湖北省華中師大一附中高三5月適應(yīng)性考試 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 華中師大一附中 2016屆高三五月適應(yīng)性考試試題(一) 理科數(shù)學(xué)（A卷） 本試卷共4頁(yè)，24題（含選考題）。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。 第Ⅰ卷 一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 （1）已知,, 若,則 第3 題 A. B. C. 或 D. 或或 （2）設(shè)復(fù)數(shù),, 則 A. B. C. D. （3）武漢市201

2、5年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 A. B. C. D. （4）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 （5）在平行四邊形中，，，將此平行四邊形沿折成 直二面角，則三棱錐外接球的表面積為 A. B. C. D. （6）對(duì)于函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：①存在

3、，使 ；②存在，使恒成立；③存在，使函 數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱；④函數(shù)的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱；⑤函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度就能得到的圖像．其中 正確命題的序號(hào)是 A. ①②③ B. ③④⑤ C. ③④ D. ②③⑤ （7）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，如果輸入某個(gè)正整數(shù)后輸出的， 則的值為 A. B. C. D. 第7

4、題 （8）已知是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，且對(duì)R， 恒成立.命題：若為偶函數(shù)， 則也為偶函數(shù);命題：若時(shí)，在R上恒成 立，則為R上的單調(diào)函數(shù).則下列命題正確的是 A. B. C. D. （9）已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是圓上 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是一個(gè)定點(diǎn)， 則的最小值為 A. B. C. D. （10）若點(diǎn)是銳角所在的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且。 給出下列命題： 第

5、11題 ① 恒成立； ②的最小值為； ③點(diǎn)的軌跡是一條直線； ④ 存在點(diǎn)使 其中正確的命題為 A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④ （11）如圖所示：網(wǎng)格上的小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫出的是 某多面體的三視圖，則該多面體的各面面積中的最大值為 A. B. C. D. （12）已知

6、…，設(shè)函數(shù)存在極大值點(diǎn)，且對(duì)于的任意可能 取值，恒有極大值，則下列結(jié)論中正確的是 A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 的最大值為 D. 的最大值為 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 二. 填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。 （13）若，則等于_________． （14）給定雙曲線，若直線過的中心，且與交于兩點(diǎn)，為 曲線上任意一點(diǎn). 若直線的斜

7、率均存在且分別記為、，則 _______. （15）已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足， 則 的取值范圍為________． （16）在數(shù)列中，，，是數(shù)列的前 項(xiàng)和，當(dāng)不等式恒成立時(shí)，的所有可能取值為 _________． 三.解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 （17）（本小題滿分12分） 為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出 一種新的“彈射型”氣象儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn) 行氣象觀測(cè)．如圖所示，三地位于同一水平面上，這 種儀器在地進(jìn)行彈射

8、實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)點(diǎn)兩地相距米， ，在地聽到彈射聲音的時(shí)間比地晚秒．在地測(cè)得該儀器至最 高點(diǎn)處的仰角為． （Ⅰ）求，兩地的距離； （Ⅱ）求這種儀器的垂直彈射高度（已知聲音的傳播速度為340米/秒）． （18）（本小題滿分12分） 如圖，⊥平面，，分別是，的中點(diǎn)， ，． （Ⅰ）求二面角的余弦值； （Ⅱ）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角 最小時(shí)，求線段的長(zhǎng)． （19）（本小題滿分12分） 某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三 的全體

9、名學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的體檢表，并得到如圖 的頻率分布直方圖． 年級(jí)名次 是否近視 近視 不近視 （Ⅰ）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全 年級(jí)視力在以下的人數(shù)； （Ⅱ）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生，近視 的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān) 系，對(duì)年級(jí)名次在名和名的學(xué)生進(jìn)行 了調(diào)查，得到右表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)的概率不超過的前提下認(rèn) 為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系? （Ⅲ）在（Ⅱ）中

10、調(diào)查的名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了人，進(jìn) 一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這人中任取人，記名次在的學(xué)生人 數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 7.879 附： （20）（本小題滿分12分） 如圖，曲線由兩個(gè)橢圓:和橢圓 :組成，當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)， 稱曲線為“貓眼曲線”． （Ⅰ）若貓眼曲線過點(diǎn)，且,,的公比為 ，求貓眼曲線的方程； （Ⅱ）對(duì)于題（Ⅰ）中所求的貓眼曲線，任作斜率為且不過原點(diǎn)的直線與該曲

11、 線相交，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為，試問：是否為 與無(wú)關(guān)的定值，若是請(qǐng)求出定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由； （Ⅲ）若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點(diǎn)、兩點(diǎn)，為橢圓上 的任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），求面積的最大值（用字母，，表示）. （21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，，(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. （Ⅰ）若曲線與在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線相同，問： （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）若時(shí)，恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，對(duì)任意，，證明：

