福州市3月普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 2016年福州市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 數(shù)學(xué)(理科)試卷 （完卷時(shí)間120分鐘；滿分150分） 第Ⅰ卷 （選擇題 共60分） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題所給的四個(gè)答案中有且只有一個(gè)答案是正確的．把正確選項(xiàng)涂在答題卡的相應(yīng)位置上．） 1. 已知復(fù)數(shù)滿足，若的虛部為2，則（ ）． A．2 B． C． D． 2．已知命題 “”，則為 （ ） A． B． C． D． 3． 閱讀算法框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間上，則輸入的實(shí)數(shù)的取值范圍是(　 　) A． B． C．

2、 D． 4．若，且，則的值為（ ） A． B． C． D． 5．若實(shí)數(shù)滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值是（ ） A． ﹣2 B．2 C．1 D．6 6．如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（ ） A． B． C． D． 7．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（ ） A． B． C． D． 8．已知拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若，則 ( ) A． B． C． D． 9．已知，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則兩零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )

3、． A． B． C． D． 10.已知三棱錐底面的頂點(diǎn)在半徑為4的球表面上，且，則三棱錐的體積為（ ） A． 4 B． C．18 D． 11．設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 12．已知偶函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)有，則不等式的解集為(　 　) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分） 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．） 13．在等比數(shù)列

4、中，，，則 14．已知在中， ,，其外接圓的圓心為 ， 則________． 15． 以下命題正確的是： ． ①把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得到的圖象； ②四邊形為長(zhǎng)方形，為中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取得的點(diǎn)到的距離大于1的概率為； ③某校開(kāi)設(shè)A類選修課3門(mén)，B類選擇課4門(mén)，一位同學(xué)從中共選3門(mén)，若要求兩類課程中各至少選一門(mén)，則不同的選法共有30種； ④在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）內(nèi)取值的概率為0.1，則ξ在（2，3）內(nèi)取值的概率為0.4． 16.已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊

5、分別為，，且，則面積的最大值為 . 三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17．(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中． （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為． 18．(本小題滿分12分) 某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖． （I）試估計(jì)該校高三學(xué)生視力在5．0以上的人數(shù)； （II）為了進(jìn)一步調(diào)查學(xué)生的護(hù)眼習(xí)慣，學(xué)習(xí)小組成員進(jìn)行分層抽樣，在視力 和的學(xué)生中抽取 人

6、，并且在這人中任取人，記視力在的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 19．(本小題滿分12分) 已知：矩形，且 ，分別是、的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，將矩形沿著直線折成一個(gè)的二面角，如圖所示. （Ⅰ）求證： ⊥； （Ⅱ）求與平面所成角的正弦值. 20. (本小題滿分12分) 已知以為圓心的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為． （Ⅰ）求軌跡的方程； （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別交曲線于四個(gè)點(diǎn)，求的取值范圍． 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)，,且函數(shù)在處的切線平行于直線． （Ⅰ）實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）若在（）上存在一點(diǎn)，

7、使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 本題有(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答,如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中． （22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明講 如圖，已知為圓的一條直徑，以端點(diǎn)為圓心的圓交直線于兩點(diǎn)，交圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于的直線，交直線于點(diǎn)． （Ⅰ）求證：四點(diǎn)共圓； （Ⅱ）若，求外接圓的半徑． （23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為：.若以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系. （Ⅰ）求圓的參數(shù)方

8、程； （Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圓上動(dòng)點(diǎn)，試求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo). （24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知都是實(shí)數(shù)，，. (I)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (II)若對(duì)滿足條件的所有都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 2016年福州市普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 數(shù)學(xué)(理科)答案 第Ⅰ卷 （選擇題 共60分） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題所給的四個(gè)答案中有且只有一個(gè)答案是正確的．把正確選項(xiàng)涂在答題卡的相應(yīng)位置上．） 1.B 2.C 3.D　

9、 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10. A 11. D　 12.B　 第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分） 二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．） 13．9 14．10 15.①③④ 16. 三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17． (本小題滿分12分) 解:（I）∵， ① 當(dāng)，∴，………………………………2分 當(dāng)，∵， ② ①-②：，即： ………………………………4分 又∵， ，

