《第六章實(shí)數(shù)》教材分析

《《第六章實(shí)數(shù)》教材分析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《第六章實(shí)數(shù)》教材分析（4頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、《第六章實(shí)數(shù)》教材分析 一、教材的地位和作用 　　從《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》看，關(guān)于數(shù)的內(nèi)容，初中學(xué)段主要學(xué)習(xí)有理數(shù)和實(shí)數(shù)，它們是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。對于有理數(shù)和實(shí)數(shù)，初中學(xué)段共有安排三個章節(jié)的內(nèi)容，分別是七年級上冊第一章《有理數(shù)》，八年級上冊第十三章《實(shí)數(shù)》和九年級上冊第二十一章《二次根式》。本章可以看成其后的代數(shù)內(nèi)容的起始章，本章是在有理數(shù)的基礎(chǔ)上認(rèn)識實(shí)數(shù)，對于實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)，除本章外，還要在“二次根式”一章中通過研究二次根式的運(yùn)算，進(jìn)一步認(rèn)識實(shí)數(shù)的運(yùn)算。 　　本章的主要內(nèi)容是平方根、立方根的概念和求法，實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算。通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識就由有理數(shù)范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍，本

2、章之前的數(shù)學(xué)內(nèi)容都是在有理數(shù)范圍內(nèi)討論的，學(xué)習(xí)本章之后，將在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究問題。雖然本章的內(nèi)容不多，篇幅不大，但在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，它不僅是后面學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎(chǔ)，也為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識作好準(zhǔn)備。 　　二、教學(xué)內(nèi)容分析 　?。ㄒ唬┍菊轮R結(jié)構(gòu)框圖 　　1.本章知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)如下圖所示： 　　2.本章知識的展開順序如下圖所示： 　?。ǘ┙炭茣鴥?nèi)容分析 　　本章主要內(nèi)容包括算術(shù)平方根、平方根、立方根以及實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算。 　　教科書的第一節(jié)是平方根，本節(jié)先研究算術(shù)平方根，再研究平方根。教科書首先創(chuàng)設(shè)一個問

3、題情景，抽象出這個情景中的數(shù)學(xué)問題，即已知正方形的面積求邊長的問題，這是一個典型的求算術(shù)平方根的問題，這與學(xué)生以前熟悉的已知邊長求面積是一個互逆的過程。通過對這類問題的探討，引出算術(shù)平方根，給出算術(shù)平方根的概念和它的符號表示，這時教科書所涉及到的被開方數(shù)都是完全平方數(shù)。接著，教科書設(shè)置一個“探究”欄目，要求學(xué)生將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形，并求出這個大正方形的邊長。這也是一個已知正方形的面積求它的邊長的問題，由于這個大正方形的面積為2，根據(jù)前面學(xué)過的算術(shù)平方根的概念和表示方法，可以求出這個大正方形的邊長是 這樣教科書就引進(jìn)了用根號形式表示的無理數(shù)（但暫時不出現(xiàn)無理數(shù)的概念

4、），這是教科書第一次出現(xiàn)這樣的數(shù)。另外，通過學(xué)生將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形的活動，也使學(xué)生感受到無理數(shù)是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，是一種不同于有理數(shù)的數(shù)。 出現(xiàn)以后，一個很自然的問題，就是要討論 的大小。教科書采用夾逼的方法，利用不足近似和過剩近似來估計(jì) 的大小，通過一步一步的估計(jì)，得到a的越來越精確的近似值，進(jìn)而指出 是一個無限不循環(huán)小數(shù)的事實(shí)，同時指出 等也是無限不循環(huán)小數(shù)等，這就為后面認(rèn)識無理數(shù)打下基礎(chǔ)。會使用計(jì)算器求數(shù)的算術(shù)平方根是本章的一個教學(xué)要求，教科書通過一個例題，介紹了使用計(jì)算器求算術(shù)平方根的方法。用有理數(shù)估計(jì)無理數(shù)的大小，也是學(xué)習(xí)本章應(yīng)該注意的一個問題，

