的圖形是_，結(jié)論是_答案正方體正方體的體積為棱長(zhǎng)的立方解析利用類比思想可知平面圖形與空間幾何體對(duì)應(yīng)，故正方形類比正方體，面積與體積類比