12、 （為的導(dǎo)函數(shù)）. 請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分． （22）【選修4-1：幾何證明選講】（本小題滿分10分） 如圖所示，銳角三角形的內(nèi)心為，過點(diǎn)作直線 的垂線，垂足為，點(diǎn)為圓與邊的切點(diǎn). （Ⅰ）求證：，，，四點(diǎn)共圓； （Ⅱ）若，求的度數(shù). （23）【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分） 已知圓為參數(shù)和直線其中為參數(shù)，為 直線的傾斜角. （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值； （Ⅱ）當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．

13、（24）【選修4-5:不等式選講】（本小題滿分10分） 已知，，. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若的最小值為，求的最小值. 華中師大一附中 2016屆高三五月適應(yīng)性考試試題(一)參考答案 理科數(shù)學(xué) 一. 選擇題 （A 卷） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C A C B A B C B D （B 卷） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

14、2 答案 D D C C A D B A B C B D 二. 填空題 13. 14. 15. 16. 1或2或4 三.解答題 （17）【解析】（Ⅰ）設(shè)，由條件可知 在中，由余弦定理，可得 ， 即，解得 所以（米） 故兩地的距離為420米．………………6分 （Ⅱ）在中，米， 由正弦定理，可得，即 所以（米），故這種儀器的垂直彈射高度為米．…12 分 （18）【解析】以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系， 則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．

15、 （Ⅰ）因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向 量，．因?yàn)椋? 設(shè)平面的法向量為，則，， 即令，解得 所以是平面的一個(gè)法向量． 從而 所以二面角的余弦值為…………………………………6分 （Ⅱ）因?yàn)?，設(shè)， 又，則，又， 從而 設(shè), 則 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為. 因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，此時(shí)直線與所成角取得最小值． 又因?yàn)?，所以………?2分 （19）【解析】（Ⅰ）由直方圖可知，第一組有3人，第二組有7人，第三組有27人， 　　　因?yàn)楹笏慕M的頻數(shù)成等差數(shù)列，所以后四組的頻數(shù)依次為27,24,21,18，所以視力 在以下的頻率為

16、，故全年級(jí)視力在以下的人數(shù)約為． …………3分 （Ⅱ）， 因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系．……6分 （Ⅲ）依題意9人中年級(jí)名次在名和名分別有3人和6人， 可取0、1、2、3 　， ， 　， 　的分布列為 0 1 2 3 　　的數(shù)學(xué)期望. ……12分 （20）【解析】（Ⅰ）由題意知，，，∴ ∴:，:………… 2分 （Ⅱ）為定值，理由如下： 設(shè)斜率為的直線

17、交橢圓于點(diǎn)，線段中點(diǎn)， 由得， ∵存在且，∴，且，∴ 同理，；故有；…………7分 （Ⅲ）設(shè)直線的方程為， 聯(lián)立方程得，化簡(jiǎn)得 由化簡(jiǎn)得， 不妨設(shè)， 聯(lián)立方程得，化簡(jiǎn)得， 由化簡(jiǎn)得 可取 從而兩平行線間距離，又； ∴的面積最大值為 …………12分 （21）【解析】（Ⅰ）（?。┮?yàn)?，? 依題意，，且，解得， 所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 故的單調(diào)遞減區(qū)間為， 單調(diào)遞增區(qū)間為． 當(dāng)時(shí)，取得最

18、小值0． ………………………………2分 （ⅱ）由（?。┲?，，即，從而． 設(shè) 則， （1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào) 成立）， 此時(shí)在上單調(diào)遞增，從而，即． （2）當(dāng)時(shí)，由于，所以， 又由（1）知，所以，故， 即． （3）當(dāng)時(shí)， 令，則， 顯然在上單調(diào)遞增，又， 所以在上存在唯一零點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減， 從而，即所以在上單調(diào)遞減， 從而當(dāng)時(shí)，，即，不合題意． 綜上， 實(shí)數(shù)的取值范圍為． ………………………………7分 （Ⅱ）依題意，不妨設(shè)，有，，兩

19、式相減得： ，整理得， 則，于是， 令，則設(shè)， 則， ∴　在上單調(diào)遞增，則 ，于是有， 即， ………………………………12分 注：其他解法酌情給分. （22）【解析】（Ⅰ）證明：由圓與相切于點(diǎn)得， 　　 結(jié)合，得，所以，，， 　　 四點(diǎn)共圓. …………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，，四點(diǎn)共圓，所以 ，由題意知 結(jié)合，得 所以，由，. …………10分 （23）【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，直線的直角坐標(biāo)方程為，圓的 圓心坐標(biāo)為（1，0），圓心到直線的距離，圓的半徑為1，故圓 上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為． …………4分 （Ⅱ）圓的直角坐標(biāo)方程為，將直線的參數(shù)方程代入圓的直 角坐標(biāo)方程，得，這個(gè)關(guān)于的一元二次方程有解， 故，則，即或 ．又，故只能有， 即． …………10分 （24）【解析】（Ⅰ） 在是減函數(shù)，在是增函數(shù) 當(dāng)時(shí)，取最小值. …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值為， . …………6分 ，，當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)，取等號(hào)，的最小值為. …………10分 18