5、教科書結(jié)合一個實(shí)際例子介紹了用有理數(shù)估計(jì)無理數(shù)的常用方法。至此，教科書討論了有關(guān)算術(shù)平方根的內(nèi)容，包括算術(shù)平方根的概念、求法，無限不循環(huán)小數(shù)以及用有理數(shù)估計(jì)無理數(shù)等內(nèi)容。接著，教科書設(shè)置一個“思考”欄目，對平方根展開討論。在這個“思考”欄目中，要求學(xué)生算出平方等于9的數(shù)，通過對這個問題的探討，找到解決問題的方法，利用這種方法進(jìn)一步求出平方等于 1，16，36……的數(shù)，由此歸納給出平方根的概念，進(jìn)而引出開平方運(yùn)算。開平方運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆運(yùn)算，教科書通過舉例分析了這兩種運(yùn)算的互逆過程，并用圖示進(jìn)一步說明。最后，教科書結(jié)合具體例子，通過具體計(jì)算一些數(shù)的平方根，探討了數(shù)的平方根的特征，并通過一個“

6、歸納”欄目，要求學(xué)生自己歸納給出 “正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根”等這些數(shù)的平方根的特征。 　　教科書第二節(jié)是立方根。對于立方根，教科書采用了與討論平方根類似的方法進(jìn)行討論。首先設(shè)置一個問題情景，從這個問題情景中抽象出數(shù)學(xué)問題，就是已知立方體的體積求它邊長的問題，這是一個典型的求數(shù)的立方根的問題。這樣教科書就從這個典型問題引出立方根的概念和開立方運(yùn)算。接著，教科書類比著平方運(yùn)算與開平方運(yùn)算的互逆關(guān)系，探討了立方運(yùn)算與開立方運(yùn)算的互逆關(guān)系，并通過一個“探究”欄目，學(xué)習(xí)求數(shù)的立方根的方法。在這個“探究”欄目中，要求學(xué)生分別計(jì)算一些正數(shù)、負(fù)數(shù)和0的立方根，通過

7、這些計(jì)算，一方面讓學(xué)生學(xué)習(xí)利用立方運(yùn)算與開立方運(yùn)算的互逆關(guān)系求立方根的方法，另一方面也為下面探討數(shù)的立方根的特征作準(zhǔn)備。緊接著這個“探究”欄目，教科書設(shè)置了一個“歸納”欄目，由學(xué)生歸納給出“正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0”等這些數(shù)的立方根的特征。最后，教科書介紹了立方根的符號表示，并利用這種符號表示探討了立方根的一條性質(zhì)。 　　學(xué)習(xí)了平方根、立方根以及開方運(yùn)算后，教科書在第三節(jié)安排了實(shí)數(shù)。本節(jié)首先設(shè)置一個“探究”攔目，要求學(xué)生將一些有理數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)的形式，分析這些小數(shù)的共同特點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)有理數(shù)都可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式，然后指出反過來的結(jié)論也成立，即任

8、何有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，這樣教科書就將有理數(shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)一起來。在此基礎(chǔ)上可以指出，像 等只能化成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)就是無理數(shù)，從而引出無理數(shù)的概念。教科書采用這種與有理數(shù)對照的方法引出無理數(shù)，有利于揭示有理數(shù)和無理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別，也有助于學(xué)生理解“有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)”這個構(gòu)造性定義。接下去，教科書根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類，揭示實(shí)數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。隨著無理數(shù)的引入，實(shí)數(shù)概念的出現(xiàn)，數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，在這個擴(kuò)充過程中，既體現(xiàn)了概念、運(yùn)算等的一致性，又體現(xiàn)了它們的發(fā)展變化。教科書通過幾方面的例子說明了這種一致性和發(fā)展變化。首先，教科書通過探究在數(shù)軸上畫出表示

9、的點(diǎn)，說明了無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，并指出當(dāng)數(shù)由有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，直線上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)就是一一對應(yīng)的、平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對也是一一對應(yīng)的；接著，教科書通過設(shè)置思考問題，讓學(xué)生體會，在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的一些概念（如絕對值、相反數(shù)等）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立；最后，教科書結(jié)合具體例子說明，有理數(shù)的運(yùn)算（如加、減、乘、除、乘方運(yùn)算等），以及運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)（如交換律、分配律、結(jié)合律等）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，并且可以進(jìn)行新的運(yùn)算（如正數(shù)和0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算、任何一個實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算）等。 　　與原教科書相比，本章內(nèi)容在原教科書“數(shù)的開方”一章的基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加了有關(guān)實(shí)數(shù)運(yùn)算的內(nèi)容（實(shí)數(shù)的