10、 ∴對(duì)都成立，所以是等比數(shù)列， ∴ .………………………………6分 （II）∵， ∴，……………………………9分 ∴， ∴，即 .……………………………12分 18．(本小題滿分12分) 解：（I）設(shè)各組的頻率為， ， 所以視力在以上的頻率為， 估計(jì)該校高三學(xué)生視力在5．0以上的人數(shù)約為人． ……………………………4分 （II）依題意9人中視力在 和的學(xué)生分別有3人和6人， 可取0、1、2、3 ， ， ， ．……………………………10分 的分布列為 0 1 2 3 的數(shù)學(xué)期望 ．…………………12分

11、 19．(本小題滿分12分) （Ⅰ）解法一：連結(jié)、， ∵ 分別是矩形邊、的中點(diǎn)， ∴， ， ∴ ∴為二面角 的平面角，則 ∴為正三角形，即幾何體是正三棱柱. ∴四邊形為正方形 ∴，…………………………………2分 取中點(diǎn)，連結(jié)，則. ∵正三棱柱中，平面⊥平面, ∴⊥平面, ∵平面,∴⊥ 在正方形中，∴…………………………………3分 ∵,∴⊥面，∴⊥. ∴⊥平面． ∴ ⊥．…………………………………6分 （Ⅰ）解法二：連結(jié)、， ∵ 分別是矩形邊、的中點(diǎn)， ∴， ， ∴ ∴為二面角 的平面角，則 ∴為正三角形，即幾何體是正三棱柱.

12、 取中點(diǎn)，連結(jié)則， ∵正三棱柱中，平面⊥平面， ∴⊥平面…………………………1分 取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，,,, 則 ，，……………………………4分 ∴， ∴ ∴⊥．…………………………………6分 （Ⅱ）解： 設(shè)平面的法向量為 ∵， ∵, ∴ ……………………………………………8分 ∵ ∴ 令 得為平面的一個(gè)法向量.………………………10分 由（I）得 與平面所成角的正弦值==. 與平面所成角的正弦值為．…………………………………………12分 21. (本小題滿分12分) 解（Ⅰ）連接，依題意得，所以

13、所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓， 所以，， 所以的軌跡方程式． …………………………4分 (Ⅱ) 當(dāng)直線中有一條直線的斜率不存在時(shí)， 當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線的方程，設(shè)， 聯(lián)立，整理得…………6分 ， 所以 …………8分 設(shè)直線的方程為， 所以 所以…………9分 設(shè)，所以，所以 因?yàn)?，所以，所以的取值范圍是．……?2分 21．(本小題滿分12分) 解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋? …………………1分 ∵，函數(shù)在處的切線平行于直線． ∴ ∴…………………………………………4分 解：（Ⅱ）若在（）上存在一點(diǎn)，使得

14、成立， 構(gòu)造函數(shù)在上的最小值小于零. ………6分 ①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，…………………8分 所以的最小值為，由可得， 因?yàn)椋裕? ………………10分 ②當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞增， 所以最小值為，由可得； ……11分 ③當(dāng)，即時(shí)， 可得最小值為， 因?yàn)?，所以? 此時(shí)，不成立. 綜上所述:可得所求的范圍是：或. ……………12分 本題有(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答,如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中． （22）（本小題

15、滿分10分）選修4-1：幾何證明講 證明:(I) 為圓的一條直徑 四點(diǎn)共圓 ……………………………………4分 解：(II) 與圓相切于點(diǎn)， 由切割線定理得，即， 解得， 所以， 又， 則，得，……………………………………7分 連接，由（1）知為的外接圓直徑， ， 故的外接圓半徑為．……………………………………10分 （23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：（Ⅰ）因?yàn)椋? 所以， 所以， 即為圓C的普通方程．…………………………………4分 所以所求的圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)) ．………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， …………………………7分 當(dāng) 時(shí)，即點(diǎn) 的直角坐標(biāo)為時(shí)， ……………………………9分 取到最大值為6. …………………………………10分 （24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 解：(I) 由得或， 解得或. 故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.……5分 （II）由且得 又∵ …………………………7分 ∴. ∵的解集為， ∴的解集為， ∴所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.…………………………10分 18