10、運(yùn)算在本套書“二次根式”一章繼續(xù)學(xué)習(xí)），說明了平面內(nèi)點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)以及在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的平移變換等；從內(nèi)容安排上看，改變原教科書先講平方根，將算術(shù)平方根作為平方根一種特例的做法，而是從實(shí)際出發(fā)，先講算術(shù)平方根，再將平方根，加強(qiáng)了與實(shí)際的聯(lián)系；在教學(xué)目標(biāo)方面，強(qiáng)調(diào)所有學(xué)生都應(yīng)會使用計(jì)算器進(jìn)行開方運(yùn)算，加強(qiáng)對估算的要求等。 　　三、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析 　　（一）、本章教學(xué)目標(biāo) 　　1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根； 　　2.了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，會用計(jì)算器求

11、平方根和立方根； 　　3.了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)大到實(shí)數(shù)后，一些概念、運(yùn)算等的一致性及其發(fā)展變化； 　　4.能用有理數(shù)估計(jì)一個無理數(shù)的大致范圍。 　　2、單元教學(xué)的重難點(diǎn)： 　　教學(xué)重點(diǎn)： 　　1、平方根和算術(shù)平方根的概念。平方根是開方運(yùn)算基礎(chǔ)，是引入無理數(shù)的準(zhǔn)備知識。平方根概念的正確理解有助于符號表示的理解，是正確求平方根運(yùn)算的前提，而且直接影響到二次根式的學(xué)習(xí)。。算術(shù)根的教學(xué)不但是本章教學(xué)的重點(diǎn)，也是今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。在后面學(xué)習(xí)的根式運(yùn)算中，歸根結(jié)底是算術(shù)根的運(yùn)算，非算術(shù)根也要轉(zhuǎn)化為算術(shù)根。

12、 　　2、立方根的概念與性質(zhì)及求法。立方根是奇次方根典型類型，掌握立方根是理解的n次方根的基礎(chǔ)。由于學(xué)習(xí)了平方根的概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)立方根的概念，學(xué)生比較容易接受，但平方根和立方根的性質(zhì)區(qū)別較大，性質(zhì)掌握的好壞決定了求解立方根的能力，因此教學(xué)重點(diǎn)放在立方根具有唯一性（實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）的討論上。 　　3、無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念。引入無理數(shù)使數(shù)域擴(kuò)充到實(shí)數(shù)域，初中的所有數(shù)的運(yùn)算均在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的。無理數(shù)概念的理解決定實(shí)數(shù)概念的理解，有利于實(shí)數(shù)分類和運(yùn)算的掌握。要讓學(xué)生掌握關(guān)于有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)再實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍成立，這是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 　　教學(xué)難點(diǎn)： 　　1、平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別于聯(lián)系。首先

13、這兩個概念容易混淆，而且各自的符號表示意義學(xué)生不是很容易區(qū)分，教學(xué)中要抓住算術(shù)平方根式平方根中正的那個，講清各自符號的意義，區(qū)分兩種表示的不同。對于平方根運(yùn)算不僅數(shù)有限制，而且結(jié)果有兩個，這是與以前學(xué)過的數(shù)的運(yùn)算很大的區(qū)別，要讓學(xué)生真正理解有一定的困難。 　　2、立方根的唯一性及負(fù)數(shù)立方根的意義。由于平方根的學(xué)習(xí)，學(xué)生容易錯誤的得出立方根與平方根的結(jié)論相似，因此要對比講解兩者的區(qū)別：對于任何一個數(shù)都有唯一的立方根，而且學(xué)生難于理解負(fù)數(shù)立方根的意義，應(yīng)注意從立方與開立方互為逆運(yùn)算的角度分析。 　　3、無理數(shù)和實(shí)數(shù)的理解。無理數(shù)和實(shí)數(shù)比較抽象，尤其是無理數(shù)不能像實(shí)數(shù)那樣具體描述出某個數(shù)的特點(diǎn)，

14、在學(xué)生思維中想象不出它的存在，借助實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，注意通過具體數(shù)加以解釋。實(shí)數(shù)抽象程度較高，學(xué)生對實(shí)數(shù)意義有所了解就可以。 　　四、單元教學(xué)思路及策略： 　?。ㄒ唬┘訌?qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系 　　本章內(nèi)容與實(shí)際的聯(lián)系是非常密切的。例如，無理數(shù)是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的一種數(shù)，開平方運(yùn)算和開立方運(yùn)算也是實(shí)際中經(jīng)常用到的兩種運(yùn)算，用有理數(shù)估計(jì)無理數(shù)的大小在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到等等。因此，本章內(nèi)容在編寫時注意聯(lián)系實(shí)際，對于一些重要的概念和運(yùn)算緊密結(jié)合實(shí)際生活展開，例如算術(shù)平方根是從已知正方形的面積求它邊長、立方根是從已知立方體的體積求它邊長等典型的實(shí)際問題引出的，再如用有理數(shù)估計(jì)無理數(shù)的大小也是緊

15、密結(jié)合實(shí)際進(jìn)行的。編寫時，將本章內(nèi)容與實(shí)際緊密聯(lián)系起來，可以使學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，認(rèn)識實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算。 　?。ǘ┘訌?qiáng)知識間的縱向聯(lián)系 　　本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”這個領(lǐng)域，有關(guān)數(shù)的內(nèi)容，學(xué)生在七年級上冊已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)過有理數(shù)，對有理數(shù)的概念和運(yùn)算等有了較深刻的認(rèn)識，本章是在有理數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的初步知識，本章很多內(nèi)容是有理數(shù)相關(guān)內(nèi)容的延續(xù)和推廣，因此，本章編寫時，注意加強(qiáng)知識間的相互聯(lián)系，使學(xué)生更好地體會數(shù)的擴(kuò)充過程中表現(xiàn)出來的概念、運(yùn)算等的一致性和發(fā)展變化。例如，對于絕對值和相反數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，平方與開平方、立方與開立方的互為逆運(yùn)算關(guān)系等都是在有理數(shù)的

16、基礎(chǔ)上展開的。另外，本章前兩節(jié)“平方根”“立方根”在內(nèi)容上基本是平行的，因此，編寫 “立方根”這節(jié)時，充分利用了類比的方法，例如類比平方根的概念的引入方式給出立方根的概念，類比開平方運(yùn)算給出開立方運(yùn)算，類比平方與開平方運(yùn)算的互逆關(guān)系研究立方與開立方運(yùn)算的互逆關(guān)系等。這樣的編寫方法，有助于加強(qiáng)知識間的相互聯(lián)系，通過類比已學(xué)的知識學(xué)習(xí)新知識，使學(xué)生的學(xué)習(xí)形成正遷移。 　?。ㄈ┝艚o學(xué)生探索交流的空間 　　根據(jù)本章內(nèi)容的特點(diǎn)，對于一些重要的概念和結(jié)論，編寫時注意了讓學(xué)生通過觀察、思考、討論等探究活動歸納得出結(jié)論的過程。例如，對于平方根概念的引入，教科書首先通過一個問題情景，引出已知正方形的面積求

17、邊長的問題，接著又讓學(xué)生通過填表的方式，計(jì)算幾個不同面積的正方形的邊長，使學(xué)生感受到這些問題與以前學(xué)過的已知正方形的邊長求面積的問題是一個相反的過程，并由此指出，這些問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)的問題，并在此基礎(chǔ)上給出算術(shù)平方根的概念，這樣就讓學(xué)生通過一些具體活動，在對算術(shù)平方根有些感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上歸納給出這個概念。再比如，在討論數(shù)的立方根的特征時，教材首先設(shè)置“探究”欄目，在欄目中以填空的方式讓學(xué)生計(jì)算一些具體的正數(shù)、負(fù)數(shù)和0的立方根，尋找它們各自的特點(diǎn)，通過學(xué)生討論交流等活動，歸納得出“正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)”的結(jié)論，這樣就讓學(xué)生通過探究活動經(jīng)歷了一個由特殊到一般的認(rèn)識過程，在探究活動的過程中發(fā)展思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。